3 On rencontre 4 configurations de base selon la position de la variable. 7
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- Jeannine Leduc
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1 Théorème de THLES I - Produit en croix : x On utilise le produit en croix pour résoudre des équations du style : On rencontre 4 configurations de base selon la position de la variable. 7x 7 6 a) b) c) 5 10 x 17 5 x 7x x x 5 6x x 5 6x x x x 5 II - Théorème de Thalès (théorème direct) : 1) Théorème de Thalès: d) 9 x 4 x x4 9 x 4x 7 x 4x x 4 Théorème Etant données deux droites d et d sécantes en, deux points et de d, distincts de, deux points et de d, distincts de, Si les droites () et () sont parallèles, alors : = = Il y a trois configurations possibles : [ ] et [ ] [) et [ ] [) et [ ] [) et [ ] [) et [ ]
2 ) Exemples : Ex : La figure n est pas à l échelle. Les unités sont en centimètres. = 0 ; = 60 ; = 80. Les droites () et () sont parallèles. alculer. Soit x la longueur (je déclare ma variable). Les droites et se coupent en et //. D après le théorème de Thalès : 0 x soit : insi : 0 x : D après le produit en croix : 80 x x,5 cm Ex : La figure n est pas à l échelle. Les unités sont en centimètres. (UV) // (JK). = 0 ; = 0 ; = 10 ; = 15. alculer. Soit x la longueur et y la longueur (je déclare mes variables). Les droites et se coupent en et //. D après le théorème de Thalès : x soit : 0 0 y x 10 : D après le produit en croix : 0 x 0 10, d où : x 6,7 : 6,7 cm 0
3 . Donné au brevet : Le dessin ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Les droites () et (FG) sont parallèles. On donne les longueurs suivantes : E = cm ; = 4 cm ; G = 7 cm ; FG =1 cm. alculer les longueurs F et E. III - Réciproque du Théorème de Thalès : 1) Réciproque du Théorème de Thalès : Etant données deux droites d et d sécantes en, deux points et de d, distincts de, deux points et de d, distincts de, Si = et si les points,, sont dans le même ordre que les points,,, alors les droites () et () sont parallèles. ) Exemples : Ex 1 : Sur la figure ci-contre, on donne : F = cm ; S = 4 cm ; G = cm ; T = 6 cm ; ontrer que (FG) et (ST) sont parallèles. Le sommet principal est. F 1 G 1 et S 4 T 6 insi, F G 1 et les points, F, S et les points, G, T sont dans le même ordre. S T FG // ST D après la réciproque du Théorème de Thalès : Ex : Sur la figure ci-contre, on donne : E =,8 cm ; E = 4, cm ; EF = cm ; EG = 6 cm ; Les droites () et (FG) sont-elles parallèles? Le sommet principal est E. E, E, et 0,6 EG 4, 4 14 EF ,6 E E donc : La réciproque du Théorème de Thalès ne s applique pas. EG EF Les droites () et (FG) ne sont pas parallèles.
4 Ex : Sur la figure ci-contre, on donne : D = cm ; = 4 cm ; E = cm ; = 6 cm ; Les droites () et (ED) sont-elles parallèles? Le sommet principal est. D 1 E 1 et 4 6 F G 1 insi, mais les points, D, et les points, E, ne sont pas dans le même S T ordre. La réciproque du Théorème de Thalès ne s applique pas. Les droites () et (ED) ne sont pas parallèles. Exercice : La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Les droites () et (D) sont parallèles. On donne : I =,5 ; = 10 ; ID = ; E = 1 ; I = 9. Les droites (I) et (DE) sont-elles parallèles? est le sommet principal (on se place «dans le triangle DE») I,5,5,5 5 et E D,5 5,5 5,5 11 I 5 insi = et les points,, E et, I, D sont alignés dans le même ordre. E D 11 D après la réciproque du théorème de Thalès : (I) // (DE) IV grandissement - Réduction : Les configurations de Thalès traduisent des situations de proportionnalité, et donc des situations d agrandissement ou de réduction. Propriété : Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport k : - les angles sont conservés, - le parallélisme est conservé, - les longueurs sont multipliées (ou divisées) par k, - les aires sont multipliées (ou divisées) par k, - les volumes sont multipliés (ou divisées) par k. éthode : Pour trouver un coefficient d agrandissement, on divise longueurs correspondantes.
5 Sur la figure ci-contre, ' ' //. Le triangle S est un agrandissement du triangle S. Soit k le coefficient d agrandissement : k ' ', S k S', S k S ' Si on connaît et, on peut aisément calculer K. On a alors, en considérant la face D parallèle à D : pour les aires : S k et S' ' SD k S' ' ' D' pour les volumes : V k V SD S' ' ' D' Ex : Une statuette mesurant 0,50 m pèse kg. Il a fallu 100 g de peinture pour la peindre. ette statuette est une réduction exacte d une statue de 0 mètres de haut. 1) Quel est le coefficient d agrandissement de la statue? ) Quelle quantité de peinture faut-il prévoir pour peindre la statue? ) ombien pèse cette statue? orrigé : 1) Pour trouver le coefficient d agrandissement, on peut comparer des longueurs correspondantes, ici les tailles de la statuette appelée l et de la statue appelée L : L k l k Soit : 0 0,5 D où : 0 k 0,5 Soit : 40 k : la statue est 40 fois plus grande que sa maquette. ) La quantité de peinture est proportionnelle à la surface à peindre. En appelant S et s les surfaces de la statue et de la statuette, on sait que : S k s ette relation s applique directement aux quantités de peinture : x k g 160 kg Il faut prévoir 160 kg de peinture pour peindre la statue. ) Le poids de la statue est proportionnel à son volume. En appelant V et v les volumes de la statue et de la statuette, on sait que : V k v ette relation s applique directement aux poids de la statue et de la statuette : P k p kg 19 t La statue pèse 19 tonnes.
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