Exercices : Produit Scalaire

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1 hapitre 9 wicky-math.fr.nf Produit Scalaire Exercices : Produit Scalaire Exercice 1. ans un repère orthonormal, les points, et ont pour coordonnées respectives (1; 1, (3; 4 et (3 k; 1 oùkest un réel. 1. éterminer le réelk afin que le triangle soit rectangle en. 2. émontrer que le triangle est alors isocèle en. Exercice 2. Sur la figure ci-contre on a tracé deux cercles et de centreoet de rayons respectifs 2 et 3. Le repère (O; i, j est orthonormal. alculer les produits scalaires suivants : 1. O OJ 2. O OK 3. O O 4. O O 5. O 6. J 7. K K j O 60 i J Exercice 3. ans chacun des cas suivants, calculer u v : 1. u(2; 3 et v( 1; 5 2. u = 1 ; v = 2 ; ( u, v = 2π 3 rad 3. u = 2 ; v = 3 et u + v = 3 4. u = 1 ; v = 3 ; ( u, v = 0 rad 5. u = 2 ; v = 3 ; ( u, v =π rad 6. ans un repère (O; i, j orthonormal : u = 2 i 3 j et v = i + 2 j Exercice 4. On prend le centimètre comme unité. onstruire un triangle tel que : 1. = 3, = 6 et = 9 2. = 4, = 5 et = = 3, = 4 et = 0 Exercice 5. On considère un segment [] etoson milieu. Soit la médiatrice du segment [] etm Montrer que : 1 M = 2 2 Exercice 6. est un triangle équilatéral de côté 5 cm. est le milieu de []. alculer les produits scalaires suivants : (.Zancanaro, Lycée J.urand, 1S/

2 hapitre 9 wicky-math.fr.nf Produit Scalaire Exercice 7. Soit un carré, on construit un rectanglepqr tel que : PetRsont sur les côtés [] et [] du carré P =R ut : On souhaite montrer que les droites (PR et (Q sont perpendiculaires R Q 1. Montrer que : Q PR = Q ( R P 2. En déduire que les droites (PR et (Q sont perpendiculaires. P Exercice 8. est un triangle dans lequel = 2 et = 3. e plus = 4 est-il rectangle? Si oui, préciser le sommet. Exercice 9. est un parallélogramme avec = 4, = 5 et = 7 alculer. En déduire. Exercice 10. est un cercle de centreoet de rayonr etm un point non situé sur. eux droites issues dem coupent respectivement enet et en et ut : Montrer que M M = M M On note le point diamétralement opposé àsur 1. Faire deux figures suivant quem est à l intérieur ou à l extérieur de 2. émontrer que M M = M 3. (a En utilisant la relation de hasles, démontrer que : (b En déduire que M M = M M M =MO 2 r 2 Note On montre ainsi que le produit scalaire M M est indépendant de la sécante issue dem, il ne dépend que de la distance dem ào. Le réelmo 2 r 2 (qui est nul lorsquem est un point de est appelé puissance dem par rapport à. l est positif lorsquem est à l extérieur de et négatif sim est à l intérieur de Exercice 11. On construit un triangle équilatérale de côté 1 et deux carrés etgfe comme sur la figure ci-dessous 1. alculer E, en déduire E 2. alculer E E 3. (a émontrer que le triangle G est équilatéral. (b En déduire G et E 4. alculer E EF 5. En utilisant la relation de hasles, calculer E F.Zancanaro, Lycée J.urand, 1S/

3 hapitre 9 wicky-math.fr.nf Produit Scalaire 6. En déduire que les points,e etgsont alignés. F E G Exercice 12. est un rectangle tel que = 3 et = 5. est le milieu de [] 1. alculer et 2. Exprimer chacun des vecteurs et en fonction des vecteurs et, puis calculer le produit scalaire : ( ; 3. En déduire la valeur de l angleθ= à 0,001 près en degrés. θ Exercice 13. On se place dans un repère orthonormé (O; i, j. Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle : 1.x 2 +y 2 2x 6y + 5 = 0 2.x 2 +y 2 x 3y + 3 = 0 Exercice 14. On se place dans un repère orthonormé (O; i, j. On considère un triangle avec( 1; 2,(3; 1 et(2; 4..Zancanaro, Lycée J.urand, 1S/

4 hapitre 9 wicky-math.fr.nf Produit Scalaire 1. éterminer une équation de la médiatrice du segment []. 2. éterminer une équation de la hauteur issue dedans le triangle. Exercice 15. ans un repère orthonormé (O; i, j, on donne un point Ω(2; éterminer l équation du cercle de centreω et de rayonr=5. 2. émontrer que le point( 2; 0 est un point du cercle. 3. éterminer une équation cartésienne de la tangente enau cercle. Exercice 16. ans un repère orthonormé (O; i, j, on considère les points suivants : (2; 1 (7; 2 (3; 4 Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport : 1. alculer les coordonnées du barycentregde{(, 3; (, 2; (, 4}. 2. éterminer une équation cartésienne de la médiatrice de []. 3. alculer. L angle  est-il droit? Exercice 17. ans un repère orthonormé (O; i, j, on considère le point (3; 5. hercher une équation de la tangente enau cercle de centreoet de rayono. Exercice 18. Soit un triangle etk le projeté orthogonal desur (. On donne = 6,K = 4 et K = 7 1. est le milieu de [] etgle centre de gravité du triangle. Faire une figure. 2. alculer les produits scalaires suivants :,, G, ainsi que la somme : G + G + G 3. éterminer et représenter en rouge l ensemble des points M du plan tels que : M = 44 ( 4. éterminer et représenter en vert l ensemble des points M du plan tels que : M + M + M = 0 Exercice 19. [] est un segment de milieu et = 2 cm. 1. Montrer que pour tout point M du plan :M 2 M 2 = 2 M 2. Trouver et représenter l ensemble des points M du plan tels que :M 2 M 2 = 14 Exercice 20. On considère un segment [] avec = 1 dm. éterminer l ensemble des points M tels que : 1. M M = 1 2.M 2 +M 2 = 5 Exercice 21. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i, j. On considère le cercle passant par les points (4; 2 et(2; 6 et dont le centreω est situé sur la droitedd équationx +y + 2 = Faire une figure 2. éterminer les coordonnées de Ω 3. éterminer une équation de.zancanaro, Lycée J.urand, 1S/

5 hapitre 9 wicky-math.fr.nf Produit Scalaire Exercice 22. Le but de cet exercice est de démontrer, à l aide du produit scalaire, que les hauteurs d un triangle sont concourantes. Soit un triangle. On note, et les projetés orthogonaux respectifs de, et sur (, ( et (. On noteh = ( ( 1. Que valent les produits scalaires suivants : H et H 2. alculer H 3. onclure. Exercice 23. ans un repère orthonormé (O; i, j, on donne ( 2; 2 et (2; alculer les coordonnées du milieu de[]. 2. émontrer que, pour tout pointm du plan, on a : M 2 +M 2 = 2M émontrer que l ensemble E des points M du plan tels que :M 2 +M 2 = 40 est un cercle de centre et de rayonr=4. 4. éterminer une équation du cercle. 5. éterminer les coordonnées des (éventuels points d intersection de avec l axe des abscisses. 6. Soitλun réel négatif. omment choisirλpour que le pointz(7;λ soit sur? 7. éterminer une équation de la tangente T à enz. Exercice 24. Olympiades ans un triangle, la hauteur, la bissectrice et la médiane relative au sommet partagent l angle en quatre angles de même mesureαen degré. près avoir exprimé, en fonction deα, les mesures de tous les angles de la figure, en déduire les mesures des angles du triangle αα αα H O.Zancanaro, Lycée J.urand, 1S/