L3-2016/ Examen Mercredi 11 Janvier Mathématiques discrètes

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1 Exercice. Soit n un entier naturel non nul. On note u n le nombre dont l écriture en base 0 est formé de n : u =, u =, u 3 =, u 4 =.... Justifier qu il existe deux termes distincts de la suite (u n ) n N congrus modulo 07.. Justifier qu il existe un terme de la suite (u n ) n N divisible par 07. Exercice. Les coffres-forts d une certaine marque se ferment à l aide d une combinaison de chiffres entre 0 et 9.. Sans plus de contraintes, combien y-a t-il de telles combinaisons? Pour des raisons de sécurité, les codes qui comportent au moins quatre occurences d un même chiffre sont eliminés.. Combien reste-t-il de telles combinaisons? Pour encore plus de sécurité, on élimine les codes qui ne contiennent pas au moins 5 chiffres distincts. 3. Combien reste-t-il de telles combinaisons? Les coffres-forts d une autre marque sont fermés par quatre roues. Chaque roue peut coder un nombre entier entre et 99. L attribution du code d une roue se fait par tirage aléatoire uniforme dans l ensemble, Quelle est la probabilité d attribuer à un coffre-fort un même nombre sur au moins deux roues différentes? Pour des raisons de sécurité, on refuse d attribuer à un coffre-fort quatre nombres dont au moins deux seraient trop proches : On exige que les nombres x et y attribués à deux roues différentes vérifient y x (a) Soit E l ensemble des uplets (x, x, x 3, x 4 ) où x, x, x 3, x 4 sont des nombres dans, 99 tels que x i+ x i 3 pour tout i dans, 3. Soit F l ensemble des uplets (y, y, y 3, y 4 ) où y, y, y 3, y 4 sont des nombres dans, 9 tels que y i < y i+ pour tout i dans, 3. Etablir une bijection entre E et F et en déduire le cardinal de E. (b) En déduire la probabilité de refuser le code attribué à un coffre-fort. Exercice 3. On estime que 0% du courrier qui arrive dans une boîte mail est un message commercial (spam). Les 40% autres sont légitimes. Dans le but de filtrer le spam, on utilise un logiciel qui fonctionne en cherchant des mots d une certaine liste, dite liste rouge, dans les messages, par exemple gagner, forex, rencontre... On considère que la présence dans un message commercial de plusieurs mots de la liste correspond à des évènements indépendants, et aussi que la présence dans un message non commercial de plusieurs mots de la liste correspond à des évènements indépendants.. Le mot gagner apparait dans 00 messages sur 000 messages de spam et dans 4 messages sur 000 messages légitimes. Déterminer la probabilité qu un message contenant le mot gagner soit du spam. C. Picaronny E.N.S. de Cachan

2 . Si le logiciel intercepte tous les messages contenant le mot gagner. quel est le taux de messages contenant le mot gagner injustement interceptés (taux de faux positifs)? 3. Par souci d efficacité, le logiciel intercepte les messages qui contiennent au moins r mots de la liste rouge (r étant un nombre fixé ). On note la liste rouge LR = [w,..., w k ], et pour chaque mot w i de la liste rouge, s i le taux d apparition du mot w i dans les messages de spam et t i le taux d apparition du mot w i dans les messages légitimes (s i et t i sont dans ]0, [). (a) Soient w i,..., w ir r mots distincts de la liste rouge. Exprimer la probabilité qu un message contenant ces r mots soit du spam. (b) Lorsque r =, exprimer le taux de messages injustement interceptés (taux de faux positifs)? Exercice 4. Un jeu de échelles et serpents se joue sur un damier, supposé pour l exercice de taille (3, 3) avec une pièce équilibrée. Les cases sont numérotées de à 9 et les joueurs se déplacent de la case à la case 9 en avancant d une ou deux cases selon que la pièce tombe sur pile ou face respectivement. Certaines cases sont reliées par une échelle ou par un serpent. Lorsqu un joueur arrive sur une case au pied d une échelle, il monte l échelle directement. Lorsqu un joueur arrive sur une case sur la tête du serpent il glisse jusqu à la case qui contient la queue du serpent. Dans ce jeu, il y a une échelle qui monte de la case à la case 7, une échelle qui monte de la case 3 à la case 5, un serpent dont la queue est sur la case et la tête sur la case et un serpent dont la queue est sur la case 4 et la tête sur la case Un joueur démarre sur la case et déplace son pion selon d une ou deux cases par jet de pièce jusqu à la case 9, le jeu étant alors terminé.. Modéliser le jeu d un joueur par une chaîne de Markov à 5 états. Expliquer votre démarche. Dessiner la chaîne de Markov (on expliquera précisément les choix faits pour numéroter les états). Ecrire le matrice de transition.. Justifier que le joueur peut terminer une partie presque sûrement. 3. Calculer le temps moyen d une partie. 4. On suppose maintenant que deux joueurs jouent alternativement jusqu à que l un d entre eux atteigne la case 9. Expliquer comment modéliser une partie : décrire la chaîne de Markov utilisée (espace d états, transitions). Justifier que la partie termine presque sûrement et proposer une majoration du temps moyen d une partie. C. Picaronny E.N.S. de Cachan

3 Exercice 5. On se déplace sur N en partant d un point (0, 0) et en effectuant une suite finie de déplacements élémentaires. Les déplacements élémentaires sont de trois types : soit un pas à droite (on passe du point (x, y) au point (x +, y)) noté, soit un pas vers le haut (on passe du point (x, y) au point (x, y + )) noté, soit un pas diagonal droite-haut (on passe du point (x, y) au point (x +, y + )) noté. Soient (m, n) un point dans N. On note d m,n le nombre de chemins menant du point (0, 0) au point (m, n) en utilisant des pas élémentaires (0, ) (vers l est), (, 0) (vers le nord), et (, ) (vers le nord-est).. Que vaut d m,n si m = 0 ou n = 0?. Déterminer une relation de récurrence entre les (d m,n ). 3. En déduire une expression de m N,n N d m,nx m Y n. 4. On suppose m n. Démontrer par un raisonnement combinatoire que : m ( )( ) m m + n j d m,n =. j m j=0 On pourra partitionner l ensemble des chemins en question selon le nombre de motifs. 5. On suppose m n. Démontrer par un raisonnement combinatoire que : d m,n = m ( j m j j=0 )( n j ). On pourra partitionner l ensemble des chemins en question selon le nombre de motifs et. Problème Soient G = (S, A) et G = (S, A ) deux graphes : S (respectivement S ) désigne l ensemble (fini) des sommets et A (respectivement A ) désigne l ensemble des arêtes de G (respectivement G ). On rappelle qu un isomorphisme de G sur G est une bijection σ de S sur S telle que : s, t S, (s, t) A (σ(s), σ(t)) A. On appelle automorphisme de G un isomorphisme de G sur lui-même. On remarque qu un automorphisme de G est une permutation de S. On note Γ(G) l ensemble des automorphismes de G.. Justifier que Γ(G) est un sous-groupe du groupe symétrique S S, le groupe des permutations de l ensemble S.. Soient G = (S, A) un graphe. Pour tout entier naturel non nul d, on note S d l ensemble des sommets de degrés d (sommets dont partent d arêtes). Justifier qu un automorphisme de G conserve S d. 3. Décrire le groupe des automorphismes des graphes ci-dessous (respectivement le chemin de longueur, l étoile à trois branches, le carré). Pour chacun des groupes, on donnera son ordre et ses éléments représentés par leur décomposition en cycles disjoints. C. Picaronny 3 E.N.S. de Cachan

4 Soit n un entier. Donner un exemple de graphe d ensemble de sommets, n dont le groupe d automorphismes est S n. 5. Donner un exemple de graphe d ensemble de sommets, dont le groupe d automorphismes est réduit à {id}.. Soit n un entier 3. On considère le graphe "chemin"à n sommets. C n : 3 n (a) Soit σ dans Γ(C n ). Justifier que σ() {, n}. (b) Justifier que le groupe Γ(C n ) est d ordre. Donner la décomposition en cycles disjoints de la permutation non triviale de Γ(C n ). Un graphe est appelé une chenille si c est un arbre tel que, si on lui retire ses feuilles, on obtient un chemin. Un tel graphe est équivalent à un graphe chemin dont chaque sommet est pondéré par un entier naturel, qui représente le nombre de feuilles issues de ce sommet : Si le chemin est m, on note la pondération [p,..., p m ], le sommet i ayant p i feuilles. 4 5 D F C A E B G [,,] [3,] Le chemin sous-jacent à un graphe chenille est appelé son ossature. Pour qu il n y ait pas d ambiguité, on suppose que les deux extrémités de l ossature ont au moins une feuille chacune (p > 0 et p m > 0). On note d n le nombre de graphes chenille à n sommets à isomorphisme près. 7. Pour n = 3, 4, 5 dessiner à isomorphisme près tous les graphes chenille. En déduire les valeurs de d 3, d 4, d Soit n un entier 3. Soit C un graphe chenille à n sommets. Soit σ dans Γ(C). Démontrer que σ conserve l ossature de C. 9. Dans le but de calculer d n, on propose de numéroter les sommets d un graphe chenille à n sommets de la façon suivante : Le numéro est attribué à une des feuilles d une des extrémités de l ossature. Les feuilles d un même sommet (de l ossature) sont numérotées consécutivement puis on numérote le sommet. On continue la numérotation par les feuilles du sommet (de l ossature) suivant s il y en a, puis le sommet, etc. C. Picaronny 4 E.N.S. de Cachan

5 Pour les deux exemples ci-dessus, voici une telle numérotation : [,,] [3,] (a) Démontrer qu on définit ainsi deux numérotations possibles de l ossature d une même chenille. A quelle condition ces deux numérotations sont-elles identiques à isomorphisme près? (b) En déduire une expression de d n en fonction de n. 0. Soit G un graphe à n sommets d ossature de longueur m (m n ) pondérés par [p,..., p m ] (avec p > 0 et p m > 0). Expliciter l ordre du groupe Γ(G) en fonction de m et [p,..., p m ] (il y a deux cas).. Retrouver l expression de d n obtenue précedemment en utilisant la formule de Burnside. C. Picaronny 5 E.N.S. de Cachan