Chapitre 15 : Axes de symétrie

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1 hapitre 15 : es de symétrie 1) e de symétrie d une figure : Une droite est un ae de symétrie d une figure si les deu parties de la figure se superposent par pliage le long de cette droite. D La droite est un ae de symétrie du rectangle D. 2) Médiatrice d un segment : Définition : La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Pour construire la médiatrice du segment [], on place le milieu de [] (en divisant la longueur par 2). On pose l angle droit de l équerre sur ce milieu et on trace la perpendiculaire au segment passant par ce milieu (on prolonge de l autre côté du segment).

2 3) Propriété de la médiatrice : La médiatrice d un segment est un ae de symétrie de ce segment. haque point de la médiatrice du segment [] est à la même distance de et, comme le sommet principal d un triangle isocèle. On a les propriétés : Un point qui appartient à la médiatrice d un segment est situé à égale distance des etrémités de ce segment. Réciproquement (dans l autre sens), un point situé à égale distance des etrémités d un segment est sur la médiatrice de ce segment. ela donne une deuième méthode pour construire la médiatrice d un segment : On construit les sommets de deu triangles isocèles, un de chaque côté du segment. Puis on trace la droite passant par ces deu sommets : c est la médiatrice du segment. es propriétés permettent aussi de prouver qu une droite est la médiatrice d un segment.

3 4) issectrice d un angle : Définition : La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage l angle en deu angles adjacents de même mesure. (Deu angles adjacents ont le même sommet et un seul côté commun). onstruire la bissectrice de l angle y z Pour construire la bissectrice de l angle y, on mesure l angle y avec un rapporteur et on construit l angle z qui mesure la moitié de l angle y. La demi-droite [z) est la bissectrice. Propriété : La bissectrice d un angle est l ae de symétrie de cet angle. On peut aussi construire la bissectrice avec le compas : on construit l ae de symétrie de l angle (c est la diagonale d un losange). onstruire avec le compas la bissectrice de l angle y onstruire la bissectrice de l angle y M On trace un arc de cercle de centre qui coupe les deu côtés de l angle au points et. Puis on trace l arc de cercle de centre et l arc de cercle de centre et de même rayon. es deu arcs de cercle se coupent au point M. On trace la demi-droite [M) qui est la bissectrice de l angle y.

4 5) Triangle isocèle : Définition (rappel) : Un triangle isocèle a deu côtés de la même longueur. Un triangle isocèle a un seul ae de symétrie, qui passe par le sommet principal. Propriété : Un triangle isocèle a ses deu angles à la base de la même mesure. = La droite est l ae de symétrie du triangle isocèle en. est à la fois la médiatrice du segment [] et la bissectrice de l angle. Remarque : Un triangle quelconque n a pas d ae de symétrie. 6) Triangle équilatéral : Définition (rappel) : Un triangle équilatéral a ses trois côtés de la même longueur. Un triangle équilatéral a trois aes de symétrie. e sont les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles. Propriété : Les trois angles d un triangle équilatéral ont la même mesure. (d 3 ) (d 2 ) = = (d 1 )

5 7) Losange : Définition (rappel) : Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur. Un losange a diagonales. deu aes de symétrie : les droites qui contiennent ses Propriété : Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. [] et [D] ont le même milieu D () (D) 8) Rectangle : Définition (rappel) : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Un rectangle a deu aes de symétrie : les médiatrices des côtés. Propriété : Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. D [] et [D] ont le même milieu = D Remarque : ttention, les diagonales d un rectangle ne sont pas des aes de symétrie (par pliage, les deu parties du rectangle ne se superposent pas).

6 9) arré : Définition (rappel) : Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et quatre angles droits. Un carré est donc à la fois un losange et un rectangle. Un carré a quatre aes de symétrie : les droites qui contiennent ses diagonales et les médiatrices des côtés. Propriété : Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de la même longueur. (d 2 ) D [] et [D] ont le même milieu () (D) = D (d 1 )

7 nnee : etrait du programme officiel : * Médiatrice d un segment. -* onnaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d'équidistance. * Le rôle de la médiatrice comme ae de symétrie d un segment est mis en évidence. * issectrice d un angle. -* onnaître et utiliser la définition de la bissectrice. *La bissectrice d'un angle est définie en siième comme la demi-droite qui partage l'angle en deu angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie aiale. - Utiliser différentes méthodes pour tracer : la médiatrice d un segment ; la bissectrice d un angle. Propriétés des quadrilatères usuels. - onnaître les propriétés relatives au côtés, au angles, au diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. * La symétrie aiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. - onnaître les propriétés relatives au côtés et au *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. - Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples. - onstruire une figure simple à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l aide d un logiciel de géométrie.

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