Chapitre II : L ensemble des nombres réels

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre II : L ensemble des nombres réels"

Transcription

1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre II : L ensemble des nombres réels 1 Quelques notions générales sur R 1.1 Définitions On suppose les notions de N (entiers naturels) et Z (entiers relatifs) connues. Définition 1. L ensemble Q des nombres rationnels est défini par : Q = { } p / p Z et q N q Remarque : Un sous-ensemble important de Q est l ensemble des nombres décimaux : D = { r Q/ p Z et k N; r = p } 10 k Définition 2. Une première définition sommaire (et qui devra être approfondie dans un chapitre ultérieur) de l ensemble R des nombres réels, est l ensemble des nombres qui peuvent s écrire de la forme : ±a 1 a 2 a n, d 1 d 2 Remarques : 1. Une telle écriture est appelée développement décimal.tout rationnel est un réel, mais il existe des réels non rationnels (dits irrationnels). 2. On a les inclusions : N Z Q R Exemple 1. 2 est irrationnel.

2 1.2 Opérations Opérations R muni de l addition est un groupe commutatif : 1. L addition est une opération interne : (x, y) R 2, x + y R. 2. L addition est associative : (x, y, z) R 3, (x + y) + z = x + (y + z). 3. L addition est commutative : (x, y) R 2, x + y = y + x est l élément neutre pour l addition : x R, x + 0 = 0 + x = x. 5. Tout réel possède un opposé pour l addition : x R, y R, x + y = y + x = 0 L opposé d un réel est unique : soit x R supposons qu il existe (y, z) R 2 tel que : x+y = y +x = 0 et x+z = z +x = 0, alors y = y +0 = y +(x+z) = (y +x)+z = 0+z = z On note x l opposé de x. R muni de l addition et de la multiplication est un corps commutatif : 1. La multiplication est une opération interne. 2. La multiplication est associative. 3. La multiplication est commutative est l élément neutre pour la multiplication. 5. Tout réel non nul possède un inverse. x R, y R, xy = yx = 1 : un tel inverse est unique et il est noté x 1 ou 1 x 6. La multiplication est distributive par rapport à l addition : (x, y, z) R 3, x (y + z) = (x y) + (x z) Remarque : La soustraction et la division se définissent naturellement : (x, y) R 2, x y = x + ( y) et x R, y R, x y = x y 1 Exercice 1. Q est également un corps commutatif. Mais Z ne l est pas... pourquoi? 2 Ordre sur R - Topologie de R Définition 3. On définit la relation sur R par : soient (x, y) R 2, x y signifie que x est inférieur ou est égal à y (i.e. x y 0) Théorème 1. R est un corps totalement ordonné. Justification : 1. La relation est : Réflexive : x R : (x x) Antisymétrique : (x, y) R 2, ((x y et y x) x = y)

3 3 Transitive : (x, y, z) R 3, ((x y et y z) x z) Ces trois propriétés font de R un ensemble ordonné. L ordre est total : (x, y) R 2, (x y ou y x). R est dit totalement ordonné. 2. La relation est compatible avec l addition : (x, y, z) R 3, x y x + z y + z 3. La relation est compatible avec la multiplication : Ainsi R est un corps totalement ordonné Exercice 2. (x, y) R 2, ((0 x et 0 y) 0 xy) 1. Montrer que si x est un réel qui vérifie x 0 alors 0 x. 2. Montrer que le carré d un réel est positif ou nul. 3. Montrer que : (0 x et y z) (xy xz) 4. Montrer que l on ne peut pas définir d ordre sur C qui en fasse un corps ordonné. Définition 4. Soit x R, on définit la valeur absolue de x, notée x par : x = max{ x; x} Conséquences, propriétés : Pour tous réels x et y, pour tout entier naturel n : 1. x 0 2. x = x 3. xy = x y 4. x n = x n 5. x y x 2 y 2 Théorème 2. (x, y) R 2, x + y x + y Conséquences : 1. (x, y) R 2, x y x + y 2. (x, y) R 2, x y x + y Exercice 3. On suppose que x 1 2 et que 5 y 4. Encadrer les expressions suivantes : 1) x + y 2) x y 3) xy 4) x y Définition 5. On dit qu un sous ensemble I de R est un intervalle de R, si pour tous réels a et b appartenant à I et pour tout réel x tel que a x b, alors x appartient à I. Soient a et b deux réels tels que a < b. On dit que l intervalle I des réels x est :

4 4 1. un intervalle fermé [a; b] (ou un segment) si, pour tout x appartenant à I, a x b. 2. un intervalle ouvert ]a; b[ si, pour tout x appartenant à I, a < x < b. 3. un intervalle semi-ouvert à droite [a; b[ (respectivement à gauche ]a; b]) si, pour tout x appartenant à I, a x < b (respect. a < x b). Dans ces trois cas, I est un intervalle dit borné de R. De la même façon, on définit les intervalles non bornés de R : Illustration : Notation de l intervalle [a; b] C est l ensemble des réels x tels que a x b Représentation sur la droite réelle [a; b[ a x < b ]a; b] a < x b ]a; b[ a < x < b [a; + [ x a ]a; + [ x > a ] ; b] x b ] ; b[ x < b Définition 6. On définit sur R une distance : soient x et y deux réels, on pose d(x, y) = y x = x y Conséquences : Soient x 0 R et r > 0 1. L ensemble {x R / x x 0 = r} = {x 0 r; x 0 + r} 2. L ensemble {x R / x x 0 r} = [x 0 r; x 0 + r] 3. L ensemble {x R / x x 0 r} =] ; x 0 r] [x 0 + r, ; + [ Exercice {x / x + 2 < 4} = 2. {x / x + 2 5} = Exercice 5. Écrire sans valeur absolue les fonctions suivantes : 1. f : f(x) = 3 x + 3x g : g(x) = 3 2x 1 + x 2 + 1

5 5 Théorème 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Pour tout entier n N, pour tous (x 1, x 2,, x n ) et (y 1, y 2,, y n ) éléments de R n ( ( n n ) ( n ) x i y i ) 2 x 2 i Remarque : une autre formulation de cette inégalité est : ( n n x i y i x 2 i 3 La fonction «Partie entière» Exemple 2. la fonction «partie entière» ) 1 yi 2 ( 2 n yi 2 Définition 7. Soit x un réel, il existe un unique entier (relatif) n tel que n x < n + 1. Cet entier est appelé «partie entière» de x. On le note E(x). La fonction «partie entière», notée E, définie sur R, associe à chaque réel sa partie entière. Illustration : ) 1 2 Exemples 3. E(π) = 3 ; E( 4, 35) = 5. Exercice 6. Figure 1 Courbe de la fonction «partie entière» 1. Montrer que (x, y) R 2, x y E(x) E(y) 2. Montrer que x R Z, E( x) = E(x) Montrer que x R; p Z, E(x + p) = E(x) + p. 4. Montrer que (x, y) R 2, E(x) + E(y) E(x + y) { 1; 0} Exercice 7. Tracer les courbes des fonctions suivantes 1. f : x x E(x) 2. g : x x E(x)

6 6 4 Majorant - minorant - bornes sup. et inf. Définition 8. Soit A une partie non vide de R. 1. On dit que M R est un majorant de A si pour tout x A, x M. 2. On dit que m R est un minorant de A si pour tout x A, x m. On notera M j(a) (resp. M n(a)) l ensemble des majorants (resp. minorants) de A. Exercice 8. Déterminer Mj(A) et Mn(A) : Pour A = R + Pour A = Z Pour A =]0; 1] Définition 9. Une partie non vide A de R est dite : minorée si Mn(A) majorée si Mj(A) bornée si elle est minorée ET majorée. Exemples 4. Z est une partie non majorée et non minorée de R. ]0; 1] est une partie bornée de R. N est une partie minorée mais non majorée de R. Théorème 4. Soit A une partie non vide de R. 1. Il existe au plus un élément a R vérifiant les conditions suivantes (a) a A (b) Pour tout élément x A, x a Si un tel élément existe, on dit que c est le plus grand élément de A et on le note max A. 2. Il existe au plus un élément b R vérifiant les conditions suivantes : (a) b A. (b) Pour tout élément x A, x b Si un tel élément existe, on dit que c est le plus petit élément de A et on le note min A. Exemples 5. N est une partie de R qui possède un plus petit élément (0) et n a pas de plus grand élément. ]0; 1[ est une partie de R qui n a ni plus petit ni plus grand élément. Toute { partie} finie de R possède un plus grand et un plus petit élément. 1 n /n N possède un plus grand élément (c est 1) mais ne possède pas de plus petit élément. Remarque : Si A possède un plus petit élément (resp. plus grand élément) alors A est minorée (resp. majorée). La réciproque est fausse (voir l exemple de l intervalle ]0; 1[ ci-dessus).

7 7 Définition 10. Soit A une partie non vide de R. 1. Si A est majorée, et si Mj(A) possède un plus petit élément M, on dit que M est la borne supérieure de A, et on note M = sup A 2. Si A est minorée, et si Mn(A) possède un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A, et on note m = inf A Remarques : Si max A (resp. min A) existe, il en est de même de sup A (resp. inf A) et dans ce cas sup A = max A (resp. min A = infa) La réciproque est fausse : par exemple : A =]0; 1] ne possède pas de minimum, mais inf A = 0. Pour tout réel x, on peut définir la valeur absolue de x par x = sup{ x; x} = max{ x; x} Il existe des parties de Q majorées dans Q mais qui ne possèdent pas de borne supérieure dans Q (penser à l ensemble { x Q/x 2 2 } ) Théorème 5. Soient A une partie non vide de R et M R. Alors M = sup A si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. Pour tout x A, x M. 2. Pour tout ε > 0, il existe a A tel que M ε < a Remarque : On a bien entendu un énoncé analogue avec le minorant : (à faire en exercice) Théorème 6. Soient A une partie non vide de R et m R. Alors m = inf A si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. Pour tout x A, x m. 2. Pour tout ε > 0, il existe a A tel que m + ε > a 5 Quelques propriétés de R Remarque : Q ne permet pas de traiter certaines questions... On a déjà vu qu il existe des nombres irrationnels (comme 2) : ainsi Q ne permet pas d étudier la longueur de la diagonale d un carré de côté de longueur 1... Exemple 6. Il existe des parties de Q qui sont majorées mais qui n admettent pas de bornes supérieures dans Q. On considère les deux suites u et v définie sur N par : u n = 1 1! + 1 2! n! et v n = u n + 1 n.n! On peut facilement montrer que u est croissante et v décroissante (à vérifier), et que pour tout entier n 1, u n < v n (évident). Ainsi : 0 < u 1 < u 2 < < u n < u n+1 < < v n+1 < v n < < v 2 < v 1 Soit A = {u n / n N }. A n admet pas de borne supérieure rationnelle.

8 8 a contrario on admet le théorème suivant : Théorème 7. Soit A une partie non vide de R. 1. Si A est majorée, elle admet une borne supérieure réelle. 2. Si A est minorée, elle admet une borne inférieure réelle. Remarque : L hypothèse «non vide» est primordiale car l ensemble vide est majoré par tout réel mais l ensemble des majorants (R) n admet pas de plus petit élément. Théorème 8. Pour tous X R et tous ε > 0, il existe n N tel que nε > X. On dit que R est archimédien. Exercice 9. Soit x R, montrer que : 1. ( ε > 0, 0 x ε) = x = 0 ( 2. n N, 0 x 1 ) = x = 0 n Définition 11. Soit D une partie de R. on dit que D est dense dans R lorsque Théorème 9. Q est dense dans R. (x, y) R 2, x < y d D/ x < d < y Exercice 10. Montrer que l ensemble des irrationnels noté R Q est également dense dans R.

L ensemble des nombres réels est muni de 2 opérations : l addition et la multiplication.

L ensemble des nombres réels est muni de 2 opérations : l addition et la multiplication. Chapitre 2 : Les nombres réels-résumé de cours 1. Opérations dans L ensemble des nombres réels est muni de 2 opérations : l addition et la multiplication. L addition dans vérifie : Elle est interne dans

Plus en détail

Nombres réels et inégalités

Nombres réels et inégalités Nombres réels et inégalités Lycée Berthollet, PCSI2 2016-17 I Nombres réels Il est demandé à la classe de définir les nombres réels. En général, il se dégage deux courants : Un réel positif peut être pensé

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R On a vu dans le chapitre

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot NOMBRES RÉELS 1 Approximations d un réel 1.1 Ensembles de nombres Notation 1.1 On note R l ensemble des nombres réels. On note Q l ensemble des nombres rationnels i.e. l ensemble des nombres de la forme

Plus en détail

Pour remettre un peu d ordre dans R

Pour remettre un peu d ordre dans R Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 016-017 1 1 Relation d ordre sur R 1.1 Vocabulaire Pour remettre un peu d ordre dans R Sur R, on dispose de la relation de comparaison. On dit que c est une

Plus en détail

Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles

Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles Denis Vekemans Ordre total compatible En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d une ensemble G, muni d une loi de composition interne

Plus en détail

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations 1. Lois de composition internes 1.1. Définition et exemples Définition 5.1 Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application

Plus en détail

Nombres réels et propriétés de R

Nombres réels et propriétés de R CHAPITRE 3 Nombres réels et propriétés de R Fractions : développements décimaux le point de vue «concret» (hérité de l enseignement primaire) Rationalité développement décimal périodique 23456 0 33567

Plus en détail

Les nombres réels. 1 L ensemble des nombres rationnels Q Écriture décimale n est pas un nombre rationnel Mini-exercices...

Les nombres réels. 1 L ensemble des nombres rationnels Q Écriture décimale n est pas un nombre rationnel Mini-exercices... Exo7 Les nombres réels L ensemble des nombres rationnels Q. Écriture décimale.......................................................... n est pas un nombre rationnel................................................

Plus en détail

L ensemble des nombres réels

L ensemble des nombres réels Université Pierre et Marie Curie 1M001 L ensemble des nombres réels 1 Entiers, rationnels et réels N = {0, 1,...} est l ensemble des entiers naturels. Z = {...,, 1, 0, 1,,...} est l ensemble des entiers

Plus en détail

L ensemble R des nombres réels

L ensemble R des nombres réels L ensemble R des nombres réels Plan du chapitre 1 L ensemble des nombres réels page 11 Description géométrique des réels page 1 Inégalités dans R page 1 Distance entre deux réels Intervalles de R page

Plus en détail

Limites à l infini d une fonction

Limites à l infini d une fonction 9 Limites à l infini d une fonction On garde les notations du chapitre précédent en supposant ici que a = ou a = + est adhérent à l ensemble I, ce qui signifie que : ou : m R, ], m[ I M R, ]M, + [ I ce

Plus en détail

Cours d Analyse I : les réels et les fonctions

Cours d Analyse I : les réels et les fonctions Introduction à R Suites numériques Cours d Analyse I : les réels et les fonctions Université Lyon 1 Institut Camille Jordan CNRS UMR 5208 FRANCE Automne 2014 - Licence L1 Introduction à R Suites numériques

Plus en détail

Morphologie mathématique

Morphologie mathématique Morphologie mathématique Ensembles et Images Luc Brun (d après le cours de M. Coster) Morphologie mathématique p.1/42 lan Les opérateurs ensemblistes de base et les propriétés usuelles Egalité et inclusion

Plus en détail

Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay

Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay 2015 2016 Notes de cours de José Montesinos préparées à partir du précédent Polycopié de Math 104 de Thierry Ramond Table des matières 1 La

Plus en détail

Cours d arithmétique. Khaoula Ben Abdeljelil

Cours d arithmétique. Khaoula Ben Abdeljelil Cours d arithmétique Khaoula Ben Abdeljelil 2 Table des matières Table des matières............................... i 1 LES ENTIERS NATURELS 1 1.1 Les opérations élémentaires sur N.................... 1

Plus en détail

Nombres réels. Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme à terme : u v = (u n v n ) n N

Nombres réels. Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme à terme : u v = (u n v n ) n N Nombres réels 1 Suites de rationnels Définition Une suite de rationnels (ou suite rationnelle) est une application u : N Q. Notation : Pour tout entier n, on note u n l image u(n) de l entier n par l application

Plus en détail

2 Borne inférieure, borne supérieure. L ensemble R. Arthur LANNUZEL. http ://mathutbmal.free.fr

2 Borne inférieure, borne supérieure. L ensemble R. Arthur LANNUZEL. http ://mathutbmal.free.fr L ensemble R 1 Arthur LANNUZEL le 29 Novembre 2008 http ://mathutbmal.free.fr L ensemble R 1 Définition de R. R est l unique ensemble, à notation près (à isomorphisme de corps ordonné près), vérifiant

Plus en détail

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES 1.1. Propriétés de R On suppose connus N = {0, 1, 2, 3,...}, l anneau des entiers Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} et le corps des rationnels Q = { a a, b Z,

Plus en détail

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base.

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. 1 Axiome du choix Definition 1.1. Etant donnée une famille (A i ) i I de parties d un ensemble E (c est à dire une application de

Plus en détail

Bornes supérieures et inférieures

Bornes supérieures et inférieures Bornes supérieures et inférieures Exercice :. Montrer que pour tout n N, m N 0 < (m + n) 2 4 2. En déduire que A = { (m + n) 2, n N, m N } Admet une borne inférieure et une borne supérieure que l on déterminera.

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

3.1. Le corps des nombres réels Borne supérieure, borne inférieure Généralités sur les suites

3.1. Le corps des nombres réels Borne supérieure, borne inférieure Généralités sur les suites 3. Nombres réels, suites numériques 3.1. Le corps des nombres réels 3.1.1. Le groupe (IR, +) 3.1.2. L anneau (IR, +, ) 3.1.3. Le corps (IR, +, ) 3.1.4. Nombres rationnels ou irrationnels 3.1.5. Relation

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion Année 2012-2013 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Économie & Gestion LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Enseignant responsable : J. Stéphan Documents

Plus en détail

Georg Cantor

Georg Cantor Le mathématicien allemand Georg Cantor a montré qu on ne peut pas numéroter tous les nombres réels, sans en oublier, et en ne donnant pas deux fois le même numéro à deux diérents. Ce qui paraît plus étonnant,

Plus en détail

Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes

Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes I - Généralités sur les suites réelles I.1 - Dénition et Structure Définition 1 (Suite). Une suite réelle u est une application de N dans R. Pour tout n

Plus en détail

Limites et continuité de fonctions

Limites et continuité de fonctions Chapitre 12 Limites et continuité de fonctions Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Limites et continuité de fonctions 1 / 53 Notations : On note, sauf

Plus en détail

CQ - CORPS COMMUTATIF TOTALEMENT ORDONNE AXIOMES DE DEFINITION DE R

CQ - CORPS COMMUTATIF TOTALEMENT ORDONNE AXIOMES DE DEFINITION DE R CQ - CORPS COMMUTATIF TOTALEMENT ORDONNE AXIOMES DE DEFINITION DE R I. Anneaux ordonnés Soit A un anneau, et A + un sous-ensemble non vide de cet anneau. On note A l ensemble des opposés des éléments de

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 CPUS I. Les suites numériques I.1. Premières définitions. Définition. Une suite réelle est une fonction dont l ensemble de départ est une partie de N du

Plus en détail

Chapitre 1 : Calcul dans R

Chapitre 1 : Calcul dans R Chapitre 1 : Calcul dans R PTSI B Lycée Eiffel 6 septembre 13 Le calcul que vous trouvez si mauvais est pourtant celui de toutes les passions. Des années entières de poursuite, pour la jouissance d un

Plus en détail

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Exercice 1 : Si et sont des réels positifs ou nuls, montrer que Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants, mettre

Plus en détail

Chap. E1 : fondement de l analyse : R et les suites réelles

Chap. E1 : fondement de l analyse : R et les suites réelles Chap. E1 : fondement de l analyse : R et les suites réelles Si les points d une droite sont répartis en deux classes, de telle manière que tous les points de la première classe soient placés à gauche de

Plus en détail

Deux éléments quelconques de Z sont comparables (l ordre est total). C est-à-dire que pour n, m dans Z on a soit n m soit m n.

Deux éléments quelconques de Z sont comparables (l ordre est total). C est-à-dire que pour n, m dans Z on a soit n m soit m n. 6 Arithmétique dans Z 6.1 L anneau Z des entiers relatifs On désigne par Z l ensemble des entiers relatifs, soit : Z = {, n,, 2, 1, 0, 1, 2,, n, }. On note Z l ensemble Z privé de 0. On rappelle que l

Plus en détail

Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES

Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES Algèbre - chap 1 1/8 Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES 1. ELEMENTS DE LOGIQUE 1.1 Propositions Règles logiques Définition 1 : On appelle propriété ou assertion une affirmation

Plus en détail

Des démonstrations en analyse

Des démonstrations en analyse Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Nicole Bopp Strasbourg, novembre 007 Des démonstrations en analyse 1. Caractérisations équivalentes du fait que R est complet L une des trois propriétés ci-dessous est admise

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

ÉGALITÉS ET INÉGALITÉS

ÉGALITÉS ET INÉGALITÉS ÉGALITÉS ET INÉGALITÉS 1 Égalités Définition 1.1 Identité On appelle identité une égalité entre deux expressions qui est valable quelles que soient les valeurs des variables entrant en jeu dans ces expressions.

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice.

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice. Les matrices chapitre 2 : calcul matriciel I / Définitions Soit n et p deux entiers naturels non nuls Une matrice n p (on dit aussi de format n ; p ( ) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle 7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. 7. Continuité en un point,

Plus en détail

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Aix-Marseille Université 2012-2013 Analyse I PLANCHE 1 : LIMITES, CONTINUITÉ Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Exercice 1 Soit a, b R. Montrer les implications suivantes :

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques 0 - - de terminale S Suites s LPO de Chirongui 20 mai 2016 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel

Plus en détail

Première partie. Le corps des nombres réels

Première partie. Le corps des nombres réels Première partie Le corps des nombres réels 1 2 Pour mesurer des longueurs, il y a tout d abord les nombres entiers, puis pour plus de précisions on s autorise àprendredesportionsdecesnombresentiers,c estcequel

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques Plan du chapitre 1 Lois de composition interne.... page 2 1.1 Définition....... page 2 1.2 Exemples......... page 2 1.3 Propriétés éventuelles des lois de composition interne...page

Plus en détail

N K, n 0 < n 1 < n 2 <

N K, n 0 < n 1 < n 2 < Chapitre 1 Suites réelles et complexes Dans ce chapitre, K désigne le corps R des nombres réels, ou le corps C des nombres complexes. Pour x K, nous noterons x le module de x (égal à la valeur absolue

Plus en détail

Limites et Continuité

Limites et Continuité Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Fès. Octobre 2013 Voisinages, Points adhèrents

Plus en détail

Limite et continuité de fonctions réelles

Limite et continuité de fonctions réelles Limite et continuité de fonctions réelles Denis Vekemans Introduction : on désigne par "fonction réelle" tout fonction d une variable réelle à valeurs réelles. 1 Limite finie 1.1 Définitions 1.1.1 Définition

Plus en détail

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 009-00 Chapitre : Correction des Travaux dirigés. Soit v n n i0 qi la somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q, et de premier terme.

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min 19-3- 2010 J.F.C. F.N.P.V. p. 1 V EXTREMUM 1. Les définitions de base Il convient d avoir une parfaite connaissance des définitions qui suivent Déf. 37 f est une application d une partie D de R n dans

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence.

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. Pré-requis : Suites numériques : monotonie, convergence, divergence ; Théorème des valeurs intermédiaires ; R est complet :

Plus en détail

Relation binaire, relation d ordre, treillis

Relation binaire, relation d ordre, treillis Info43 - Licence 2 - Année 2015/2016 Université de Bourgogne Labo. Le2i, UMR-CNRS 5158 http://jl.baril.u-bourgogne.fr February 29, 2016 Relation Binaire (((()))) 1234 ()((())) (()(())) ((()())) (())(())

Plus en détail

2 Maximum, minimum, borne supérieure...

2 Maximum, minimum, borne supérieure... Bibliothèue d exercices Énoncés L Feuille n 9 Propriétés de R Les rationnels Q Exercice. Démontrer ue si r Q et x Q alors r + x Q et si r 0 r.x Q.. Montrer ue Q, 3. En déduire : entre nombres rationnels

Plus en détail

COURS DE MATHEMATIQUES (MATH 2) N. CHENAVIER

COURS DE MATHEMATIQUES (MATH 2) N. CHENAVIER COURS DE MATHEMATIQUES (MATH 2) Licence MSPI, 1ère année Semestre 1 N. CHENAVIER 2 Table des matières 1 Rudiments de théorie des ensembles 5 1.1 Premières définitions..................................

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université de Nice SL2M 2009-10 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère l ensemble

Plus en détail

1. Espace Vectoriel Normé R p

1. Espace Vectoriel Normé R p Fonctions de plusieurs variables : limites et continuité 6-1 Sommaire 1. Espace Vectoriel Normé R p 1 1.1. Norme et distance associée........ 1 1.2. Part. bornées, boules, ouverts et fermés 2 2. Suite

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

Université du Maine. Licence 1. Analyse. Alexandre POPIER

Université du Maine. Licence 1. Analyse. Alexandre POPIER Université du Maine Licence Analyse Alexandre POPIER Année : 009-00 Table des matières Introduction Nombres réels et fonctions 3. Opérations sur les nombres réels....................... 4. Fonctions numériques.............................

Plus en détail

Documents pour l étudiant : Chapitre II : Limites

Documents pour l étudiant : Chapitre II : Limites 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre II : Limites Notations : Dans

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Limite d une fonction à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant

Plus en détail

Chapitre 4. Applications

Chapitre 4. Applications Chapitre 4 Applications 1. Définitions et exemples Définition 4.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES. 1 Les ensembles. 1.1 Définition d un ensemble

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES. 1 Les ensembles. 1.1 Définition d un ensemble 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les ensembles 1.1 Définition d un ensemble Définition 1. Un ensemble est une collection d objets mathématiques. Les objets qui

Plus en détail

7 Compléments : Quelques structures algébriques

7 Compléments : Quelques structures algébriques Université de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algébre 16-17 semestre 1 7 Compléments : Quelques structures algébriques Introduction : L ensemble des nombres rationnels est muni de deux opérations : l addition

Plus en détail

CHAPITRE I. Rappels sur

CHAPITRE I. Rappels sur CHAPITRE I Rappels sur R I - Généralités sur R : structure de corps ordonné II - Topologie de R : valeurs absolues, ites, développements ités III - Suites numériques : suites réelles et complexes I-Généralités

Plus en détail

Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths. Chapitre 3. Suites numériques

Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths. Chapitre 3. Suites numériques Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths Chapitre 3 Suites numériques p. 2 Remarque importante. Ce cours n est pas indépendant du cours de Mathématiques pour tous. Ce document

Plus en détail

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2.

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2. Chapitre III : Dérivées de fonctions composées et primitives I. Dérivées de fonctions composées a) Formule Propriété : g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur

Plus en détail

(R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

(R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. MT34 - R en exercices. (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Les définitions nécessaires à la compréhension de cet

Plus en détail

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations 4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle

Plus en détail

Chapitre 2. Ensembles et sous-ensembles

Chapitre 2. Ensembles et sous-ensembles Chapitre 2 Ensembles et sous-ensembles 1. Notion d ensemble - Elément d un ensemble Dans une théorie mathématique, il est rare qu un objet intervienne seul ; d où l idée de considèrer des collections,

Plus en détail

Etude de limites de suites monotones

Etude de limites de suites monotones Etude de ites de suites monotones I) Définition On dit que la suite ( ) est majorée lorsqu il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, M. On dit que M est un majorant de la suite (

Plus en détail

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre

Plus en détail

Analyse I : suites, limites et continuité

Analyse I : suites, limites et continuité Analyse I : suites, limites et continuité Maxime Legrand ENS - 7 décembre 2013 http ://matholympia.blogspot.fr/ 1 Petits rappels sur les quantificateurs Définition 1. On introduit (ou rappelle) les quantificateurs

Plus en détail

CHAPITRE 1 Nombres Entiers

CHAPITRE 1 Nombres Entiers CHAPITRE 1 Nombres Entiers Relations et opérations Sous-ensembles remarquables Sommaire A) L'ensemble N des nombres entiers "naturels" 1) Propriétés de l addition 2) Propriétés de la multiplication 3)

Plus en détail

Vincent Robin, Printemps 2017.

Vincent Robin, Printemps 2017. MT34 - R : définition axiomatique & structures. Vincent Robin, Printemps 2017. (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

Plus en détail

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL Université de Metz Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL par Ralph Chill Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz Année 2010/11 1 Table des matières Chapitre

Plus en détail

Terminale S Suites numériques

Terminale S Suites numériques Terminale S Suites numériques Raisonnement par récurrence. Introduction En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la n(n + ) somme des entiers naturels

Plus en détail

X - LOI DE COMPOSITION INTERNE INDUITE PAR UNE RELATION D ORDRE

X - LOI DE COMPOSITION INTERNE INDUITE PAR UNE RELATION D ORDRE X - LOI DE COMPOSITION INTERNE INDUITE PAR UNE RELATION D ORDRE Proposition 1 Soit E un ensemble muni d une relation d ordre large notée, vérifiant la propriété (I) pour tout couple (x, y) de E E, l ensemble

Plus en détail

COURS 6 : La droite réelle (suite)

COURS 6 : La droite réelle (suite) COURS 6 : La droite réelle (suite) Définition 0.1. Soit X une partie de R. On dit que X est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide I de R rencontre X (c est-à-dire contient au moins un élément

Plus en détail

Chapitre 3: Espaces topologiques

Chapitre 3: Espaces topologiques Chapitre 3: Espaces topologiques I. Définition et exemples. Dans le chapitre précédent, nous avons défini les ouverts puis nous avons également caractérisé les points adhérents, les points intérieurs,

Plus en détail

Nombres réels. Chapitre L ensemble N des entiers naturels Les axiomes de Peano

Nombres réels. Chapitre L ensemble N des entiers naturels Les axiomes de Peano Chapitre 1 Nombres réels L ensemble R des nombres réels est le cadre naturel de l analyse. Dans ce chapitre, nous allons construire cet ensemble en partant de l ensemble N des entiers naturels dont nous

Plus en détail

ANNEXE 5 : Quelques notions de mathématiques

ANNEXE 5 : Quelques notions de mathématiques ANNEXE 5 : Quelques notions de mathématiques 1. Inclusion et appartenance. Sur tout ensemble, on peut considérer deux relations très différentes (leur confusion conduisant à des difficultés innombrables),

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES RÉELS

COMPLÉMENTS SUR LES RÉELS COMPLÉMENTS SUR LES RÉELS De fait, vous savez presque tout sur les réels mais pas tout. Alors que vous manipulez des inégalités depuis assez longtemps, il y a tout de même une propriété de la relationsurque

Plus en détail

Suites - Récurrence 10X. 2 quiselit:sommedes 2 pouriallantde1à10vaut:

Suites - Récurrence 10X. 2 quiselit:sommedes 2 pouriallantde1à10vaut: Suites - Récurrence 1. Définitions - Rappels 1.1.Modes de définition d une suite La suite 0 =0 1 = =4 3 =6 peut être définiededeuxmanières: Définition explicite : ½ = Définition récurrente : 0 =0 +1 =

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Rem : Comme pour les fonctions, on omet souvent de préciser l ensemble de définition attention.

SUITES NUMERIQUES. Rem : Comme pour les fonctions, on omet souvent de préciser l ensemble de définition attention. ) GENERALITES A ) DEFINITION et NOTATIONS SUITES NUMERIQUES On appelle suite numérique toute application de IN dans IR. Une suite se note u, ( ) n IN, ( ) n 0 ou ( ), qui est la notation la plus utilisée.

Plus en détail

QUELQUES RAPPELS ET COMPLÉMENTS. 1. Relation d équivalence, relation d ordre

QUELQUES RAPPELS ET COMPLÉMENTS. 1. Relation d équivalence, relation d ordre QUELQUES RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1.1. Définitions. 1. Relation d équivalence, relation d ordre Définition 1.1. Soit E un ensemble et E E le produit cartésien. Une relation binaire (ou correspondance binaire)

Plus en détail

métriques et introduction aux espaces topologiques

métriques et introduction aux espaces topologiques Chapitre 1 Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques Les notations R, N, Z, Q, C sont comme d habitude. On utilisera les normes 1, 2, de R n. De même, on étudiera les

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

TD 1: Calcul propositionnel

TD 1: Calcul propositionnel Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 1: Calcul propositionnel Exercice 1. Soit p la proposition il fait froid et q il pleut. Donner l énoncé en language naturel

Plus en détail

Espaces Métriques. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. Exercices... 2

Espaces Métriques. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. Exercices... 2 Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Partie A : Avec les fonctions de référence Dans chacun des cas, comparer et sans utiliser la calculatrice ) =,40 et =,4 ) = 7 et = 4 ) = 0,5 et = 4) =,4 et

Plus en détail

Aide mémoire : Suites et limites

Aide mémoire : Suites et limites Aide mémoire : Suites et limites www.phymaths.ch - Résumé RM-1011G 19 septembre 010 Table des matières 1 Avant-propos 3 1.1 L étude des suites............................. 3 1. Qu est-ce qu une suite..........................

Plus en détail

1) a) Les nombres réels : Il existe des nombres qui n appartiennent à aucun des ensembles IN,!, ID ou!

1) a) Les nombres réels : Il existe des nombres qui n appartiennent à aucun des ensembles IN,!, ID ou! 2 nd Fonctions 1 Objectifs : IR, les intervalles. Traduire le lien entre deux quantités par une formule. Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : _ identifier la

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005 DENOMBRABILITE P. Pansu 14 mai 2005 1 Motivation Il y a t il plus de réels dans ]1, + [ ou dans l intervalle ]0, 1[? Oui, bien sûr. Des droites passant par l origine dans le plan, il y en a-t-il autant

Plus en détail

Ensembles, applications, relations

Ensembles, applications, relations Ensembles, applications, relations Notations : : «il existe» ; : «appartient à» ; : «contenu dans» : «quel que soit» ; : «n appartient pas à» ; : «n est pas contenu dans» : «contenu ou égal à» I) Ensembles

Plus en détail

Fiche de cours 2 - Suites de réels.

Fiche de cours 2 - Suites de réels. Licence de Sciences et Technologies EM1 - Analyse Fiche de cours - Suites de réels. Généralités sur les suites. Définition : Une suite est une fonction u : N R, définie à partir dun certain rang au moins.

Plus en détail

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Alain Prouté Université Denis Diderot-Paris 7 Dernière révision de ce texte : 21 novembre 2012 Ce texte a été écrit pour le niveau Licence 2. Table des

Plus en détail