1 Vidange d un réservoir

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1 1 Vidange d un réservoir 1. L écoulement étant incompressible et homogène, le débit volumique se conserve entre la section d entrée de surface S et la section de sortie s du tube, d où : V ts = vts. De plus, la vitesse de la surface libre repérée par z = ht z est donnée par dh = V t, et donc : vt = S s V t = S dh s et comme s S, V t vt et on pourra négliger V t devant vt dans toute la suite.. L écoulement est incompressible, homogène et parfait mais n est pas stationnaire. Cependant d après le résultat de la question précédente la vitesse de variation de la hauteur d eau dans le réservoir est très faible devant la vitesse d éjection du fluide. On peut donc considérer le régime comme quasi-stationnaire. On peut alors appliquer la relation de Bernoullientre les points A et B, le long d une ligne de courant : P B µ + gz B + v B = P A µ + gz A + v A Or P A = P B = P 0, z a z B = h, v A = V et v B = v, d où : 3. Le lien entre dh v V = gh soit v = gh puisque V v et vt permet d établir l équation différentielle vérifiée par ht : dh = V = s S vt = s gh S Séparons les variables pour pouvoir faire l intégration de cette équation : dh h = s S g soit h h0 = s g S t Le temps de vidange T est obtenu lorsque ht = 0, soit lorsque : T = S s h 0 g Nous pouvons vérifier la pertinence du résultat : T croît si g diminue la pesanteur est le moteur de la vidange, si S augmente il y a davantage d eau à évacuer et si s diminue la finesse du tuyau de sortie limite la vidange. Le rôle de h 0 est plus subtil car h 0 fait croître linéairement le volume d eau à évacuer, mais fait croître en h 0 la vitesse d éjection v ; l expression de T montre que c est le premier effet qui l emporte, mais le second effet explique que T ne soit pas proportionnel à h Si la section s est trop faible, le modèle de l écoulement parfait n est pas correct car la viscosité joue un rôle important dans le tube de sortie : ni l équation d Euler, ni le théorème de Bernoulli ne sont valables dans ce cas. Pour évaluer le rayon R critique en dessous duquel la viscosité joue un rôle important, il suffit de comparer les forces volumiques de viscosité intégrées sur la longueur du tube où elles interviennent aux forces volumiques de pesanteur intégrées sur la hauteur h 0 du réservoir on compare alors des énergies : η v L µ ηlv/r g h 0 µgh 0 µgh 0 R ηl µ gh 0 R ηl gh0 Le critère pour pouvoir négliger la viscosité est obtenu lorsque le rapport précédent est très petit devant 1, soit pour : R R c = ηl µ 0.1mm gh 0 1

2 Perte de charge singulière 1. Système ouvert : fluide compris entre S 1 et S voir schéma. Système fermé : Σ t = Σt Σ et Σ t + = Σt + Σ 1. Bilan de quantité de mouvement en régime stationnaire projeté sur l axe horizontal : = δm v 1 δm v = µv 1 S 1 v 1 µv S v Loi de la quantité de mouvement appliquée au système fermé projetée sur l axe horizontal : = P 1 S 1 P S µs 1 v 1 µs v = P 1 S 1 P S. La présence de zones d eaux mortes vient du caractère réel de l écoulement. Celui ne peut être considéré comme parfait et donc la relation de Bernoulli ne peut pas s appliquer le long d une ligne de courant. 3. Perte de charge : P tot = P µv 1 P + 1 µv = v 1 µ g 1 S 1 S 4. On observerait une chute de pression et non une montée de pression, l origine de la perte de charge étant une dissipation d énergie mécanique, c est une action non conservative qui agit sur le système. Pour un coulement en sens inverse, les zones d eaux mortes seraient également différentes. 3 Fusée 1. La masse du système constitué de la fusée et son contenu constituent un système ouvert S o puisque sa masse mt diminue au cours du temps.. A l instant t, le système fermé S f correspond à la fusée et à son contenu à l instant t A l instant t + δt, le système S f correspond à la fusée et à son contenu à l instant t + δt et à la masse sortie de la fusée entre t et t + δt. 3. La masse éjectée entre les instant t et t + δt vaut D m δt donc mt = m 0 D m t

3 4. A l instant t, la quantité de mouvement du système fermé S f vaut : p f t = mt v t A l instant t + δt, la masse δm = D m δt de gaz éjecté a une vitesse v t + on remarquera que v t = v z et = u z et donc une quantité de mouvement D m v t +. La fusée et son contenu ont une quantité de mouvement p t + δt = mt + δt v t + δt car le carburant, à l état solide, possède la même vitesse que la fusée. Le système fermé S f a donc pour quantité de mouvement à l instant t + δt : p f t + δt = mt + δt v t + δt + D m v t + La variation de la quantité de mouvement entre t et t + δt s écrit pour le système fermé S f : D p f = p f t + δt p f t = mt + δt v t + δt + D m v t + mt v t En limitant les calculs à l ordre 1 : D p f = [mt D m δt] [ v t + d v ] + Dm v t + mt v t = mtd v + Dm δt En divisant par δt et en passant à la limite, nous obtenons la dérivée particulaire de p f : D p f = mt d v + D m Le système fermé S f est soumis à son poids mt g. Comme l énoncé suppose que la pression P 0 est uniforme sur la surface du système S f, la résultante des forces de pression est nulle. Le théorème de la résultante cinétique appliqué au système S f dans le référentiel terrestre supposé galiléen s écrit : D p f = mt g On en déduit finalement, on utilisant les deux expressions de D p f : mt d v + D m = mt g Tout se passe donc comme si le mouvement du centre de gravité de la fusée était décrit par l équation habituelle m a = F ext, à condition d ajouter aux forces réelles une force fictive Π = D m appelée poussée. 5. En remplaçant l expression de mt et en séparant les variables, on obtient : qui s intègre en : d v = g D m m 0 D m t v t = g t + lnm0 D m t + cste Sachant que à t = 0, mt = 0 = m 0 et vt = 0 = 0, on obtient : v t = g t + ln 1 D mt m 0 Cette vitesse est bien dirigée vers le haut, car est dirigé vers le bas, mais le terme logarithmique est négatif. On notera que cette formule n est valable qu au tout début du mouvement. En effet, celle n est tout d abord vérifiée que jusqu à ce que tout le carburant soit épuisé. Dans ce cas, D m t epuisement = m carburant < m 0. De plus, lorsque la fusée s élève, la gravité change, et la pesanteur g n est plus constante. 3

4 4 Jet d eau de Genève 1. Le débit volumique vaut : D V = πa 0 v 0, donc : v 0 = D V πa 56m.s 1 0 La hauteur maximale du jet s obtient en appliquant le théorème de l énergie cinétique à une goutte d eau on aurait pu également utiliser le principe fondamental de la dynamique, mais la méthode choisie est plus rapide. En l absence de frottement, toute l énergie cinétique initiale est convertie en énergie potentielle de pesanteur, soit : 1 m gouttev 0 = m gouttegh. On en déduit donc : h = v 0 g 160m C est une grande hauteur pour un jet d eau, mais vu la photo, cet ordre de grandeur paraît raisonnable.. Le débit volumique se conserve car l eau est un fluide qu on peut considérer ici comme incompressible. On peut donc en déduire la vitesse de l eau dans la grande canalisation en négligeant l influence de la viscosité de l eau sur la paroi, de sorte que le profil de vitesse dans la canalisation est considéré comme uniforme : D V = πa 0v 0 = πa 1v 1 On en déduit : v 1 = D V πa 1 0.6m.s 1. La vitesse est beaucoup plus faible qu en sortie, puisque le diamètre de la canalisation est beaucoup plus important. Nous sommes ici dans les conditions d application de la formule de Bernoulli puisque l écoulement est parfait, incompressible, et permanent. Le long d une ligne de courant entre le début de la grande canalisation et l orifice de sortie, on peut donc écrire : P 0 + v 0 + gz 0 = P 1 + v 1 + gz 1 or les deux points considérés sont presque à la même altitude, donc z 0 z 1, et l eau est à la pression atmosphérique P 0 au niveau de la sortie du jet. Finalement : P 1 = P 0 + µ v 0 v Pa = 17bar La pompe doit donc être très puissante afin de réaliser cette pression. 3. Effectuons un bilan d énergie mécanique pour le système fermé constitué à t : de l eau dans la canalisation et de l eau qui va rentrer en amont de la pompe entre t et t +, à la vitesse v e 0, altitude z 1 ; à t + : de l eau dans la canalisation et de l eau qui est sortie par l orifice entre t et t +, à la vitesse v o, altitude z o z 1. L énergie mécanique du système à l instant t vaut : E mt = E m t + D V µv e L énergie mécanique du système à l instant t + vaut : E mt + = E m t + + D V µv 0 + m e gz 1 E m t + m e gz 1 + m o gz o E m t + + D V µv 0 + m e gz 1. En régime stationaire il y a conservation du débit massique d où m e m o, on fait de plus l approximation z 1 z o. On peut en déduire la variation d énergie cinétique entre t et t + en suivant le système fermé en régime stationnaire : dem = D V µv0. Appliquons maintenant le théorème de l énergie mécanique appliqué au système fermé : de m = P n c 4

5 Les forces non conservatives sont les forces de pression, de résultante nulle car la pression est supposée uniforme sur toutes les frontières du système fermé, et l action de la pompe. On en déduit donc : de m = P 0 Application numérique : P 0 = D V µv 0 P 0 = 7, W. C est une puissance importante, mais le résultat paraît raisonnable car, à titre de comparaison, un moteur de petite voiture fait environ 70ch et 1ch = 736W, soit environ 50kW. La puissance requise est donc celle d une dizaine de moteurs de voiture. 4. On vérifie tout d abord bien que P > P. Il y a donc un surplus d énergie qui a été dissipé. Appliquons maintenant le premier principe de la thermodynamique généralisé au système fermé précédent, afin de faire intervenir des grandeurs mécaniques et thermodynamiques. Il conduit directement à : On en déduit donc : P 1 P 0 = D V µc T T = P 1 P 0 D V µc 0.1 C La différence de température est donc négligeable. Le fonctionnement du jet d eau ne risque donc pas de réchauffer l eau du lac et de mettre en danger la vie des poissons... 5