Examen du 27 mai 2008

Transcription

1 Université Pierre et Marie Curie Année universitaire 007/008 LP10 1 re session Examen du 7 mai 008 Durée : h Les calculatrices et les documents sont interdits Les téléphones portables doivent être éteints et rangés On exprimera toujours les résultats sous forme littérale avant de procéder, si elle est demandée, à l application numérique Questions de cours : changement de référentiel 1 On considère deux référentiels, R et R, d origines respectives O et O, en translation l un par rapport à l autre Exprimer de manière vectorielle la vitesse et l accélération dans R d un point M en fonction de son mouvement dans R et du mouvement de R par rapport à R Nommer les différents termes apparaissant dans ces relations v M/R = v M/R + v e, où v e = v O /R est la vitesse d entraînement a M/R = a M/R + a e, où a e = a O /R est l accélération d entraînement On suppose désormais que R, outre son mouvement de translation, a un mouvement de rotation par rapport à R Les termes nommés à la question 1 sont modifiés, mais un nouveau apparaît pour l accélération Réécrire la loi de composition des accélérations avec ce nouveau terme Comment s appelle-t-il et de quoi dépend-il? (On ne demande pas l expression de ces différents termes en fonction du vecteur rotation de R par rapport à R) a M/R = a M/R + a e + a C, où a C est l accélération de Coriolis (accepter également «accélération complémentaire») Ce terme dépend de la vitesse de M dans R 3 On suppose que R est galiléen et que le point matériel M, de masse m, est soumis à des forces d interaction de résultante F Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans R et nommer les forces qui apparaissent Exprimer ces dernières en fonction des termes nommés aux questions 1 et m a M/R = F + f e + f C, où f e = m a e est la force d inertie d entraînement et f C = m a C est la force d inertie de Coriolis Problème : bricolage spatial Deux vaisseaux spatiaux, C et B, décrivent la même orbite circulaire de rayon r 0 autour de la Terre dans le plan équatorial de celle-ci Le vaisseau B suit C à une distance constante, dont la valeur mesurée le long de l orbite est π r 0 λ (avec 0 < λ < 1) Au point Q, un astronaute du vaisseau B, Benoît, lance un marteau (M) de manière à ce que celui-ci soit récupéré au même point Q par un astronaute du vaisseau C, Claire Pour faciliter la réception, le marteau est 1

2 envoyé par Benoît tangentiellement à l orbite de B L objet du problème est de déterminer dans quel sens et avec quelle vitesse le marteau doit être lancé Hormis à la question III3d, on se placera dans le référentiel géocentrique (référentiel ayant pour origine le centre de la Terre et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines), que l on supposera galiléen La force gravitationnelle exercée par la Terre sur les vaisseaux et le marteau est la seule force que l on considérera Notations : centre de la Terre : O ; masse de la Terre : M T ; rayon de la Terre : R T = km ; constante de gravitation : G ; masse du marteau : m ; masse des vaisseaux : m 0 I Orbite des vaisseaux 1 Montrer que la norme v 0 de la vitesse des vaisseaux sur l orbite circulaire est constante Exprimer v 0 en fonction des données du problème d v D après le principe fondamental de la dynamique, m 0 dt = G M T m 0 r u r OM = r 0 u r, d où v = r 0 θ uθ, puis a = r 0 θ uθ r θ 0 u r En projetant le PFD sur u θ, on obtient que θ = 0 : v = r 0 θ est donc une constante En projetant le PFD sur u r, on obtient G M T m 0 /r0 = m 0 r θ 0, d où θ = G M T /r0 3 On a donc v 0 = v = r 0 θ = G MT /r 0 En déduire la période de révolution T 0 des vaisseaux r0 3 T 0 = π r 0 /v 0 = π G M T 3 À quelle condition sur r 0 l orbite est-elle géostationnaire (c est-à-dire que le vaisseau reste à la verticale du même point de l équateur terrestre)? Application numérique Si le vaisseau était sur une orbite circulaire basse, à une altitude h = 00 km au-dessus de la surface terrestre, il mettrait un temps τ = 1 h 30 min pour faire un tour En déduire la valeur de r 0 pour une orbite géostationnaire (on donne /3 1,6) On adoptera cette valeur de r 0 par la suite Il faut que T 0 = 4 h = s, soit r 0 = [Remarque : rigoureusement, T 0 = 3 h 56 min 4 s] r 0 = (R T + h) (τ/t 0 ) /3 = /3 = /3 = ,4 = 4 40 km II Orbite du marteau 1 Montrer que, entre son lancement et sa récupération, le moment cinétique du marteau par rapport à O est constant O fixe dans le référentiel géocentrique, lequel est galiléen, donc dl O /dt = OM F = 0 : L O = c te

3 Dans quel plan le marteau se déplace-t-il? Le marteau est lancé avec une vitesse dans le plan de révolution des vaisseaux Son moment cinétique est donc perpendiculaire à ce plan à l instant du lancement Le moment cinétique étant un vecteur constant, le marteau se déplace ensuite dans le même plan que les deux vaisseaux D après la première loi de Kepler, quelles sont les orbites possibles pour un corps en orbite autour de la Terre? Conique, c est-à-dire ellipse, parabole ou hyperbole Lesquelles doit-on exclure pour que Claire puisse saisir le marteau en Q? Le marteau doit repasser en Q, ce qui exclut la parabole et l hyperbole L orbite du marteau peut-elle être circulaire? Non, car la vitesse sur l orbite circulaire ne dépend que de r 0 : l outil aurait la même vitesse que les vaisseaux C et B et resterait donc au niveau de B L orbite est donc une ellipse non circulaire Le point Q est-il un point particulier de l orbite du marteau? Justifier Le marteau est lancé dans la direction de la vitesse du vaisseau B Celui-ci ayant une orbite circulaire, v Q est perpendiculaire au rayon-vecteur Le point Q est donc le périgée ou l apogée de l ellipse 3 Représenter de manière schématique, pour une orbite elliptique suffisamment allongée, le périgée (P ), l apogée (A), les foyers, ainsi que les vecteurs vitesse et accélération en P, A et en un point quelconque À faire 4 On pose r P = OP, ra = OA et l on note v P et v A les normes des vitesses en P et A Établir une relation entre r P, r A, v P et v A Le moment cinétique étant constant, L O = m OP vp v A OA, on a r A v A = r P v P = m OA v A Comme v P OP et 5 À l aide de la troisième loi de Kepler, exprimer la période T de révolution du marteau en fonction de son demi-grand-axe a, de r 0 et T 0 a 3 /T = r 3 0 /T 0, d où T = T 0 (a/r 0 ) 3/ 6 En écrivant la conservation de l énergie mécanique E du marteau entre l apogée et le périgée ainsi que celle du moment cinétique aux mêmes points, calculer v A en fonction de r A, r P et des données du problème 3

4 E = 1 m v A G M T m v P = r A v A /r P r A On a donc 1 v A G M T r A = 1 = 1 m v P G M T m r P ra rp d où v A = G M T (1/r A 1/r P ) 1 r A /r P v A G M T r P, = G M T r A (1 + r A /r P ) En déduire que E = G M T m a E = 1 m v A G M T m r A = G M T m r P + r A = G M T m a 7 Quelle doit être la valeur minimale a min du demi-grand-axe pour que le marteau ne percute pas la Terre au cours d une révolution? Application numérique Calculer a min Il faut que r P > R T Si Q est le périgée, cette condition est évidemment remplie Si Q est l apogée, on a r A = r 0, d où a = (r A + r P )/ > (r 0 + R T )/ = a min a min = 4 30 km III Réception du marteau Lorsque Claire attrape le marteau en Q, celui-ci a effectué n révolutions autour de O depuis son lancement ; le vaisseau C a alors fait n 0 tours complets plus une fraction de tour 1 Quelle relation a-t-on entre n 0, n, T 0, T et λ? n T = (n λ) T 0 En déduire le demi-grand-axe de l orbite du marteau en fonction de n 0, n, r 0 et λ T = T 0 (a/r 0 ) 3/ On a donc a = r 0 ( n0 + 1 λ n ) /3 3 Claire doit recevoir le marteau le plus vite possible On suppose que la valeur de λ est telle qu elle peut le saisir au premier passage de son vaisseau en Q a En déduire que a < r 0 n 0 = 0 ( ) 1 λ /3 a = r 0 n 1 λ < 1 et n 1, donc a < r 0 Quelle est la nature du point Q? 4

5 Q est l apogée b Dans quel intervalle de λ le marteau ne rencontre-t-il pas la Terre? (On exprimera les bornes en fonction de a min et r 0 ) Application numérique Calculer une valeur approchée de la borne supérieure de l intervalle (on donne (4/7) /3 0,43) Il faut que a > a min λ < 1 n (a min /r 0 ) 3/ On a n 1, donc la valeur maximale de λ est obtenue pour n = 1 et vaut λ max = 1 (a min /r 0 ) 3/ a min /r 0 4/7, donc λ t extmax 0,57 c On note v Q la norme de la vitesse du marteau dans le référentiel géocentrique lors de son lancement Calculer v Q en fonction de G, M T, r 0 et a Application numérique On a λ = 61/15 Calculer a/r 0, puis une valeur approchée de v Q /v 0 (on donne 7,6) E = G M T m a = 1 m v Q G M ( T m, d où v Q = G M T 1 ) r 0 r 0 a a/r 0 = (1 λ) /3 = (64/15) /3 = 16/5 v Q /v 0 = r 0 /a = 5/16 = 7/4 0,65 Dans quel sens (par rapport au mouvement du vaisseau B) le marteau doit-il être lancé? On a a < r 0, donc 1/a < 1/r 0, d où v Q < v 0 : le marteau doit être lancé en sens opposé au mouvement de B d On note v Q la norme de la vitesse du marteau dans le référentiel du vaisseau B lors de son lancement Quelles sont les valeurs possibles de v Q en fonction de v 0 et v Q? v Q = v Q + v B Si v Q et v B sont dans le même sens, v Q = v 0 v Q Sinon, v Q = v 0 + v Q 4 La valeur de λ ne permet pas à Claire d attraper le marteau la première fois que son vaisseau passe en Q Montrer qu elle peut toujours le saisir au deuxième passage de son vaisseau en Q et en un ou deux tours au plus du marteau Préciser la nature de Q dans chacun des cas On a n 0 = 1, donc λ = n (a/r 0 ) 3/ Cas n = 1 Puisque λ > 1, si n = 1, on doit avoir a > r 0 : Q est alors le périgée Cette solution est toujours possible puisque a > r 0 > a min 5

6 Cas n = Si n, on doit avoir a < r 0 : Q est alors l apogée Pour que la solution n = soit possible, il faut que a min /r 0 < a/r 0 = (1 λ/) /3 < (1 λ max /) /3 = ( ) /3 (a min /r 0 ) 3/ + 1, ce qui équivaut à (a min /r 0 ) 3/ < (a min/r 0 ) 3/ + 1, soit a min < r 0 Cette dernière inégalité est vérifiée car R T < r 0 6