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1 Problèmes du premier degré Enoncés Problèmes du premier degré et du second degré Exercice 1 : Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 516. Exercice 2 : Dans une famille de 4 enfants nés à 2 ans d'intervalle, l'aîné est 2 fois plus âgé que le dernier. Quel est l'âge de l'aîné? Exercice 3 : Une entreprise emploie 14 femmes et 35 hommes. On envisage d'embaucher autant d'hommes que de femmes. Combien faut-il embaucher de personnes pour que le nombre des femmes employées dans l'entreprise soit les 2/3 du nombre des hommes Exercice 4 : Un homme âgé de 42 ans a 3 enfants qui ont respectivement 14, 12 et 8 ans. Dans combien de temps l'âge du père sera-t-il la somme des âges de ses 3 enfants? Exercice 5 : Deux ménagères font des achats dans le même magasin. La première achète 1,5 kg de pommes et 2 kg de poires ; le tout lui revient à 4,80. La seconde achète 3 kg de pommes et 1,5 kg de poires ; le tout lui revient à 5,85. Quel est le prix d'un kg de pommes? Quel est le prix d'un kg de poires? CUEEP Département Mathématiques T903 : Problèmes du premier et du seconc degré p1/18

2 Aide Exercice 1 : Remarque : les nombres 5 ; 6 ; 7 ; 8 sont consécutifs ; de même 128 ; 129 ; Ils se suivent. Lorsque l'on connaît un nombre, comment passe-t-on : au suivant? au précédent? Choisir l'un des 3 nombres cherchés pour inconnue : n Bien préciser le choix (le 1er, le 2ème, ou le 3ème nombre). - Ecrire les deux autres nombres en fonction de n. - Ecrire la somme des 3 nombres en fonction de n. - D'après l'énoncé, écrire que cette somme vaut Résoudre l'équation obtenue. - Répondre à la question posée en précisant les 3 nombres consécutifs demandés. - Vérifier que la somme de ces nombres est bien 516. CUEEP Département Mathématiques T903 : Problèmes du premier et du seconc degré p2/18

3 Exercice 2 : - Que cherche-t-on? - A partir de l'âge de l'aîné, comment obtient-on : - l'âge du 2ème enfant? - l'âge du 3ème enfant? - I'âge du 4ème enfant? Remarque : Ne pas hésiter à prendre des exemples si besoin. Essayer avec 10 ans pour l'aîné, puis 16 ans - Puisqu'on cherche l'âge de l'aîné, noter "a" cet âge. - Ecrire alors l'âge du dernier enfant (le 4ème) en fonction de a.t - Transcrire alors l'énoncé : "l'aîné est 2 fois plus âgé que le dernier", en fonction de a. (Ecrire que l'âge de l'aîné égale 2 fois l'âge du dernier). - Résoudre l'équation obtenue. - Répondre à la question posée. - Vérifier le résultat obtenu. CUEEP Département Mathématiques T903 : Problèmes du premier et du seconc degré p3/18

4 Exercice 3 : Remarque : Le problème ne comporte en réalité qu'une seule inconnue (le nombre de femmes ou d'hommes à embaucher). - Noter f le nombre de femmes à embaucher. - Ecrire le nombre d'hommes à embaucher, en fonction de f. - Après l'embauche, écrire : - le nombre total des femmes - le nombre total des hommes. - D'après l'énoncé, le total des femmes égale 2/3 du total des hommes. Transcrire l'équation correspondante. - Résoudre cette équation. - Répondre avec précision à la question posée. - Vérifier le résultat obtenu. CUEEP Département Mathématiques T903 : Problèmes du premier et du seconc degré p4/18

5 Exercice 4 : - Que cherche-t-on? - Exemple : Dans deux ans, le père aura Le premier enfant aura... Le deuxième enfant aura... Le troisième enfant aura... La somme des âges des enfants sera : Si nécessaire, regarder ce qui se passera dans 3 ans. - Noter t le temps cherché Dans t années : L'âge du père sera... l'âge du 1er enfant sera... l'âge du 2ème enfant sera... l'âge du 3ème enfant sera... La somme des âges des enfants sera alors... - Ecrire que cette somme égale l'âge du père dans t années. - Résoudre l'équation obtenue. - Répondre avec précision à la question posée. - Vérifier le résultat. CUEEP Département Mathématiques T903 : Problèmes du premier et du seconc degré p5/18

6 Exercice 5 - Que cherche-t-on? Combien y a-t-il d'inconnues? Choisir leur nom. - Ecrire l'égalité correspondant à la dépense de la 1ère ménagère. Puis l'égalité correspondant à la dépense de la 2ème ménagère. - On est ramené à un système de 2 équations à 2 inconnues. - Résoudre ce système. - Répondre avec précision aux questions posées. - Vérifier les résultats. CUEEP Département Mathématiques p6/18

7 Réponses Exercice 1 : Les 3 entiers consécutifs sont : 171, 172 et 173. Exercice 2 : L'aîné a 12 ans. Exercice 3 : Il faut embaucher 28 femmes et 28 hommes. Exercice 4 : Dans 4 ans l'âge, du père sera égal à la somme des âges de ses 3 enfants. Exercice 5 : Le prix d'un kilo de pommes est 1,20. Le prix d'un kilo de poires est 1,50. CUEEP Département Mathématiques p7/18

8 Problèmes du premier et du second degré Exercices Exercice 1 : 58 billets, les uns de 5, les autres de 10, forment une somme de 395. Quel est le nombre de billets de chaque sorte? Exercice 2 : Une péniche contient 80 tonnes de blé dans sa cale de gauche et 54 tonnes dans sa cale de droite. Il reste 122 tonnes à charger. Comment les répartir pour que les charges soient équilibrées? Exercice 3 : Mathieu possède un terrain carré. Une grande allée, de largeur constante, d'une superficie de m² le borde intérieurement. Lorsqu'il fait le tour de son terrain il remarque une différence de 32 m entre le parcours effectué au bord intérieur de l'allée et celui correspondant au bord extérieur. Quelle est la superficie totale de son terrain? Exercice 4 : Trouver deux nombres dont la somme est -7 et le produit 33/4. Exercice 5 : Quel doit être le rayon d'un cercle pour que l'aire du carré inscrit soit 86,509 cm²? CUEEP Département Mathématiques p8/18

9 Aide Exercice 1 : - Que cherche-t-on? - Combien y aura-t-il d'inconnues? - Choisir ces inconnues, par exemple en notant : x le nombre de billets de 5. y le nombre de pièces de 10 F - Ecrire en fonction de x et de y : 1) le nombre total de pièces, 2) le montant de la somme obtenue. - On obtient un système de deux équations à deux inconnues. - Résoudre ce système. - Vérifier les résultats obtenus. - Répondre avec précision à la question posée. CUEEP Département Mathématiques p9/18

10 Exercice 2 : - Que cherche-t-on? Combien y aura-t-il d'inconnues? - Choisir ces inconnues, par exemple en notant : d la quantité de blé à ajouter dans la cale droite g la quantité de blé à ajouter dans la cale gauche. - Ecrire en fonction de d et de g : 1) Le total restant à charger 2) La nouvelle quantité de blé dans la cale droite 3) La nouvelle quantité de blé dans la cale gauche. Ecrire que ces quantités sont égales. - On est ramené à un système de 2 équations à 2 inconnues. - Résoudre ce système. - Vérifier les résultats obtenus. - Répondre avec précision à la question posée CUEEP Département Mathématiques p10/18

11 Aide Exercice 3 : - Faire un schéma Noter c le côté du terrain. a le côté du carré intérieur bordé par l'allée. - Ecrire la superficie du terrain, puis la superficie du carré intérieur. (*) - En déduire la superficie de l'allée. Noter qu'elle vaut 464 m². - Ecrire le périmètre extérieur du terrain, puis le périmètre du carré intérieur. Ecrire que leur différence vaut 32 m. - En déduire la valeur de a en fonction de c. Reporter cette valeur dans l'égalité donnant la superficie de l'allée pour calculer le côté c du carré. - Calculer alors la superficie du terrain. - Vérifier les résultats obtenus. (*) rappel : surface du carré = côté x côté CUEEP Département Mathématiques p11/18

12 Exercice 4 : Rappels : La somme est le résultat de l'addition Le produit est le résultat de la multiplication. - Noter par exemple x et y les deux nombres cherchés - Ecrire que leur somme vaut - 7 et leur produit 33/4 (ou 8,25) - On est ramené à un système de deux équations à deux inconnues, qu'il est possible de résoudre par la méthode de substitution. - On se ramène alors à la résolution d'une équation du second degré. - Vérifier les résultats obtenus. - Répondre avec précision à la question posée. CUEEP Département Mathématiques p12/18

13 Exercice 5 : Remarque Le carré inscrit dans un cercle a ses 4 sommets sur le cercle. - Faire un schéma - Calculer le côté du carré - Calculer le diamètre du cercle en appliquant le théorème de Pythagore. Pythagore : c² = a ²+ b² a c b - En déduire alors le rayon du cercle. CUEEP Département Mathématiques p13/18

14 Correction Exercice 1 : Remarque Il s'agit chaque fois d'une méthode possible. Soit x le nombre de billets de 5. Soit y le nombre de billets de 10. L'énoncé permet d'écrire : x + y = 58 5x + 10y = 395 (1) (2) Multiplions (1) par 5 : 5 x + 5x = 290 5x + 5y = 290 5x + 10y = 395 (3) (2) par soustraction des équations (3) et (2): 5y = 105, d'où y 21 en reportant dans (1) : x = = 37 Il y a donc : 37 billets de 5 et 21 billets de 10. CUEEP Département Mathématiques p14/18

15 Exercice 2 : Soit d la quantité de blé à charger dans la cale droite Soit g la quantité de blé à charger dans la cale gauche. - Puisqu'il reste 122 tonnes à charger, on peut écrire d + g = Puisque les charges doivent être équilibrées à droite et à gauche, on peut écrire l'égalité : 54 + d = 80 + g On obtient donc un système d'équations d + g = d = 80 + g ou d - g = 26 d + g = 122 d g = 26 par addition membre à membre 2d = 148 D'où : 148 d = = 2 74 Reportons dans : d + g = 122 g = d g = g = 48 Pour que les charges soient équilibrées, il faut les répartir ainsi : 74 tonnes de blé dans la cale droite 48 tonnes de blé dans la cale gauche. Vérification : = = CUEEP Département Mathématiques p15/18

16 Exercice 3 : (Remarque.- il s'agit d'une correction possible). Notons c le côté du terrain, et a le côté du carré intérieur bordé par l'allée. La superficie du terrain s'écrit : c² La superficie du carré intérieur s'écrit a². La superficie de l'allée s'écrit donc : c² - a² = 464 d'après l'énoncé. c Le périmètre extérieur de l'allée s'écrit : 4c Le périmètre intérieur de l'allée s'écrit : 4a D'après l'énoncé 4c - 4a = 32 Ou encore en simplifiant : c a = 8 On en déduit : a = c 8 a Reportons cette valeur de a dans l'équation c² _ a² = 464 qui devient : c² _ (c - 8)² = 464 c² - c² + 16c 64 = c = 528 d'où c = 528/16 = 33 Le côté du terrain mesure donc 33 mètres D'où la superficie du terrain : (33 m)² = 1089 m² La superficie du terrain de Mathieu est 1089 m² Vérification : Côté du carré intérieur : 25 m (33-8 ) Superficie du carré intérieur 625 m² (25²) Superficie de l'allée : 464 m² ( ) Périmètre extérieur du terrain : 132 m ( 4 x 33 ) Périmètre du carré intérieur : 100 m (4 x 25) Différence : 32 m ( ) CUEEP Département Mathématiques p16/18

17 Exercice 4 : Soit x et y les nombres cherchés. Leur somme vaut : x + y = -7 (1) Leur produit vaut : x y = 8,25 (2) Résolvons ce système. D'après (1), x = -7 - y Reportons dans (2) : (-7 - y) y = 8,25 7y y² =8,25 y² + 7y + 8,25 = 0 Résolvons cette équation : = = y = = 5,5 et y = = 1,5 2 2 Si y= - 5,5 alors x = ,5 = - 1,5 Si y = -1,5 alors x = ,5 = - 5,5 Les nombres cherchés sont donc - 1,5 et - 5,5 Vérification Somme : (-1,5 ) +(- 5,5) = -7 Produit (-1,5) (- 5,5) = + 8,25 CUEEP Département Mathématiques p17/18

18 Exercice 5 : L'aire du carré étant 86,509 cm², le côté du carré est 9,3 cm. 86,509 = 9,3 Le diamètre du cercle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont chaque côté de l'angle droit mesure 9,3 cm. D'après Pythagore : (diamètre)² = 9,3² + 9,3² = 172,98 diamètre rayon D'où le diamètre : 13,2 cm On se limitera à un chiffre après la virgule qui correspond à une précision de l ordre du millimètre. 172,98 = 13,152 Le rayon du cercle étant la moitié du diamètre, il a pour mesure 6,6 cm Le rayon du cercle est 6,6 cm CUEEP Département Mathématiques p18/18