Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria

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1 Itinéraire d'accès à (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria

2 ROYAUME DU MAROC المملكة المغربية Ministère de l'enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique Présidence du Concours National Commun 15 École Nationale Supérieure d Électricité et de Mécanique CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission dans les Établissements de Formation d'ingénieurs et Établissements Assimilés Édition 15 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Filière PSI Durée 4 heures Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde L'usage de la calculatrice est interdit Page de garde

3 Concours National Commun Session 15 PSI L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la lière PSI, comporte 4 pages. L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit. Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé de deux problèmes indépendants entre eux. Problème 1 Étude d'une fonction dénie par une intégrale 1 ère Partie Convergence et calcul de l'intégrale dt t 1.1. Convergence de l'intégrale en question Montrer que la fonction t 1 cos t est intégrable sur l'intervalle ], + [. t Montrer que, pour tout couple (ε, a) de réels tels que < ε < a, on a ε dt = 1 cos a 1 cos ε + t a ε ε 1 cos t dt En déduire que l'intégrale dt est convergente. t 1.. Calcul d'une intégrale auxiliaire Montrer que, pour tout t R \ πz et tout n N, 1 n + cos(kt) = somme 1 n + cos(kt) si t πz? k= On prolonge la fonction t n+1 t k=1 n+1 sin t. Que vaut la sin par continuité en. Montrer que n+1 t { si t = ; 1.3. On considère la fonction g dénie sur le segment [, π] par : g(t) = Montrer que g est de classe C 1 sur [, π] Montrer que En déduire que g(t) sin n+1 t dt = n+1 g(t) sin n+1 t dt 1.4. Calcul de l'intégrale en question sin Montrer que n+1 t Conclure que t π n +. t dt dt = π. n +. g (t) cos n+1 t dt. 1 dt = π. 1 t si < t π. Épreuve de Mathématiques I 1/4 http: // al9ahira. com/

4 Concours National Commun Session 15 PSI ème Partie Application à l'étude d'une fonction.1. Soit x un réel non nul Montrer que la fonction t 1 cos(xt) (1 + t) est intégrable sur l'intervalle [, + [..1.. Montrer que, pour tout réel a >,.1.3. En déduire que l'intégrale Dans la suite du problème, on pose f(x) =.. Montrer que la fonction f est impaire..3. Étude de f au voisinage de + 1 cos(xa) dt = t x(1 + a) x 1 cos(xt) (1 + t) dt. dt est convergente et que 1 + t 1 + t dt = 1 x.3.1. Montrer que, pour tout x >, f(x) x.3.. Vérier que, pour tout x >, f(x) = 1 x 1 x +, on a f(x) = 1 x + O ( 1 x ). 1 cos(xt) (1 + t) dt. dt, x. 1 + t et en déduire la limite de f en +. cos(xt) dt puis montrer qu'au voisinage de (1 + t).4. Sens de variation de f 1 cos u.4.1. Montrer que, pour tout x >, f(x) = (x + u) du..4.. En déduire que f est strictement décroissante sur ], + [ et sur ], [..5. Étude de la régularité de f sur ], + [.5.1. On note h la fonction dénie sur l'intervalle ], + [ par : h(x) = (1 + t) 3 dt. Justier la convergence de l'intégrale dénissant h et montrer que h est de classe C 1 sur ], + [ puis exprimer sa dérivée sous forme intégrale..5.. Justier que, pour tout (x, y) ], + [, h(x) h(y) 1 x y Montrer que, pour tout x >, f(x) = 1 x x dt et en déduire que f est de classe (1 + t) 3 C 1 sur l'intervalle ], + [..6. Étude de f à droite en.6.1. Montrer que, pour tout x >, π f(x) = x sin u u(x + u) du..6.. Montrer que, pour tout x >, sin u u(x + u) du 1 + ln(1 + x) ln x En déduire la limite de f en + et justier que, pour tout x >, < f(x) < π = sup f(t) Montrer que, pour tout x >, < π f(x) = x sin u u(x + u) du + π t> sin u du puis en u(x + u) déduire que la fonction x π f(x) x tend vers + lorsque x tend vers +. On pourra justier et utiliser le fait que, pour tout t [, π ], π t..7. Donner une interprétation graphique du résultat de la question.6.4. précédente et dessiner l'allure de la courbe représentative de f..8. Montrer que la fonction x f (x) est intégrable sur l'intervalle ], + [. Épreuve de Mathématiques I /4 http: // al9ahira. com/

5 Concours National Commun Session 15 PSI Problème Étude d'un problème de dirichlet Dans ce problème, le nombre d est un entier naturel strictement positif. On note. 1 la norme dénie d sur R d par x 1 = x i, pour tout x = (x 1,..., x d ) R d. Pour tout x Z d, on dénit V (x) le voisinage i=1 discret (sous-entendu dans Z d ) de x par : V (x) = {y Z d ; y x 1 = 1}. Ce voisinage est l'ensemble des plus proches voisins de x, il est ni de cardinal d. Si A est une partie non vide de Z d, on note I(A) l'ensemble des x A tels que V (x) A et A le complémentaire dans A de I(A). On remarquera que pour A = Z d on a I(A) = A et A =, et pour A ni de cardinal < d, on a I(A) = et A = A. On dit qu'une fonction f : A R est harmonique sur I(A) si, pour tout x I(A), f(x) = 1 d y V (x) Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont supposées dénies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P ) qu'il n'est pas nécessaire d'expliciter. 1 ère Partie f(y). Fonctions harmoniques sur le graphe Z d Dans les trois premières questions de cette partie, on prend d = Montrer qu'une fonction f : Z R est harmonique sur Z si, et seulement si, quel que soit l'entier relatif k, on a f(k + ) f(k + 1) + f(k) =. 3.. Montrer que l'ensemble des fonctions harmoniques sur Z est un espace vectoriel de dimension, préciser une base de cet espace Montrer que l'ensemble des fonctions f : Z R, harmoniques sur I(Z ), est un espace vectoriel de dimension 4, préciser une base de cet espace. On commencera par déterminer I(Z ). Dans la suite de cette partie, d est un entier strictement positif quelconque On considère une fonction f : Z d R, positive et harmonique sur Z d Montrer que, pour tout k Z d et tout l V (k), f(l) d f(k) Montrer que, pour tout k Z d et tout l Z d, f(l) (d) l k 1 f(k) Montrer que si k Z d et f(k) =, alors f est la fonction nulle Montrer que si f n'est pas la fonction nulle, alors, pour tout l Z d, ln(f(l)) ln(f(k)) l k 1 ln(d). ème Partie Problème de dirichlet sur le graphe Z Dans cette partie d =. La base canonique de R est notée (e[1], e[]). On considère une suite de variables aléatoires (X n ) n N qui sont mutuellement indépendantes et de même loi, la loi uniforme sur l'ensemble D = {, 1, 1, }. On dénit une suite de variables aléatoires (Y n ) n N en posant Y n + e[1] si X n = 1 Y n e[1] si X n = 1 Y = (, ), et n N, Y n+1 = Y n + e[] si X n = Y n e[] si X n = Épreuve de Mathématiques I 3/4 http: // al9ahira. com/

6 Concours National Commun Session 15 PSI Noter que chaque Y n est un couple de variables aléatoires entières qu'on écrit Y n = (Y n,1, Y n, ). La suite Y est appelée une marche aléatoire symétrique sur Z, issue de (, ). On modélise ainsi l'évolution d'un point mobile sur Z, qui à tout instant n choisit au hasard uniforme un des 4 plus proches voisins de sa position précédente Y n 1. Soit ν un entier, xé dans ce qui suit Pour tout a = (a 1, a ) Z vériant a 1 < ν on considère l'événement A a,ν : "il existe n N tel que a + Y n 1 = ν." Montrer que cet événement est certain, c'est-à-dire de probabilité égale à 1. On pourra commencer par montrer l'implication suivante : Si pour tout n, ν < a 1 +Y n,1 < ν alors il n'existe pas d'entier j tel que X j = X j+1 =... = X j+ν = 1. On dénit une variable aléatoire réelle T a en posant, pour tout aléa ω Ω, { min{n N ; a + Y n 1 = ν} si ω A a,ν ; T a (ω) = si ω / A a,ν Montrer que, pour tout sous-ensemble W de R, P (Y Ta W ) = + m=1 P (Y m W et T a = m). Pour tout m N, on note K m la boule discrète de rayon m, K m = {x Z ; x 1 m}. On utilisera sans avoir à le prouver les propriétés évidentes I(K m ) = K m 1 et K m = {x Z ; x 1 = m}. 4.. Soit ϕ une fonction de K ν dans R. On dénit une fonction f : K ν R en posant : { E ( ϕ(a + Y Ta,ν ) ) si a K ν 1 ; f(a) = ϕ(a) si a K ν. Il s'agit dans cette section de prouver que f est harmonique sur I(K ν ) Montrer la relation E ( ϕ(a + Y Ta ) ) = n, z kν en justiant l'existence de la somme et de l'espérance. ϕ(z)p (T a = n et a + Y n = z) 4... On suppose a 1 ν. Montrer que, pour tout entier n et tout z Kν, P (T a = n et a + Y n = z) = 1 4 b V (a) On suppose que a 1 ν. Montrer que f(a) = On suppose que a 1 = ν 1. Montrer que f(a) = Conclure. P (T b = n 1 et b + Y n 1 = z). b V (a) b V (a) N.B. : On peut montrer (mais ce n'est pas demandé) que f est la seule fonction harmonique sur K ν qui coïncide avec ϕ sur K ν. f(b). f(b). Fin de l'épreuve Épreuve de Mathématiques I 4/4 http: // al9ahira. com/

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