Application des surfaces de réponse pour l'analyse abiliste d'une structure spatiale

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Achille Langevin
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1 Application des surfaces de réponse pour l'analyse abiliste d'une structure spatiale 6 eme Journées Nationales de Fiabilité Nicolas ROUSSOULY 1,2, Michel SALAUN 2, Frank PETITJEAN 1, Fabrice BUFFE 3, Anne CARPINE 4 1 ICAM, 2 Université de Toulouse, ICA, ISAE 3 CNES, 4 Thales Alenia Space Mars 2010

2 2/21 Sommaire 1 2 3

3 3/21 Plan 1 2 3

4 4/21 Contexte Pourquoi l'approche probabiliste dans le domaine spatial? Le choix de la solution optimale doit intégrer une vision technique et nancière. Il faut fournir une information plus riche sur le plan technique pour aider le décideur. L'approche probabiliste intégre dans l'information nale le contenu des hypothèses de départ. La contribution technique dans le processus de décision : anoncer une probabilité de défaillance à chaque solution.

5 5/21 Choix de la méthode Pourquoi les surfaces de réponses? Approche non-intrusive. Approche plus souple (ré-analyse, optimisation...). Comportement mécanique simple (linéaire, élastique), réponses régulières. Variations des paramètres faibles.

6 6/21 Plan 1 2 3

7 7/ r s Failure domain Success domain Limit state Méta-modélisation Outputs Inputs Mechanical Parameters Materials Geometries Loads... Propagation of uncertainties Finite element model Mechanical Results Stresses Displacements Frequencies... Statistical information Random variables Normal law Uniform law Weibull law... Expectation, variance Distribution law Variance decomposition... Reliability f R,S Propagation of uncertainties Metamodel Response surface Probability of failure

8 8/21 Les surfaces de réponse A partir d'un échantillon statistique de taille N, on cherche un modèle de regression linéaire : y = X β + ε y vecteur des observations ; X matrice des régresseurs de taille N K (N > K ), de rang maximum ; β vecteur des coecients à déterminer ; ε vecteur des erreurs.

9 /21 Résolution La méthode des moindres carrés donne une estimation des paramètres β par : ˆβ = min β R K y X β 2 et on obtient : ˆβ = (X T X ) 1 X T y

10 Qualité du modèle Comment évaluer la qualité de prédiction du modèle? L'erreur d'apprentissage (somme des carrés résiduelle, notée SCR) n'est pas un bon indicateur Exemple : 6 Métamodèle Modèle de référence 10/21 4 Point d'apprentissage

11 11/21 Qualité du modèle Possibilités : Estimer l'erreur sur un autre échantillon, diérent de celui d'apprentissage : couteux.

12 11/21 Qualité du modèle Possibilités : Estimer l'erreur sur un autre échantillon, diérent de celui d'apprentissage : couteux. Estimer l'erreur par un critère de pénalisation de la forme : J = f (SCR) + pénalisation où pénalisation = f (Nombre de regresseurs). Exemple : Cp de Mallows, AIC, BIC, R 2 ajusté.

13 11/21 Qualité du modèle Possibilités : Estimer l'erreur sur un autre échantillon, diérent de celui d'apprentissage : couteux. Estimer l'erreur par un critère de pénalisation de la forme : J = f (SCR) + pénalisation où pénalisation = f (Nombre de regresseurs). Exemple : Cp de Mallows, AIC, BIC, R 2 ajusté. Estimer l'erreur par simulation en construisant des sous-échantillons à partir de l'échantillon de base : Validation Croisée : découpage de l'échantillon de base en plusieurs sous-ensembles ; Bootstrap : construction de sous-échantillons de taille N par tirages aléatoires avec remise dans l'échantillon de base.

14 12/21 Construction du modèle Lorsque le nombre de variables est important, le nombre de régresseurs peut être très important (modèle quadratique avec interactions). On cherche un sous-ensemble de regresseurs de manière itérative. Sélection forward, backward, stepwise, sequential replacement. Sélection du meilleur sous-ensemble de régresseurs au sens d'un critère de pénalisation.

15 12/21 Construction du modèle Lorsque le nombre de variables est important, le nombre de régresseurs peut être très important (modèle quadratique avec interactions). On cherche un sous-ensemble de regresseurs de manière itérative. Sélection forward, backward, stepwise, sequential replacement. Sélection du meilleur sous-ensemble de régresseurs au sens d'un critère de pénalisation. Pour utiliser les 4 critères (Cp, AIC, BIC et R 2 ajusté) : recherche forward au sens de la SCR ; comparaison des modèles de niveau diérent (1 regresseur, puis 2...) au sens des critères de pénalisation ; parmi les 4 modèles potentiels, sélection du meilleur au sens de la validation croisée.

16 13/21 Validation du modèle L'indicateur d'erreur nal est fourni par le bootstrap : variations maximales des prédictions.

17 13/21 Validation du modèle L'indicateur d'erreur nal est fourni par le bootstrap : variations maximales des prédictions. 0 5 Learning points 5% of exact variation Predicted response Exact response

18 13/21 Validation du modèle L'indicateur d'erreur nal est fourni par le bootstrap : variations maximales des prédictions. Le modèle est validé par l'inuence de son erreur sur la probabilité de défaillance : soit ˆφ le méta-modèle d'une réponse mécanique ; X 1 et X 2 des vecteurs de variables aléatoires ; G(X 1, ˆφ(X 2 )) la fonction de performance associée à la réponse. On dénit les probabilités : P f + = P(G(X1, ˆφ(X2) + ε sup ) 0) P f = P(G(X1, ˆφ(X2) ε inf ) 0) où ε sup et ε inf sont les variations maximales supérieure et inférieure observées par bootstrap.

19 14/21 Plan 1 2 3

20 15/21 Description du modèle - TARANIS ddl 8 cas de chargements statiques Temps de calcul unitaire environ 2 min

21 16/21 Descriptif de l'étude Marge élastique dans les panneaux latéraux, inférieur et supérieur : MS elas = R e 1 σ calc Marge de glissement dans les vis d'interface entre le plateau inférieur et les panneaux latéraux : MS gliss = F preload F N 1 F T f ass 151 variables aléatoires, 81 dans le modèle éléments nis : épaisseurs uniformes 10% propriétés matériaux gausiennes 4% limites élastiques, précharges, coecients de frottement gaussiennes 10% 1200 réponses, 150 étudiées.

22 Démarche progressive Etape 1 : termes linéaires et carrés (échantillonnage Latin Hypercube dimensionné pour un modèle linéaire 3K ). Etape 2 : ajout des termes d'interaction (sans augmenter le plan). Sélection des termes inuents par analyse de sensibilité : méthode de MORRIS OAT, 3K calculs. 1 b 1 Percentage of cumulative importance of variables /21 Percentage of variable

23 18/21 Erreurs des métamodèles

24 19/21 Résultat des probabilités de défaillance 10 6 tirages

25 20/21 Résultat des indices de abilité Erreur relative max : 5.1%

26 21/21 Conclusions Nombre de calculs éléments nis : 492. Temps total environ 20h. Les surfaces de réponse permettent d'obtenir des résultats corrects Perspective : Changement des lois Utilisation multiple (optimisation...) Analyse de réponses dynamiques

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