Chapitre II : L ensemble des nombres réels

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre II : L ensemble des nombres réels 1 Quelques notions générales sur R 1.1 Définitions On suppose les notions de N (entiers naturels) et Z (entiers relatifs) connues. Définition 1. L ensemble Q des nombres rationnels est défini par : Q = { } p / p Z et q N q Remarque : Un sous-ensemble important de Q est l ensemble des nombres décimaux : D = { r Q/ p Z et k N; r = p } 10 k Définition 2. Une première définition sommaire (et qui devra être approfondie dans un chapitre ultérieur) de l ensemble R des nombres réels, est l ensemble des nombres qui peuvent s écrire de la forme : ±a 1 a 2 a n, d 1 d 2 Remarques : 1. Une telle écriture est appelée développement décimal.tout rationnel est un réel, mais il existe des réels non rationnels (dits irrationnels). 2. On a les inclusions : N Z Q R Exemple 1. 2 est irrationnel.

2 1.2 Opérations Opérations R muni de l addition est un groupe commutatif : 1. L addition est une opération interne : (x, y) R 2, x + y R. 2. L addition est associative : (x, y, z) R 3, (x + y) + z = x + (y + z). 3. L addition est commutative : (x, y) R 2, x + y = y + x est l élément neutre pour l addition : x R, x + 0 = 0 + x = x. 5. Tout réel possède un opposé pour l addition : x R, y R, x + y = y + x = 0 L opposé d un réel est unique : soit x R supposons qu il existe (y, z) R 2 tel que : x+y = y +x = 0 et x+z = z +x = 0, alors y = y +0 = y +(x+z) = (y +x)+z = 0+z = z On note x l opposé de x. R muni de l addition et de la multiplication est un corps commutatif : 1. La multiplication est une opération interne. 2. La multiplication est associative. 3. La multiplication est commutative est l élément neutre pour la multiplication. 5. Tout réel non nul possède un inverse. x R, y R, xy = yx = 1 : un tel inverse est unique et il est noté x 1 ou 1 x 6. La multiplication est distributive par rapport à l addition : (x, y, z) R 3, x (y + z) = (x y) + (x z) Remarque : La soustraction et la division se définissent naturellement : (x, y) R 2, x y = x + ( y) et x R, y R, x y = x y 1 Exercice 1. Q est également un corps commutatif. Mais Z ne l est pas... pourquoi? 2 Ordre sur R - Topologie de R Définition 3. On définit la relation sur R par : soient (x, y) R 2, x y signifie que x est inférieur ou est égal à y (i.e. x y 0) Théorème 1. R est un corps totalement ordonné. Justification : 1. La relation est : Réflexive : x R : (x x) Antisymétrique : (x, y) R 2, ((x y et y x) x = y)

3 3 Transitive : (x, y, z) R 3, ((x y et y z) x z) Ces trois propriétés font de R un ensemble ordonné. L ordre est total : (x, y) R 2, (x y ou y x). R est dit totalement ordonné. 2. La relation est compatible avec l addition : (x, y, z) R 3, x y x + z y + z 3. La relation est compatible avec la multiplication : Ainsi R est un corps totalement ordonné Exercice 2. (x, y) R 2, ((0 x et 0 y) 0 xy) 1. Montrer que si x est un réel qui vérifie x 0 alors 0 x. 2. Montrer que le carré d un réel est positif ou nul. 3. Montrer que : (0 x et y z) (xy xz) 4. Montrer que l on ne peut pas définir d ordre sur C qui en fasse un corps ordonné. Définition 4. Soit x R, on définit la valeur absolue de x, notée x par : x = max{ x; x} Conséquences, propriétés : Pour tous réels x et y, pour tout entier naturel n : 1. x 0 2. x = x 3. xy = x y 4. x n = x n 5. x y x 2 y 2 Théorème 2. (x, y) R 2, x + y x + y Conséquences : 1. (x, y) R 2, x y x + y 2. (x, y) R 2, x y x + y Exercice 3. On suppose que x 1 2 et que 5 y 4. Encadrer les expressions suivantes : 1) x + y 2) x y 3) xy 4) x y Définition 5. On dit qu un sous ensemble I de R est un intervalle de R, si pour tous réels a et b appartenant à I et pour tout réel x tel que a x b, alors x appartient à I. Soient a et b deux réels tels que a < b. On dit que l intervalle I des réels x est :

4 4 1. un intervalle fermé [a; b] (ou un segment) si, pour tout x appartenant à I, a x b. 2. un intervalle ouvert ]a; b[ si, pour tout x appartenant à I, a < x < b. 3. un intervalle semi-ouvert à droite [a; b[ (respectivement à gauche ]a; b]) si, pour tout x appartenant à I, a x < b (respect. a < x b). Dans ces trois cas, I est un intervalle dit borné de R. De la même façon, on définit les intervalles non bornés de R : Illustration : Notation de l intervalle [a; b] C est l ensemble des réels x tels que a x b Représentation sur la droite réelle [a; b[ a x < b ]a; b] a < x b ]a; b[ a < x < b [a; + [ x a ]a; + [ x > a ] ; b] x b ] ; b[ x < b Définition 6. On définit sur R une distance : soient x et y deux réels, on pose d(x, y) = y x = x y Conséquences : Soient x 0 R et r > 0 1. L ensemble {x R / x x 0 = r} = {x 0 r; x 0 + r} 2. L ensemble {x R / x x 0 r} = [x 0 r; x 0 + r] 3. L ensemble {x R / x x 0 r} =] ; x 0 r] [x 0 + r, ; + [ Exercice {x / x + 2 < 4} = 2. {x / x + 2 5} = Exercice 5. Écrire sans valeur absolue les fonctions suivantes : 1. f : f(x) = 3 x + 3x g : g(x) = 3 2x 1 + x 2 + 1

5 5 Théorème 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Pour tout entier n N, pour tous (x 1, x 2,, x n ) et (y 1, y 2,, y n ) éléments de R n ( ( n n ) ( n ) x i y i ) 2 x 2 i Remarque : une autre formulation de cette inégalité est : ( n n x i y i x 2 i 3 La fonction «Partie entière» Exemple 2. la fonction «partie entière» ) 1 yi 2 ( 2 n yi 2 Définition 7. Soit x un réel, il existe un unique entier (relatif) n tel que n x < n + 1. Cet entier est appelé «partie entière» de x. On le note E(x). La fonction «partie entière», notée E, définie sur R, associe à chaque réel sa partie entière. Illustration : ) 1 2 Exemples 3. E(π) = 3 ; E( 4, 35) = 5. Exercice 6. Figure 1 Courbe de la fonction «partie entière» 1. Montrer que (x, y) R 2, x y E(x) E(y) 2. Montrer que x R Z, E( x) = E(x) Montrer que x R; p Z, E(x + p) = E(x) + p. 4. Montrer que (x, y) R 2, E(x) + E(y) E(x + y) { 1; 0} Exercice 7. Tracer les courbes des fonctions suivantes 1. f : x x E(x) 2. g : x x E(x)

6 6 4 Majorant - minorant - bornes sup. et inf. Définition 8. Soit A une partie non vide de R. 1. On dit que M R est un majorant de A si pour tout x A, x M. 2. On dit que m R est un minorant de A si pour tout x A, x m. On notera M j(a) (resp. M n(a)) l ensemble des majorants (resp. minorants) de A. Exercice 8. Déterminer Mj(A) et Mn(A) : Pour A = R + Pour A = Z Pour A =]0; 1] Définition 9. Une partie non vide A de R est dite : minorée si Mn(A) majorée si Mj(A) bornée si elle est minorée ET majorée. Exemples 4. Z est une partie non majorée et non minorée de R. ]0; 1] est une partie bornée de R. N est une partie minorée mais non majorée de R. Théorème 4. Soit A une partie non vide de R. 1. Il existe au plus un élément a R vérifiant les conditions suivantes (a) a A (b) Pour tout élément x A, x a Si un tel élément existe, on dit que c est le plus grand élément de A et on le note max A. 2. Il existe au plus un élément b R vérifiant les conditions suivantes : (a) b A. (b) Pour tout élément x A, x b Si un tel élément existe, on dit que c est le plus petit élément de A et on le note min A. Exemples 5. N est une partie de R qui possède un plus petit élément (0) et n a pas de plus grand élément. ]0; 1[ est une partie de R qui n a ni plus petit ni plus grand élément. Toute { partie} finie de R possède un plus grand et un plus petit élément. 1 n /n N possède un plus grand élément (c est 1) mais ne possède pas de plus petit élément. Remarque : Si A possède un plus petit élément (resp. plus grand élément) alors A est minorée (resp. majorée). La réciproque est fausse (voir l exemple de l intervalle ]0; 1[ ci-dessus).

7 7 Définition 10. Soit A une partie non vide de R. 1. Si A est majorée, et si Mj(A) possède un plus petit élément M, on dit que M est la borne supérieure de A, et on note M = sup A 2. Si A est minorée, et si Mn(A) possède un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A, et on note m = inf A Remarques : Si max A (resp. min A) existe, il en est de même de sup A (resp. inf A) et dans ce cas sup A = max A (resp. min A = infa) La réciproque est fausse : par exemple : A =]0; 1] ne possède pas de minimum, mais inf A = 0. Pour tout réel x, on peut définir la valeur absolue de x par x = sup{ x; x} = max{ x; x} Il existe des parties de Q majorées dans Q mais qui ne possèdent pas de borne supérieure dans Q (penser à l ensemble { x Q/x 2 2 } ) Théorème 5. Soient A une partie non vide de R et M R. Alors M = sup A si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. Pour tout x A, x M. 2. Pour tout ε > 0, il existe a A tel que M ε < a Remarque : On a bien entendu un énoncé analogue avec le minorant : (à faire en exercice) Théorème 6. Soient A une partie non vide de R et m R. Alors m = inf A si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. Pour tout x A, x m. 2. Pour tout ε > 0, il existe a A tel que m + ε > a 5 Quelques propriétés de R Remarque : Q ne permet pas de traiter certaines questions... On a déjà vu qu il existe des nombres irrationnels (comme 2) : ainsi Q ne permet pas d étudier la longueur de la diagonale d un carré de côté de longueur 1... Exemple 6. Il existe des parties de Q qui sont majorées mais qui n admettent pas de bornes supérieures dans Q. On considère les deux suites u et v définie sur N par : u n = 1 1! + 1 2! n! et v n = u n + 1 n.n! On peut facilement montrer que u est croissante et v décroissante (à vérifier), et que pour tout entier n 1, u n < v n (évident). Ainsi : 0 < u 1 < u 2 < < u n < u n+1 < < v n+1 < v n < < v 2 < v 1 Soit A = {u n / n N }. A n admet pas de borne supérieure rationnelle.

8 8 a contrario on admet le théorème suivant : Théorème 7. Soit A une partie non vide de R. 1. Si A est majorée, elle admet une borne supérieure réelle. 2. Si A est minorée, elle admet une borne inférieure réelle. Remarque : L hypothèse «non vide» est primordiale car l ensemble vide est majoré par tout réel mais l ensemble des majorants (R) n admet pas de plus petit élément. Théorème 8. Pour tous X R et tous ε > 0, il existe n N tel que nε > X. On dit que R est archimédien. Exercice 9. Soit x R, montrer que : 1. ( ε > 0, 0 x ε) = x = 0 ( 2. n N, 0 x 1 ) = x = 0 n Définition 11. Soit D une partie de R. on dit que D est dense dans R lorsque Théorème 9. Q est dense dans R. (x, y) R 2, x < y d D/ x < d < y Exercice 10. Montrer que l ensemble des irrationnels noté R Q est également dense dans R.