PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

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1 COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Décembre 0 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES classe de e Durée : heures Présentation et orthographe : points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin. PARTIE : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES ( points) Exercice ( points) A + +, 0, 0 B 0, Exercice ( points) On considère l'expression : D( x ) 8.. Développer et réduire D. D( x ) 89 x 6 x+ 89 x 6 x 80. Factoriser D. D( x ) 8( x ) 9 [( x ) 9][( x )+ 9]( x 0)( x +8). Résoudre l'équation : ( x 0)( x +8)0. Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un des facteurs est nul. Donc x 00 ou x soit x ou x 8 0 Les solutions de cette équation sont donc et.. Calculer D pour x. On utilise la forme développée de D : D9 x 6 x 80. D9 ( ) 6 ( ) Exercice ( points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des expressions numériques, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte. Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.

2 Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D + est égal à : 9 6 0,77 8 Un article coûte 0. Son prix diminue de %. Le montant de cette réduction est égal à : 0, L'équation ( x )( x+) 0 a pour solutions : et et x 00 est égal à : (x 0) (x 0)( x+0) et (x 0) et 98 Exercice ( points) Soient les nombres a70 et b80.. Quel est le PGCD des deux nombres a et b? En utilisant la méthode des divisions successives de l'algorithme d'euclide : Le dernier reste non nul est 0, donc PGCD(80 ; 70) 0. a. Simplifier la fraction de manière à obtenir une fraction irréductible. b Les nombres 7 et 08 sont-ils premiers entre eux? Justifier. Écrivons la décomposition en facteurs premiers de ces deux nombres. 7 ² 7 et 08 Ces deux nombres n'ont aucun diviseur commun en dehors de, donc ils sont premiers entre eux. PARTIE : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES ( POINTS) Exercice ( points). Construire un triangle ABC tel que : AB 6 cm ; AC 8 cm et BC 0 cm.

3 . Démontrer que ce triangle est rectangle en A. Le plus grand côté du triangle ABC est [BC]. Or BC² 0² 00 d'une part, et AC² + AB² 8² + 6² d'autre part. On constate que BC² AC² + AB². Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.. On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle. a) Où se trouve le point O? Justifier la réponse. Le triangle ABC est rectangle en A. Or, si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse. Donc le point O est le milieu de [BC]. b) En déduire le rayon de ce cercle. Le rayon de ce cercle a pour longueur la moitié de BC, soit 0 cm.. Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle. Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC? Justifier. Le quadrilatère ABDC est un rectangle, donc ses diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu O et la même longueur. Donc OA OD, et comme A appartient au cercle circonscrit, le point D aussi. Exercice ( points) EFG est un triangle rectangle en E tel que EF cm et GF cm. F La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.. Calculer la mesure de l'angle EFG. Arrondir au degré près. Le triangle EFG est rectangle en E. E En utilisant la trigonométrie, on a : EF cos EFG FG On en déduit EFG arc cos 67 arrondi au degré près. ( ) N M G

4 . Montrer que EG cm. Le triangle EFG est rectangle en E. D'après le théorème de Pythagore, on a : FG² EF² + EG² Soit : ² ² + EG² On en déduit : EG² ² ² 69 ² Donc EG cm.. On considère le point M sur [EG] tel que EM cm. Calculer GM. GM GE EM 9 cm.. La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N. Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles? Justifier. Le triangle EFG est rectangle en E, donc (EF) (EG). De plus par construction, (MN) (EG). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (EF) // (MN).. Calculer GN. Les droites (FN) et (EM) sont sécantes en G et les droites (EF) et (MN) sont parallèles. GM GN MN D'après le théorème de Thalès, on a :. G E GF EF 9 GN MN En remplaçant par les valeurs numériques : 9 9, 7 On en déduit : GN Donc GN 9,7 cm. Exercice ( points) ABC est un triangle tel que AB 6 cm, AC cm et BC 8 cm.. a) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie. b) Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier.

5 D'une part AB² 6² 6 ; d'autre part AC² + BC² ² + 8² On constate que AB² AC² + BC². Donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.. Le mathématicien Héron d'alexandrie (Ier siècle) a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant a, b, c les longueurs des trois côtés et p son périmètre, l'aire A du triangle est donnée par la formule : p p p p A a b c Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC. Donner le résultat au cm² près. On appelle a BC 8 cm ; b AC cm ; c AB 6 cm ; Soit p le périmètre : p a + b + c cm. A ( )( )( ) ( 9 8 ) ( 9 )( 9 6 ) 9 6 cm² ( )( )( )

6 PARTIE : PROBLÈME ( POINTS) Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est adapté à sa taille. Première partie Dans le graphique figurant en annexe, on lit pour une taille comprise entre 0 cm et 00 cm : en abscisse, la taille exprimée en cm ; en ordonnée, le poids exprimé en kg. A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes. ) Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 80 cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près. D'après le graphique, une personne mesurant 80 cm doit avoir un poids minimum de 60 kg et un poids maximum de 8 kg. ) Une personne mesure 6 cm et pèse 7 kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé. De combien? Donner la valeur arrondie au kg près. Cette personne dépasse le poids maximum conseillé de kg. ) Une personne de 7 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille? Une personne de 7 kg peut mesurer entre 69 et 97 cm. Deuxième partie Dans cette partie, t représente la taille d'une personne, exprimée en cm. On calcule ce qu'on appelle le poids idéal, que l'on note p. t 0 p, exprimé en kg, est donné par la formule : p t 00. ) Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement : , 7, kg * 60 cm ; p ,7 6, kg * 6 cm ; p , 7, kg * 80 cm. p Placer les points correspondants sur le graphique figurant en annexe. Tracer la droite passant par ces points. ) Démontrer que la formule donnant le poids idéal en fonction de la taille peut s'écrire : p 0,7 t 6,. p t 00 t 0 t 00 ( t 0 ) t 00 t + 0 t 0 t 0 0,7 t 6, ) Une personne mesure 70 cm et son poids idéal est égal au poids idéal augmenté de 0 %. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé? Le poids idéal pour une personne de 70 cm est 6 kg : p 0,7 t 6, 0,7 70 6, 7, 6, 6 kg. Si on augmente ce poids idéal de 0%, cela donne : 6 + 6, 7, kg. Or, d'après le graphique, une personne mesurant 70 cm doit avoir un poids compris entre et 7 kg. Donc elle ne dépasse par le poids maximum autorisé.

7 NOM : PRÉNOM : CLASSE : ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE

8 Figures