Statistiques. 1 Effectifs Fréquence et pourcentage Classe de valeurs Moyenne... 4

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1 ème Organisation de données 015/016 Chapitre 0.1 Statistiques Plan du cours 1 Effectifs Fréquence et pourcentage Classe de valeurs Moyenne Pre-requis Proportionnalité : produit en croix, pourcentage ombres et calculs : fraction, décimaux, relatifs, les quatre opérations, priorités opératoires Organisation et gestion de données : diagrammes (circulaire, cartésien, en barres), tableaux 1

2 ème Chapitre 0.1 : Statistiques 015/016 1 Effectifs Definition 1 (Effectif, effectif total). L effectif d une valeur est le nombre d individus qui possèdent cette valeur. L effectif total d une série statistique est le nombre total d individus ayant participé à l étude statistique. résultats dans le tableau : Le tableau d effectifs de cette étude est donc Effectifs 1 1 Comme deux voitures ont été enregistrées à 49 km/h, l effectif associé à la valeur 49 est. L effectif total de la série statistique est Exercice 1 L histogramme représente le nombre de prospectus reçus par un habitant par mois au cours d une année. 1. Construire le tableau d effectifs associé à cet histogramme.. Combien, l habitant, a-t-il reçu de prospectus cette année-là? Fréquence et pourcentage Definition (Fréquence). Remarque La fréquence d une valeur est le quotient f effectif de la valeur effectif total de la série. 1 La fréquence représente donc l importance d une valeur par rapport à la totalité. Une fréquence sera, le plus souvent, laissée sous forme fractionnaire pour en préserver la valeur exacte. Exemple On reprend l exemple précédent avec l étude de la vitesse des automobilistes sur une route limitée à 50 km/h Le tableau de fréquences de la série est donc 1 1. Pour la valeur 49, l effectif est et de plus l effectif total de cette série est (coir Exemple précédent) ; donc la fréquence de la valeur 49 vaut. 1 (Somme des fréquences). La somme des fréquences d un série statistiques vaut toujours 1. Démonstration : [Preuve pour valeurs qui se généralise à un nombre quelconque de valeurs.] Valeurs x 1 x x On se place dans le cadre du tableau suivant Effectifs n 1 n n avec est l effectif total de la série : n 1 + n + n. somme des fréquences n 1 + n + n n 1 + n + n 1 n 1 n n

3 ème Chapitre 0.1 : Statistiques 015/016 Exemple En reprenant le tableau de fréquences précédent onn obtient le calcul : Exercice On donne une valeur approchée du nombre à 55 décimales π : 1 1 π, Donner la fréquence d apparition de chaque chiffre dans cette approximation sous forme fractionnaire puis sous forme décimale (arrondie au centième). Definition (Pourcentage). Un pourcentage est une fréquence dont l effectif total est proportionnellement ramené à 0. Remarque Par définition, toutes les propriétés sur les fréquences sont valables pour les pourcentages. Exemple La fréquence 5 s exprime sous la forme d un pourcentage 60% car (Lien fréquence, pourcentage). Si f est la fréquence d une valeur et p est le pourcentage associé, alors p f 0. Démonstration : [Utilise la proportionnalité, le produit en croix] Par définition d une fréquence : f n où n est l effectif de la valeur dont on calcul la fréquence et est l effectif total de la série à laquelle elle appartient. Par définition du pourcentage : f n p 0 où p est le pourcentage cherché. Comme les fractions sont égales, alors les produits en croix le sont aussi et donc p n 0 n 0 f 0. Exemple La fréquence 5 vaut en valeur décimale 0, 6 (car 5 0, 6), donc on retrouve le pourcentage associé de 60% car 0, (Somme des pourcentages). La somme des pourcentages vaut toujours 0. Corollaire Démonstration : Repose sur le fait que p f 0. Exercice Reprendre l Exercice et mettre les fréquences sous forme de pourcentage. Classe de valeurs Definition 4 (Classe, centre, amplitude). Une classe de valeurs est un regroupement de plusieurs valeurs. L amplitude d une classe de valeurs est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la classe ; c est-à-dire : valeur maximale de la classe valeur minimale de la classe. Le centre d une classe est la moyenne entre ses valeurs minimale et maximale ; c est-à-dire : valeur minimale de la classe + valeur maximale de la classe.

4 ème Chapitre 0.1 : Statistiques 015/016 Remarque Le centre d une classe de valeurs est utilisé dans le cacul de la moyenne d une série statistique donnée avec des classes. otation La classe des valeurs comprises entre la valeur minimale m et la valeur maximale M sera notée [m ; M]. Exemple On reprend l exemple du relevé des vitesses des automobilistes dans une rue limitée à 50 km/h avec le tableau d effectif ci-contre : Effectif 1 1 On regroupe les valeurs des vitesses en classes de valeurs successives pour obtenir un nouveau tableau : Classes de vitesse (en km/h) [47 ; 51] [5 ; 56] [57 ; 6] Centre de la classe , 5 Effectif de la classe 8 0 La classe [47 ; 51] a pour effectif 8 car la vitesse 47 km/h a un effectif ; 49 a pour effectif et la vitesse 51 a un effectif. Donc cette classe a pour effectif On procède de même pour les effectifs des autres classes. L amplitude de la classe [47 ; 51] est 4 car Le centre de la classe [47 ; 51] est 49 ; valeur minimale de la classe+valeur maximale de la classe en effet : centre de la classe [47 ; 51] Exercice 4 France en Voici les résultats du recencement effectué en Exprimer la fréquence de chaque classe d âges sous la forme d un pourcentage arrondi au dixième. 4 Moyenne Definition 5 (Moyenne). La moyenne d une série statistique est la valeur qui résume la série si elle était composée d une seule valeur. On calcule une moyenne par la formule somme de toutes les valeurs moyenne d un série statistique. nombre total de valeurs résultats : La moyenne m de cette série est donc calculée de la manière suivante : somme de toutes les valeurs m nombre total de valeurs , Cela signifie qu en moyenne, une voiture roulait à 51, km/h dans cette rue, lors de cette étude. Remarque Le calcul de la moyenne peut s avérer plus fastidieux dans le cas où la série est composée de beaucoup de valeurs. 4

5 ème Chapitre 0.1 : Statistiques 015/016 Exercice 5 On a reporté sur le graphique cartésien ci-dessous les températures moyennes dans une ville française, mois par mois. Calculer la température moyenne de cette ville sur l année. (Moyenne pondérée). Une moyenne pondérée est une moyenne qui utilise les effectifs des valeurs numériques et se calcule par la formule : somme des produits : valeur effectif de la valeur moyenne pondérée. effectif total de la série Remarque La moyenne pondérée joue exactement le même rôle qu une moyenne classique non pondérée : résumer en une seule valeur une série statistique pour en donner une idée générale immédiate. Seule la méthode de calcul diffère. résultats dans le tableau d effectifs ci-contre Effectif 1 1 Calculons la moyenne pondérée, notée m, de cette série : somme des produits : valeur de la série effectif de la valeur m effectif total de la série , Ainsi, on retrouve une vitesse moyenne de 51, km/h pour les voitures étudiées calculée, plus fastidieusement, par une moyenne non pondérée. Exercice 6 Calculer la moyenne trimestrielle d un élève ayant obtenu les résultats consignés dans ce tableau. On rappelle que le coefficient d une note peut être assimilé à un effectif. Épreuves Interro 1 Contrôle 1 CalcMental 1 Interro Contrôle DM 1 Interro Coefficients 1 0,5 otes (sur 0) 16 14,