SECTIONS DE SOLIDES PAR UN PLAN

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1 SECTIONS DE SOLIDES PAR UN PLAN I- Section d'un cube ou d'un parallélépipède rectangle: 1) Le plan est parallèle à l'une des faces: La section est un rectangle IJKL ayant les mêmes dimensions que la face ABCD 2) Le plan de section est perpendiculaire à l'une des faces (sans être parallèle à l'une d'entre elles): La section est un rectangle IJKL. Pour représenter ce rectangle en vraie grandeur on procède de la manière ci-dessous Etape 1: On représente en vraie grandeur le trapèze ABJI Etape 2: On trace un segment [IL] de même longueur que [AE] Puis, sur les perpendiculaires en I et L à [IJ] on reporte les longueurs IJ et LK (cette longueur étant reprise au compas sur la figure précédente) 1

2 3) Autres cas: La section est un rectangle IJK Pour représenter ce triangle en vraie grandeur on procède de la manière ci-dessous Etape 1: On représente en vraie grandeur chacun des triangles AKI, AJK, AJI Etape 2: On construit le triangle IJL en vraie grandeur en reprenant la longueurs de ses côtés, au compas, sur chacune des trois figures de l'étape 1 2

3 II- Section d'un cylindre: 1) Le plan de section est parallèle aux bases du cylindre, La section est un cercle de mêmes dimensions que les bases 2) Le plan de section contient l'axe du cylindre (droite passant par les centres des bases): La section est un rectangle IJKL avec: IJ = diamètre des bases IL = hauteur du cylindre 3) Le plan de section est parallèle à l'axe du cylindre, et ne contient pas cet axe: La section est un rectangle IJKL. Pour tracer ce rectangle en vraie grandeur on procède de la manière ci-dessous Etape 1: Etape 2: On trace une droite d et on place un point O tel que OH soit égal à la distance du point O à la droite (IJ) Puis, à l'aide du compas, on place sur la droite d les points I et J tels que OI = OJ =rayon du cylindre On trace un segment [IL] tel que IL soit égal à la hauteur du cylindre Puis, sur les perpendiculaires en I et L à [IJ] on reporte les longueurs IJ et LK (cette longueur étant reprise au compas sur la figure précédente) 3

4 III- Section d'une sphère: 1) Si le plan contient le centre de la sphère: La section est un cercle ayant pour centre le centre O de la sphère (un tel cercle est appelé un grand cercle) Par exemple, l'équateur est un grand cercle pour la Terre 2) Si le plan ne contient pas le centre de la sphère: La section est un cercle de centre O' Si A est un point quelconque de ce cercle, le triangle OO'A est rectangle en O' Exemple de calcul: On donne OO' = 6 cm rayon de C = 4,5 cm Calculer le rayon de la sphère (donner le résultat arrondi au mm) Le rayon de C est O'A Le rayon de la sphère est OA On applique le théorème de Pythagore dans le triangle OO'A rectangle en O' On trouve OA = 7,5 cm 4

5 IV- Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base: La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD Le rapport de cette réduction est donné par l'un quelconque des quotients suivants: SH'/SH ou SA'/SA, SB'/SB, SC'/SC, SD'/SD ou A'B'/AB, B'C'/BC, C'D'/CD, D'A'/DA Exemple de problème: SABCD est une pyramide régulière à base carrée de 5 cm de côté et de hauteur SH = 12 cm On donne de plus SH' = 9 cm. 1) Calculer le volume de la pyramide SABCD 2) Ecrire SH'/SH sous forme de fraction irréductible. 3) En déduire le volume de la pyramide SA'B'C'D' 4) Calculer le volume du tronc de pyramide délimité par ABCD et A'B'C'D' 1) V = (5 x 5 x 12)/3 = 100 cm 3 2) SH'/SH = 9/12 = 3/4 3) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD Le rapport de cette réduction est SH'/SH = 3/4 Dans une réduction de rapport 3/4, les volumes sont multipliés par (3/4) 3 Donc le volume de la pyramide SA'B'C'D' est: 100 x (3/4) 3 = 100 x 27/64 = 42,1875 cm 3 4) Le volume du tronc de pyramide est: ,1875 = 57,8125 cm 3 5

6 V- Section d'un cône: Le cône de sommet S et de base C' est une réduction du cône de sommet S et de base C. Le rapport de cette réduction est donné par l'un quelconque des quotients suivants: SO'/SO ou SA'/SA ou O'A'/OA Exemple de problème: Sur la figure ci-contre on a: SO = 15 cm; OA = 6 cm; O'A'= 3,6 cm 1) Calculer le volume du cône de sommet S et de base C 2) Exprimer O'A'/OA sous forme de fraction irréductible. 3) En déduire le volume du cône de sommet S et de base C' 4) Calculer le volume du tronc de cône délimité par les bases C et C' 1) V = (π x 6 2 x 15)/3 = 180 π cm 3 2) O'A'/OA = 3,6/6 = 3/5 3) Le cône de sommet S et de base C' est une réduction du cône de sommet S et de base C. Le rapport de cette réduction est O'A'/OA = 3/5 Dans une réduction de rapport 3/5, les volumes sont multipliés par (3/5) 3 Donc le volume du cône de sommet S et de base C' est: 180 π x (3/5) 3 = 180 π x 27/125 = 38,88 π cm 3 4) Le volume du tronc de cône est: 180 π - 38,88 π = 141, 12 π cm 3 6

7 VI Exercices: Exercice 1: SABCD est une pyramide régulière à base carrée de 7,2 cm de côté et de hauteur SH = 9 cm On donne de plus SH' = 6cm. 1) Calculer le volume de la pyramide SABCD 2) Ecrire SH'/SH sous forme de fraction irréductible. 3) En déduire le volume de la pyramide SA'B'C'D' 4) Calculer le volume du tronc de pyramide délimité par ABCD et A'B'C'D' Exercice 2: Sur la figure ci-contre on a: SO = 12,3 cm; OA = 4,8 cm; O'A'= 3,6 cm 1) Calculer le volume du cône de sommet S et de base C 2) Exprimer O'A'/OA sous forme de fraction irréductible. 3) En déduire le volume du cône de sommet S et de base C' 4) Calculer le volume du tronc de cône délimité par les bases C et C' Exercice 3: On donne OO' = 4 cm Rayon de la sphère = 7,8 cm Calculer le rayon du cercle de section (donner le résultat arrondi au mm) 7

8 SECTIONS DE SOLIDES PAR UN PLAN CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: Exercice 2: 1) V = (7,2 x 7,2 x 9)/3 = 155,52 cm 3 2) SH'/SH = 6/9 = 2/3 3) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD Le rapport de cette réduction est SH'/SH = 2/3 Dans une réduction de rapport 2/3, les volumes sont multipliés par (2/3) 3 Donc le volume de la pyramide SA'B'C'D' est: 155,52 x (2/3) 3 = 155,52 x 8/27 = 46,08 cm 3 4) Le volume du tronc de pyramide est: 155,52-46,08 = 109,44 cm 3 1) V = (π x 4,8 2 x 12,3)/3 = 94,464 π cm 3 2) O'A'/OA = 3,6/4,8 = 3/4 3) Le cône de sommet S et de base C' est une réduction du cône de sommet S et de base C. Le rapport de cette réduction est O'A'/OA = 3/4 Dans une réduction de rapport 3/4, les volumes sont multipliés par (3/4) 3 Donc le volume du cône de sommet S et de base C' est: 94,464 π x (3/4) 3 = 94,464 π x 27/64 = 39,852 π cm 3 4) Le volume du tronc de cône est: 94,464 π - 39,852 π = 54,612 π cm 3 Exercice 3: Le rayon de C est O'A Le rayon de la sphère est OA On applique le théorème de Pythagore dans le triangle OO'A rectangle en O' On trouve O'A 6,7 cm 8