POTENTIEL DE CHAMP, POTENTIEL DE FORCE

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Ariane Fortin
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1 POTENTIEL DE CHAMP, POTENTIEL DE FORCE OLIVIER CASTÉRA Résumé. En physique on utilise le potentiel, parfois sans préciser s il s agit du potentiel de champ ou du potentiel de force. Table des matières 1. Introduction 1 2. Force et champ de gravitation Force de gravitation Champ gravitationnel 2 3. Potentiels gravitationnels Potentiel de la force gravitationnelle Potentiel du champ gravitationnel Relation entre énergie potentielle et potentiel 4 4. Force et champ électrostatique Force électrostatique Champ électrostatique 5 5. Potentiels électrostatiques Potentiel de la force électrostatique Potentiel du champ électrostatique Relation entre énergie potentielle et potentiel 5 6. Conclusion 5 1. Introduction Définition 1. Potentiel d un champ vectoriel Le scalaire B est dit potentiel du champ vectoriel A ssi : A = gradb ( B A x i+a y j +A z k = x A e +A θ e θ +A φ e φ = i+ B y j + B z k ) ( A e + 1 A θ e θ + 1 A sinθ φ e φ On dit aussi que le champ vectoriel A dérive du potentiel scalaire B. ) Date: 25 juin

2 2 OLIVIER CASTÉRA 2. Force et champ de gravitation 2.1. Force de gravitation. Soient deux particules de charges gravitationnelles m 1 et m 2, et 12 le rayon vecteur de la masse 1 vers la masse 2. L expérience montre que la force de gravitation F s exerçant entre deux particules a pour direction la droite passant par les particules : ± 12 Elle est de plus proportionnelle aux masses m 1 et m 2, et inversement proportionnelle au carré de leur distance. En notant G la constante de proportionnalité et e 12 le vecteur unitaire de direction 1 2, la force exercée par la particule 1 sur la particule 2 s écrit : F 12 = ±G m 1m 2 e 12 Il reste à déterminer le sens de la force, autrement dit son signe. m 1, m 2, et G sont positifs, et l expérience montre que la forcede gravitation est attractive : m 1 12 m 2 F 12 Figure 1. Détermination du signe de la force de gravitation La force est de sens opposé à 12, donc le signe est négatif, et la force a pour expression : Le théorème de l action-réaction 1 donne : F 12 = Gm 1m 2 e 12 (1) F 21 = F 12 = Gm 1m 2 = Gm 1m 2 e 12 e Champ gravitationnel. On définit le champ gravitationnel créé par la particule 1 indépendamment de la charge m 2, par 1. Voir mécanique classique.pdf E 1 = Gm 1 e 12 (2)

3 POTENTIEL DE CHAMP, POTENTIEL DE FORCE 3 D où la relation entre force et champ gravitationnels, F 12 = m 2 E 1 (3) 3. Potentiels gravitationnels 3.1. Potentiel de la force gravitationnelle. Soit E p le potentiel scalaire de la force gravitationnelle F. D après la définition 1 : F = grade p et avec la relation (1) : Fe = E p e E p = = F = E p F d Gm 1m 2 = Gm 1m 2 E p s appelle énergie potentielle de gravitation. d (4) 3.2. Potentiel du champ gravitationnel. Soit V le potentiel scalaire du champ gravitationnel E. D après la définition 1 : et avec la relation (2) : E = gradv Ee = V e E = V V = = = Gm V s appelle potentiel de gravitation. Ed Gm d (5)

4 4 OLIVIER CASTÉRA 3.3. Relation entre énergie potentielle et potentiel. En partant de la relation (3) : F 12 = m 2 E 1 grade p12 = m 2 gradv 1 E p12 = m 2 V 1 que l on retrouve directement en utilisant les relations (4) et (5). 4. Force et champ électrostatique 4.1. Force électrostatique. Soient deux particules chargées. L expérience montre que le vecteur force électrostatique F, ou force de Coulomb, s exerçant entre deux particules, est proportionnel aux charges q 1 et q 2 des particules qui interagissent, et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Cette force a pour direction la droite passant par les particules : ±e 12 En notant 1/(4πε 0 ) la constante de proportionnalité, la force exercée par la particule 1 sur la particule 2 s écrit : F 12 = ± 1 Il reste à déterminer le sens de la force, autrement dit son signe. Si q 1 est de même signe que q 2, alors le produit q 1 par q 2 est positif, et l expérience montre qu alors la force est répulsive : 12 F 12 Figure 2. Détermination du signe de la force électrique Par conséquent, la force est dans le sens de 12, le signe est positif, et la force s exprime par : F 12 = 1 (6) Le théorème de l action-réaction donne : F 21 = F 12 = 1 4πε 0 e 12 = 1 4πε 0 e 1

5 POTENTIEL DE CHAMP, POTENTIEL DE FORCE Champ électrostatique. On définit le vecteur champ électrostatique E 1 créé par la particule 1 indépendamment de la charge q 2, par : E 1 = 1 q 1 (7) D où la relation entre force et champ électrostatiques : F 12 = q 2 E 1 (8) 5. Potentiels électrostatiques 5.1. Potentiel de la force électrostatique. Soit E p le potentiel scalaire de la force électrostatique F. D après la définition 1 : et avec la relation (6) : F = grade p E p = 1 4πε 0 E p s appelle énergie potentielle électrostatique Potentiel du champ électrostatique. Soit V le potentiel scalaire du vecteur champ électrostatique E. D après la définition 1 : et avec la relation (7) : E = gradv V = 1 q 4πε 0 V s appelle potentiel électrostatique, ou potentiel Relation entre énergie potentielle et potentiel. En partant de la relation (8) : (9) (10) F 12 = q 2 E 1 grade p12 = q 2 gradv 1 E p12 = q 2 V 1 que l on retrouve directement en utilisant les relations (9) et (10). 6. Conclusion En électrostatique on utilise le plus souvent le potentiel V du champ électrostatique, que l on appelle potentiel, alors qu en mécanique on utilise plutôt le potentiel E p de la force de gravitation, que l on appelle énergie potentielle. address: o.castera@free.fr URL:

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