Introduction à la Courbe des Taux. Année Florian Ielpo

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1 Introduction à la Courbe des Taux Année 2006 Florian Ielpo 25 septembre

2 Table des matières 1 Quelques mots d introduction 4 2 Mathématiques financières Principal et Intérêts Intérets Simples Intérets Composés Taux proportionnels et taux équivalents Taux proportionnels Taux équivalents Intérets en temps continu Conventions de calcul Valeur Future et Valeur Actuelle Critères de décision Valeur Actuelle Nette Taux Interne de Rentabilité Les obligations et la courbe des taux Quelques définitions Caractéristiques d une obligation à taux fixe Bestiaire des produits obligataires Les produits américains Les marchés obligataires américains Evaluation d un produit obligataire Evaluation d une obligation ZC Calcul du prix de l obligation Calcul du rendement de l obligation Autour de la courbe des taux Evaluation d une obligation à coupon Calcul d un coupon couru Couverture Quelques mots d introduction La couverture en duration $ duration et duration modifiée La duration : calcul et interprétation Couverture en duration Au delà de la duration Grandes variations La couverture avec la convexité Variations non parallèles Le cross-hedge Le cadre général et quelques approches astucieuses

3 6 Selection Stratégies passives Stratégies actives Un exemple de market timing Quelques stratégies classiques Retour sur la courbe des taux Dérivation de la courbe des ZC La méthode théorique La méthode du bootstrap Rendre la courbe des taux continue La courbe des taux forward Bibliographie 47 3

4 1 Quelques mots d introduction Les marchés obligataires constituent à l heure d aujourd hui un marché riche, liquide et innovant. C est également l un des secteurs les plus anciens de la finance : le mécanisme pret/emprunt est certainement vieux comme le monde et de nombreux ouvrages historiques traitant de ces questions sont disponibles. Il n est ici pas question d entrer dans ces considérations : l ambition de cette courte introduction est de fournir les outils de base permettant de comprendre les idées les plus simples de la gestion de taux. Comme c est le cas pour de nombreux secteurs de la finance, deux niveaux d explications et donc d enseignement sont disponibles pour les produits de taux. Le premier niveau - ce dont il sera question ici - présente globalement les méthodes d évaluation, de sélection et de couverture de produits de taux à versement futurs certains. De nombreux concepts essentiels à la compréhension de toute la finance sont exposés à cette occasion : celui d actualisation, de pricing, de risk management, de duration, de sensibilités... Il s agit de concepts tant théoriques que pratiques, et par conséquent nécessaires à la gestion au quotidient en salle de marché (desk fixed income ou ALM). Il existe cependant un second niveau de compréhension, plus exigeant et vaste que le précédent, intégrant le caractère aléatoire des versements futurs et par conséquent du prix des actifs. Il n en sera pas question ici, dans la mesure où ce type d approche nécessite de solides pré-requis de calcul stochastique. Ces notes de cours s inspirent de nombreux ouvrages disponibles sur les produits de taux. A chaque début de section, il sera fait référence précisement aux chapitres d intéret de ces ouvrages. Jarrow (2002) est un excellent petit ouvrage en langue anglaise, rédigé par l un des fondateurs des modèles de taux. Cet ouvrage couvre les deux niveaux d approches évoqués précédement et présente une approche extrement pédagogique. Martellini and Priaulet (2004) est un ouvrage en français couvrant de nombreux aspects de ce cours : de prix abordable, il présente de façon tant théorique que pratique les différents éléments abordés dans le cadre de ce cours. Martellini et al. (2003) est la version anglaise, chez Wiley, de l ouvrage précédent. Il ne s agit pas simplement d une traduction : l ouvrage a été considérablement épaissi et agrémenté d exemples pratiques. Cairns (2004) est un ouvrage dans la même veine que celui de Jarrow, présentant les deux niveaux de compréhension des produits de taux. L ouvrage est d excellente facture et très pédagogique. Tuckman (2002) présente enfin de façon très pratique l ensemble des concepts abordés au cours de ce polycopier. Il offre l avantage (?) d utiliser un minimum de mathématiques financières et un maximum d intuition. Ces notes de cours emprunte à l ensemble de ces ouvrages, et espère en avoir retiré les éléments les plus pédagogiquement viables. Ce polycopier est susceptible d évolutions, d améliorations... Bref, tout commentaire constructif est le bienvenu. 2 Mathématiques financières Avant toute chose, il est tout d abord nécessaire de présenter quelques outils du calcul financier basique. Il n existe pas de pré-requis particulier pour cette section, si ce n est la maitrise de l addition, la multiplication et un minimum de bon sens. Les ouvrages cités précédement ne 4

5 présentent ces différents éléments que de façon diffuse, sans consacrer un chapitre spécial à ces éléments. C est pourquoi il n est pas fourni de références précises. Il sera principalement question de taux d intéret dans ce qui suit. L intéret est fréquement appelé la valeur temps de l argent, c est à dire la valeur accordée aujourd hui au fait de ne pas utiliser l argent dont on dispose pour une utilisation immédiate (i.e. la consommation). Le fait de renoncer à consommer aujourd hui pour préter de l argent a un prix, et ce prix peut être assimilé au taux d intéret. On revient dans ce qui suit sur les principes de capitalisation, d actualisation et de critère de décision (à partir de quel niveau de taux choisit-on de ne pas consommer? Comment choisir entre différents projets d investissement?). 2.1 Principal et Intérêts L idée de base de cette section est extrêment simple : imaginons que vous investissiez un montant de 100 euros sur une durée d un an dans un placement qui rapporte 3% par an. A la fin de cette année d investissement, vous serez alors l heureux(se) détenteur(trice) de 103 euros. Vous avez ainsi accru votre capital de 3%. De façon général, en investissant un montant M à un taux r%, vous vous retrouvez avec M(1 + r) à la fin de l année. Ce principe relativement simple, se complexifie légèrement lorsque l on dépasse l horizon d investissement d un an. On distingue alors les intérets simples des intérets composés Intérets Simples Les intérets simples constituent la méthode la plus simple de calcul des intérets. Il s agit d une règle de proportionnalité : les intérets au bout de n années sont égaux à n fois les intérets au bout d une période. Plus précisément, en reprenant l exemple précedent, et en investissant dans un projet d horizon 3 ans, on obtient : des intérets de Mr la première année des intérets de Mr la deuxième année des intérets de Mr la troisième année, soit 3 Mr au terme des trois ans (la somme des trois versements d intérets). Le capital au bout de 3 ans est ainsi égal à M(1 + 3r). L idée est ici que les intérets perçus chaque année ne donnent pas lieu à la perception d intérets sur les intérets. Ceci expliquant la dénomination d intérets simples : on se contente de calculer les intérets chaque année comme si il s agissait d un nouveau projet d investissement d un horizon d un an. Notez que jusqu ici les taux d intérets sont exprimés en base annuelle : il s agit des intérets liés à des projet d un horizon d un an. Il s agit d une pratique extremement courante et généralisé à l ensemble des marchés. 5

6 2.1.2 Intérets Composés Par opposition aux intérets simples, les intérets composés permettent de percevoir à la fois les intérets et les intérets des intérets. En reprenant l exemple précedent, on investit M au taux annuel r% sur 3 ans, avec des intérets composés. On obtient alors : des intérets égaux à Mr% au bout d un an au bout de deux ans, on obtient à la fois Mr%, comme dans le cas précédent. On ajoute à cela le fait que l on ait réinvestit les intérets de la première année au même taux, soit : Mr%(1 + r%) il en va de même la dernière année : on obtient classiquement les Mr%, auxquels s ajoutent les intérets des intérets perçus au cours de la première et deuxième année : soit Mr%(1 + r%)(1 + r%) pour ceux de la première année et Mr%(1 + r%) pour la deuxième année. Au total, on obtient alors : M + Mr% + Mr%(1 + r%)(1 + r%) + Mr%(1 + r%) = M(1 + r%(1 + r%) + r% + r%(1 + r%) 2 ) (1) = M((1 + r%)(1 + r% + r%(1 + r%))) (2) = M(1 + r%) 3 (3) Ainsi, dans le cas des intérets composés, le capital accumulé s écrit à l aide de puissances et non du produit comme c était le cas pour les intérets simples. Encore une fois, il s agit pour le moment de capitalisation annuelle. On verra plus loin une méthode permettant de capitaliser sur des intervalles situés dans R +. Remarque 1 (Point de vocabulaire). Le capital initiallement investi est appelé généralement principal. Ce terme reste inchangé en anglais. 2.2 Taux proportionnels et taux équivalents Il arrive très souvent de devoir capitaliser des intérets sur des période différentes de l année : capitalisation sur une semaine, un mois, trois mois... ou pour des périodes plus complexes telles que deux mois, trois semaine et deux jours. Il est alors nécessaire de déterminer le taux qui s applique à cette capitalisation, à partir du taux annuel de capitalisation. Il est possible d utiliser les taux proportionnels ou les taux équivalent, selon l approximation que l on souhaite mettre en oeuvre Taux proportionnels Comme on l a fait remarquer, les taux d intérêt sont fréquemment exprimés en base annuelle (plus rarement en base semestrielle). Lorsque l on considère une période de capitalisation inférieure à l année (par exemple le mois ou le trimestre), le taux d intérêt prévalant pour cette période doit être calculé de manière proportionnelle : r : taux en base annuelle (4) r m : taux période si l on considère qu il y a m périodes de capitalisation pendant l année (5) 6

7 On a alors : r m = r m (6) Un exemple numérique permettra de clarifier les choses : soit un investissement de euros au taux de 12% avec capitalisation mensuelle des intérêts. Le taux est exprimé en base annuelle. On a alors : (1 + 1%) au bout d un mois (7) (1 + 1%) 2 au bout de deux mois (8) (1 + 1%) 12 au bout d un an (9) Ceci vient naturellement du fait que le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 12% est : r 12 = 12% 12 = 1% (10) Taux équivalents Dans le cas où l on travaille sur un intervalle de temps supérieur à l année, on a généralement recours aux taux équivalents. Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes sont équivalents quand ils donnent à intérêts composés la même valeur acquise au bout du même temps de placement. Autrement dit, l équivalent annuel de ces deux taux doit être le même. On détaille la méthode et on présente là encore un exemple nuémrique simple. Ainsi, considérons : r le taux d intérêt en base annuelle pour m périodes de capitalisation (11) r a le taux annuel équivalent (avec période annuelle de capitalisation) (12) L égalité des valeurs acquises au bout d un an entre les deux placements s écrit : ( (1 + r a ) = 1 + m) r m (13) r a = (1 + r m )m 1 (14) r = m( m 1 + r a 1) (15) La méthode de calcul est ici légèrement plus complexe que pour les intérets proportionnels, mais l approximation est meilleure. Remarque 2. On notera qu intuitivement, les intérets proportionnels correspondent à une capitalisation à intérets simples, alors que les taux équivalents correspondent à une capitalisation à intérets composés. On utilise ainsi davatage les intérets simples pour des périodes inférieures à l année et les intérets composés pour des périodes supérieures à l année. Là encore, un exemple numérique : soit un taux trimestriel de 1.5%. Ce taux correspond au taux annuel équivalent de : r a = ( %) 4 1 = 6.14% (16) 7

8 Inversement on peut chercher le taux trimestriel équivalent à un taux annuel de 6%. (1 + 6%) = (1 + r m ) 4 rm = 1.47% (17) Ce court exemple permet de se faire une idée de l écart existant entre taux proportionnel et taux équivalent. 1.5% correspond à un taux annuel proportionnel de 6%, mais à un taux annuel équivalent de 6.14%. Plus le nombre de périodes est important (mois, semaine, jours...) et plus cet écart se creuse. Globalement le taux proportionnel est inférieur au taux équivalent correspondant. Remarque 3 (Taux effectif). On appelle également ce taux équivalent taux effectif, dans la mesure où dans l hypothèse d une capitalisation composée, le véritable loyer de l argent est le taux d intéret ainsi calculé. Le terme anglais est effective rate. Le taux annualisé (i.e. r), tel qu il apparait dans les bases de données est appelé taux nominal ou nominal rate. 2.3 Intérets en temps continu De nombreux modèles d évaluation de produits de taux reposent sur une modélisation en temps continu de la capitalisation. Ces modèles ne seront pas abordés dans le cadre de ce cours, mais une excellente revue de la littérature, tournée principalement vers le développement des modèles Heath-Jarrow-Morton (HJM) est disponible dans Jarrow (2002). Il en va de même pour Cairns (2004). Une version française plus succinte est disponible dans Martellini and Priaulet (2004). Imaginons qu il soit possible d augmenter toujours davantage m, le nombre de périodes composant une année : il serait possible en théorie d utiliser le mois comme intervalle, ou la semaine, le jours, l heure, voire la minute... et de déterminer ainsi le taux équivalent pour une unité de temps tendant vers 0 (et par conséquent un nombre de périodes tendant vers + ). Considérer une composition continue revient à considérer qu il est possible de capitaliser sur une période de temps infinitésimale. Ainsi, à partir de la capitalisation suivante : (1 + 1 m )m (18) une capitalisation continue revient à faire tendre n vers l infini : on obtient un intervalle de taux infiniment petit. La limite de cette expression est alors : lim (1 + 1 m m )m = e (19) C est ce qu on observe sur la figure 1 (page 9). Une autre façon de le voir est de faire un développement limité de e u au voisinage de 0 : e u 1 + u (20) On obtient de même cette approximation pour (e u ) n, capitalisation sur n périodes : (e u ) n = e un (1 + u) n (21) On peut ainsi calculer la capitalisation d une somme quelconque pour une période de temps quelconque, en temps continu. Notons t une variable permettant de compter le temps en base annuelle. Ainsi t = 1 correspond à une année, t = 0.25 à un trimestre et t = 1/52 à une semaine. 8

9 Convergence vers l exponentielle dem Index Fig. 1 Convergence vers l exponentielle En divisant l année en m périodes comme précédement, on est alors en mesure de trouver une relation approximativement bonne entre les variables t et m. On a ainsi : t = k m (22) où k est le nombre de périodes de m nécessaire pour reconstituer à proximativement t. Par exemple, si t = 0.25 et que m = 12 (la période choisie est le mois), on a alors k = 3 : t = k m = 3 12 = 0.25 (23) Plus m est important (plus le nombre de périodes est important) et plus l approximation de t par k/m est bonne. En faisant tendre m vers l infini, celle-ci devient quasi parfaite, et on a : [ 1 + r ] k [ = 1 + r mt (24) m m] ([ = 1 + r ] m ) t e rt (25) m (26) Ceci tient naturellement au fait que k mt. On trouve ainsi une expression de la capitalisation en temps continu d un montant quelconque au taux annuel proportionnel r. Encore une fois ce type de capitalisation ne sert que dans le cas de modèles en temps continu, qui restent monnaie courante en finance. Notons que le temps continu revient précisement à opérer cette partition infinitésimale du temps. 2.4 Conventions de calcul Tous les calculs précédents font intervenir la durée du placement. Il existe des conventions précises pour la calculer, qui diffèrent selon les marchés et les produits. Voici pelle-mèle quelques unes de ces règles de calcul : La base renseigne sur la durée entre deux paiements et sur le nombre de jours considéré dans une année. 9

10 Un placement sur une période d intérêt entre deux dates d1 et d2 est supposé inclure la date d1 et exclure la date d2. Les intérets sont perçus en fin de période de capitalisation, i.e. pour une capitalisation annuelle, à la fin de chaque année. On parle parfois d intérets post-comptés. Les principales bases sont : Base Exact/360 (Actual /360) : nombre exact de jours calendaires entre deux dates divisé par 360 ; elle est utilisée sur le marché monétaire avec des taux proportionnels. Entre le 01/08/1999 et le 03/09/2001 : 764 jours. Base Exact/Exact (Actual/Actual) : nombre exact de jours calendaires entre les deux dates. La base comprend 365 ou 366 jours selon les années calendaires ; elle est utilisée pour le calcul des coupons courus des obligations. Entre le 01/08/1999 et le 03/09/2001 : 152/ /365 = Entre le 01/08/2000 et le 03/09/2002 : 152/ /365 = Base 30/360 : année divisée en 12 mois de 30 jours. On compte le nombre de mois calendaires pleins + les fractions de mois ; elle est utilisée sur le marché des swaps. Entre le 01/01/2001 et le 25/03/2001 : = 84 jours Entre le 15/01/2001 et le 31/05/2001 : = 136 jours Entre le 31/01/2001 et le 31/05/2001 : 4 30 jours = 120 jours 2.5 Valeur Future et Valeur Actuelle Imaginons que l on vous propose un investissement d un montant initial de 100 euros, qui vous rapporte un taux annuel de 4% sur deux ans. Vous vous interrogez : quelle sera la valeur future de mon placement? Par valeur future, on entend naturellement la valeur de votre patrimoine atteinte in fine grace à cet investissement. Rien n est plus simple. Vous avez qu avec des intérets composés, vous obtiendrez au bout des deux ans : V 2 = 100(1 + 4%) 2 (27) On appelle V 2 la valeur future de votre placement. En déterminant la valeur future de différents placements à deux ans, vous serez alors en mesure de les comparer à l heure d aujourd hui. En revanche, si vous souhaitez choisir entre différents placements d horizons différents (un an,deux ans, trois ans...), les projets n étant pas de même maturité, il ne vous est pas possible de procéder comme précédement. La valeur future n est pas la bonne approche. Si le fait de capitaliser les flux à l aide d intérêts composés permet d obtenir in fine la valeur future du placement étudié, alors il est possible de déterminer la valeur présente d un placement fournissant une valeur future de V f dont on connait les modalités de versement, autrement dit, la valeur qu il est nécessaire d investir aujourd hui pour obtenir V f en fin de vie du produit obligataire. Ceci revient à dire qu un euro aujourd hui n a pas la même valeur aujourd hui et demain. Si il est possible d investir cet euro à un taux de 6% aujourd hui, il est possible sur une période de deux ans d obtenir : V f = (1 + 6%) 2 = (28) 10

11 Autrement dit, la valeur actuelle de euros dans deux ans est 1 euro aujourd hui. On obtient V p, la valeur présente comme suit : V p = (1 + 6%) 2 = 1 (29) Cette notion est essentielle, dans la mesure où elle constitue la base de l ensemble des méthodes de valorisation des actifs (financiers). Elle sera fort utile pour le calcul des critères de décisions développés plus bas. Ainsi pour comparer la valeur de différents investissement, vous allez déterminer l ensemble des projets à la valeur présente et comparer cette valeur présente à l investissement nécessaire. Il s agit du point de départ des Valeurs Actualisées Nettes et des Taux Internes de Rentabilité. 2.6 Critères de décision On présente dans cette section deux méthodes de calculs qui serviront lorsque l on attaquera le vif du sujet : il s agit de la valeur actuelle nette et du taux interne de rentabilité. Les concepts de valeur actuelle nette et de taux de rendement interne sont développés de façon pédagogique dans Brealey and Myers (2003, 2005)[Chapitre 2, 3 et 5]) Valeur Actuelle Nette La Valeur Actuelle Nette est une méthode simple permettant de juger de l intéret d un placement. C est une méthode largement présentée, sinon utilisée, lors de la sélection de différents investissements. L idée est simple : on actualise les flux de revenu futurs occasionés par le placement et on les compare au montant initial de l investissement. La formule peut sembler a première vue complexe, mais il n en est rien. Un exemple permettre d éclaircir les idées : imaginons que vous vous lanciez dans un placement (sur les conseils d un ami bien avisé) qui nécessite une mise de départ de 100 euros, et vous rapporte au bout d un an 5 euros, en plus de votre mise de départ. Vous allez voir votre banquier et vous lui demandez le taux d intéret qu il vous servirait pour un placement sur une durée équivalente. La réponse : 4%. Avez vous intéret à investir dans ce placement? Une façon de répondre revient à déterminer la valeur actuelle du placement : cette valeur actuelle est naturellement égale à : V p = 105 = euros (30) 1 + 4% En clair : vous avez le choix entre votre placement et pretter votre argent à la banque. Vous savez qu en prettant 100 euros vous obtiendrez 105 euros in fine avec le placement de votre ami. Dans le cas où vous pretteriez de l argent à votre banque, combien faudrait il pretter pour obtenir in fine 105 euros? La réponse est solution de : x(1 + 4%) = 105 x = soit la réponse donnée initiallement. On compare alors la somme initiale à investir pour obtenir 105 euros dans un an pour les deux placements. Celui dont la somme est la plus faible (mise de (31) 11

12 départ initiale la plus réduite) est le placement le plus intéressant. En fait, on vient de comparer les valeurs présentes des deux investissements, en répondant à la question : combien faut-il que j investisse aujourd hui pour obtenir un montant donné dans le futur. Il est possible de généraliser la formule de la VAN à des flux mutliples, tels que : recevoir 5 euros dans un an, puis 5 euros dans deux ans et enfin 105 euros dans trois ans, pour une mise de départ de 100 euros. Dans ce cas, on procède comme précédement : quel serait le montant à investir à 4% aupres de la banque pour obtenir ces flus? On ne résout pas à nouveau le système, on se contente de calculer la valeur actuelle : 5 1, , = euros (32) 1, 043 Là encore le placement de votre ami est bien plus intéressant. Notez au passage que l actualisation a conduit à actualiser chacun des flux indépendement des autres. La formule générale de la VAN est la suivante : V AN = I + n p=1 F p (1 + r) p (33) F p : Flux net de trésorerie de la période p (34) I : Le capital investi (35) n : durée de vie du projet (36) r : taux d intéret. (37) Ce principe n est pas utile en tant que tel pour les produits de taux, mais sa démarche est essentielle pour comprendre le fonctionnement des principes de base de l évaluation des produits de taux. Le taux interne de rentabilité est également un principe essentiel Taux Interne de Rentabilité Le taux interne de rentabilité s interroge quant à la rentabilité d un placement. Combien me rapporte en terme d intéret le placement précédent? On connait la chronique des cash-flows, mais on ne connait pas encore le taux de rentabilité du projet. Quelques calculs évident montrent que ce taux de rentabilité n est rien d autre que le taux d actualisation qui permet d égaliser la somme des cash flows futurs actualisés et le montant initiallement investi. Il s agit donc du taux d actualisation pour lequel la VAN est égale à 0. Autrement dit, c est le taux x pour lequel il y a équivalence entre le capital investi et l ensemble des cash flows. Sa formule est donc la suivante : I = n p=1 F p (1 + x) p (38) Remarque 4. Les critères de la VAN et du TIR reposent sur des hypothèses de ré-investissement des flux de trésorerie pendant toute la durée de la vie du projet. Selon les critères de la VAN, le réinvestissement se fait au taux d actualisation alors que pour le TIR le réinvestissement des flux de trésorerie s effectue au taux interne lui-même. Ces quelques mots autour de la VAN et du TIR prouveront dans ce qui suit toute leur utilité : l actualisation est à la base du calcul obligataire simple. 12

13 3 Les obligations et la courbe des taux Cette section sera l occasion de présenter l ensemble des produits obligataires standards. Il sera également question de méthodes de valorisation ainsi que du concept de courbe des taux, concept essentiel s il en est. Cette section s appuie sur différents chapitres des livres précédement cités. Leur lecture est conseillée. La première partie de cette section est inspirée de Martellini et al. (2003)[Chapitre XX]. La partie consacrée au bestiaire des produits obligataires emprunte à Jarrow (2002)[Chapitre 1]. La partie consacrée à l analyse rich and cheap est tirée de Martellini and Priaulet (2004)[pages ]. 3.1 Quelques définitions Definition 1 (Les obligations). Les obligations sont des titres de créance détenus par un ou plusieurs porteurs à l encontre d un emprunteur. Derrière cette définition se cache une idée très simple : quand un particulier souhaite emprunter de l argent pour financer l achat de sa maison de son appartement, la somme empruntée est dérisoire, au regard des réserves dont dispose la banque. Lorsqu une entreprise souhaite financer un projet d investissement, le coût est très largement supérieur. La banque n est alors plus en mesure de fournir seule la somme requise sans se mettre dramatiquement en danger. Une solution simple à ce problème consiste à découper la somme à pretter en autant de petites sommes qu il le faut, et à proposer ces micro-prets sur un marché organisé : le marché obligataire. Chacun de ces micro-prets est appelé obligation et porte des intérêts appelés coupon. Definition 2 (Les coupons). Les coupons correspondent, dans le cas d une obligation, au versement des intérêts à intervalles fixes. Les coupons correpondent donc aux tombées d intérets régulieres. Les intervalles entre deux coupons peuvent être variables. Ils sont en général semi-annuel ou annuel. Le taux de coupon, i.e. le taux d intéret de référence pour calculer le coupon, est négocier à l émission de l obligation. Il existe de multiples catégories d obligations segmentées selon différents critères : Les obligations à taux fixe / les obligations à taux variable selon la nature fixe ou variable du taux de coupon Les obligations d Etat / les obligations corporate selon la nature publique ou privée de l émetteur Les obligations à coupon / les obligations zéro-coupon selon l existence ou non de coupons intermédiaires dans l échéancier de remboursement Les obligations sans clause optionnelle / les obligations à clause optionnelle (obligations convertibles...) selon l existence ou non d options associées au produit purement obligataire 13

14 Les obligations AAA / les obligations BBB selon la nature du rating de l émetteur Dans ce qui suit, on ne considèrera que la classe d obligation la plus standard ( plain vanilla bond ou bullet bond ). Ce sont des obligations qui présentent les caractéristiques suivantes : à taux fixe sans risque de défaut ou rating AAA i.e. émises généralement par l un des Etats membres du G7 le plus généralement à coupons sans clause optionnelle Ces obligations ne sont naturellement pas émises par des entreprises privées. Une entreprise est quoiqu il arrive soumise à un risque de défaut, si faible soit il. Le risque de faut correspond simplement au fait que l entreprise ne rembourse pas l argent qu elle a emprunté à l échéance du pret. Ces obligations vanilles sont principalement le fait des Etats : eux aussi ont de très larges besoins de financement. Pour les principaux pays du G7, le risque de défaut est quasi-nul et par abus de langage est considéré comme nul. Ce rique est bien évidement quasi nul dans la mesure où des événements géopolitiques peuvent encore et toujours éclater. 3.2 Caractéristiques d une obligation à taux fixe Les obligations à taux fixe présentent un certain nombre de caractéristiques qu il convient d avoir en tête avant de passer aux choses sérieuses : Emetteur : il s agit de l emprunteur. L emprunteur peut être une entreprise, l Etat, une collectivité locale... S il s agit d une entreprise, elle doit avoir au moins deux ans d existence, deux bilans régulièrement approuvé par les actionnaires et un capital entièrement libéré. La taille de l émission correspond au montant emprunté initialement par l emprunteur. Montant principal ou nominal : il s agit de la taille de l émission divisé par le nombre total d obligations mis sur le marché. Exemple : Une entreprise émet un million d obligations de montant nominal égal à 100 euros. La taille initiale de l émission est égale à 100 millions d euros. Taux de coupon : c est le taux d intérêt versé périodiquement au détenteur de l obligation. On appelle coupon le montant égal au taux de coupon multiplié par le montant nominal. Fréquence de tombée des coupons : fréquence selon laquelle l emprunteur versera des intérêts au détenteur de l obligation. Les fréquences les plus classiques sont une fois par an et deux fois par an à des dates fixées lors de l émission obligataire. Les coupons sont perçus jusqu à échéance de l obligation Exemple : Une entreprise émet une obligation de montant nominal 100 euros qui verse annuellement des intérêts. Le taux de coupon est fixé à 5%. Le coupon versé tous les ans à date anniversaire est donc égal à 5 euros. Base : elle renseigne sur la durée entre deux dates et sur le nombre de jours considéré dans une année. La base la plus souvent utilisée est la base Exact/Exact (Actual/Actual) qui prend en 14

15 compte le nombre exact de jours calendaires entre 2 dates et 365 ou 366 jours selon les années calendaires. Échéance : il s agit de la date à laquelle l obligation n existe plus. L emprunteur a remboursé à cette date l intégralité de ce qu il devait au détenteur de l obligation. Classiquement, l emprunteur rembourse le montant nominal à l échéance. Echéancier des remboursements : il correspond à l échéancier des versements effectués par l emprunteur au prêteur. Exemple : Soit une obligation de montant nominal 100 euros émise le 05/04/01, de maturité 3 ans, de taux de coupon 10% versé annuellement et qui rembourse le montant nominal à échéance. L échéancier de cette obligation est le suivant : 05/04/02 : versement d un coupon de 10 euros 05/04/03 : versement d un coupon de 10 euros 05/04/04 : versement d un coupon de 10 euros et du montant nominal égal à 100 euros Devise d émission : elle correspond le plus souvent à la devise du pays d appartenance de l émetteur. Secteur d activité : il s agit simplement du secteur d activité de l émetteur de l obligation. Rating de l émetteur : Il est une mesure de la capacité de l émetteur à rembourser les intérêts et le montant principal de l obligation. Autrement dit, il mesure le risque de défaut ou crédit de l émetteur. Il est fourni par les agences de notations (Standard & Poors, Moodys,...). La figure?? donne un bref aperçu de ce que sont les différentes notes. 3.3 Bestiaire des produits obligataires On présente dans cette section un certain nombre de produit obligataires essentiels à la compréhension du travail effectué par n importe quel trader taux en salle. Il ne sera ici question que des produits les plus standards sur le marché américain. 3.4 Les produits américains Les produits obligataires émis par le Trésor américain (bonds, notes and bills) sont des dettes obligataires garanties par l Etat américain. On les considère donc en général comme sans risque. L ampleur du déficit public américain garantit un approvisionnement conséquent du marché obligataire. Il existe globalement deux types de produits du Trésor : les coupon bonds qui sont des obligations payant un coupon tous les six mois et dont le principal (ou face value) est payé au terme du contrat. 15

16 les zero-coupon bons qui ne servent pas d intérêt et qui payent à maturité le principal. Remarque 5. Par convention historique, le Trésor émet des 0-coupons sur des maturités inférieures à l année. Les coupon-bonds sont émis sur des maturités supérieures à l année. Les zero-coupons sont appelés bills. Les coupon-bonds sont appelés notes si leur maturité est comprise entre deux et dix ans et bonds pour des maturités supérieures à 10 ans. Chaque type de produit a un type de cotation particulier (voir Jarrow (2002)[pages 8-11]). En plus de ces trois produits, et à la demande des intervenants du marché, le Trésor émet des titres synthétiques, les STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities) depuis août Il s agit de la cotation à part des coupons ou du principal de différents coupon bonds. Il s agit en fait de zéro-coupons synthétiques de maturité supérieure à un an, permettant de compléter la courbe des zéro-coupons pour des maturités allant jusqu à 30 ans. 3.5 Les marchés obligataires américains Il existe trois marchés pour les produits obligataires simples : le marché des taux spot, avec livraison immédiate du produit. On parle sur ces marchés de taux spots ; le marché des taux forward : un contrat forward est un contrat par lequel un acheteur et un vendeur s engage à échanger un produit à une date future connue et à un prix (un taux) fixé aujourd hui. On parle de taux forward dans ce cas ; le marché des taux futures : un contrat de futures est un contrat proche du contrat forward, mais pour lequel les règlements s effectuent au jour le jour par des mécanismes de compensations journalières. On parle de daily installments/settlements et le fait de réaliser ces appels de marge est appelé marking the market. 4 Evaluation d un produit obligataire Comme précisé en introduction, l ambition générale de la finance est triple : il s agit d une part de parvenir à donner un prix (évaluer), sélectionner et couvrir le risque d un produit financier, produit n existant pas naturellement dans la nature. Commençon simplement par s interroger sur la valeur d une obligation. A la question quelle valeur a l obligation X?, il est possible de fournir deux types de réponses : d une part, il est possible de s interroger sur le prix de marché de cette obligation. Les obligations sont cotées en continu et il est possible à tout moment d une journée de trading d obtenir le prix de marché, sorte de consensus autour de la valeur d un titre. Dans premier temps donc, il sera question du mode de calcul de ce prix de marché. Dans un second temps, il est également possible que le trader ait un avis différent du marché quant au prix de l obligation et décide par conséquent de prendre une position (acheter/vendre) ce produit en espérant que son opinion se realisera dans le futur. Cette second question sera brievement abordée dans le cadre de l analyse rich and cheap : le manque de temps ne permet pas d aller plus loin. 16

17 Il est à présent question d apporter quelques éléments tournant autour de la première réponse : comment calcule-t-on un prix de marché d une obligation? D une façon générale, les obligations à taux fixe sont cotées de deux façons différentes : cotation en prix ; cotation en taux de rendement. Il n existe donc une seule et unique façon de calculer le prix d une obligation. On détaille ces deux approches dans le cadre d une obligation zéro coupon. 4.1 Evaluation d une obligation ZC Calcul du prix de l obligation Le prix d une obligation zéro coupon emprunte à ce qui a été présenté dans le cadre de la VAN : le prix d un ZC est l actualisation de son unique flux en fin de vie au taux correspondant. Entrons néanmoins dans les détails : l étalement des flux dans le temps se présente comme suit 1 : P N où P est le prix payé pour acheter l obligation ZC, N est le nominal et C l unique coupon qui lui est attaché. Un raisonnement approximatif permet de se faire rapidement une idée du prix de ce ZC. Imaginons que le taux d actualisation soit de r%. Afin de déterminer si il est intéressant d acquérir cette obligation, pourquoi ne pas calculer sa VAN? Sa VAN est alors : V AN = P + N (1 + r%) n (39) n est ici le délai jusqu à maturité de l obligation, i.e. le nombre de jours, de mois ou d années avant le remboursement. Ici r% est exprimé en base annuelle. A quelle condition est il intéressant N d acquérir cette obligation? Réponse : si sa VAN est positive, i.e. P < (1+r%). Si tel est le cas, n que se passe-t-il alors? Les intervenants décelant cette opportunité achètent l obligation et son prix se met alors naturellement à monter jusqu à ce que V AN = 0. Dans le cas où la VAN est négative, un processus de vente conduit naturellement à la baisse du prix de marché. Ainsi, sur un marché suffisament actif (on parle parfois de marché efficient, suivant E. Fama), on devrait avoir en permanence, pour chaque titre V AN = 0. Dans un tel cas, le prix de marché est toujours et partout le flux futur actualisé. On a ainsi : P = N (1 + r%) n (40) 1 Attention! Cette version du polycopier corrige la grosse coquille que j avais laissé dans le précédent : un ZC ne verse QUE le nominal en fin de vie (à maturité), et non le nominal et un coupon, comme il en serait le cas pour un obligation à coupon d une maturité d un an et versant ses coupons sur une base annuelle... 17

18 Cette idée est à la base du calcul obligataire : une obligation à taux fixe est un produit pour lequel on connait à l avance le montant des flux futurs. Le prix d un tel actif est simplement l actualisation des flux futurs à un taux d actualisation particulier : le taux zéro-coupon Calcul du rendement de l obligation Les produits obligataires peuvent être indifférement cotés en prix ou en rendement. Sachant ce qui vient d être dit, cette idée ne pose aucun problème. En effet, on sait que le prix d un ZC s établit de façon à ce que sa VAN soit nulle. Le taux d actualisation permettant d obtenir cette VAN nulle n est donc rien d autre que le TIR. Dans le cas du calcul obligataire, on parle non pas de TIR mais de yield to maturity. Il s agit donc du taux solution de : P = N (1 + r%) n (41) On appelle également ce taux, dans le cas des zéro-coupons, taux zéros-coupon. Il est particulièrement important pour donner un prix à une obligation à coupon. 4.2 Autour de la courbe des taux Dans ce qui vient d être dit, on a pu donner l impression que le taux ZC était unique, quel que soit la maturité. Ceci est bien entendu extrêment faux : il existe (en principe) autant de taux que de maturité. Ainsi, pretter de l argent à l Etat américain sous forme de ZC à 1 mois ne se fera pas au même taux qu à 1 an. L ensemble des couples (maturité, taux correspondant) est appelé courbe des taux : il s agit d un concept fondamental pour la suite de ce cours. La figure 2 présente l évolution de la courbe des taux depuis juillet Cette courbe des taux est appelée courbe spot, dans la mesure où elle correspond à l ensemble des taux par maturité, ayant pour dénominateur commun un départ du pret immédiat. Il existe d autres courbes des taux, notamment des taux forwards. Il en sera question plus loin. Pour le moment, contentons-nous de constater deux points : Il existe un certains nombre de ZC pour des maturités faibles (un jour à un an), ainsi que certains substituts pour ce qui est de la suite de la courbe. Il n existe cependant pas des taux ZC pour un continuum de maturité : la courbe des taux n est pas continue en pratique, même si la plupart des modèles le supposent. Il sera donc nécessaire de parvenir à fournir une forme continue à cette courbe des taux lorsque l on voudra donner un prix à n importe quel actif. Ce point n est que brievement abordé dans ces notes de cours. Ces éléments seront abordés avec plus de détails dans la Section consacrée à la courbe des taux. Pour l instant, contentons-nous d imaginer que l on dispose d une courbe des taux ZC pour toute maturité, et que cette courbe des taux est continue. 18

19 Fig. 2 Courbe des taux depuis juillet taux dates maturite

20 4.3 Evaluation d une obligation à coupon On sait à présent valoriser une obligation ZC : il est assez aisé de passer des ZC aux obligations à coupons. On rappelle que la différence fondamentale entre les deux types d obligations est que le ZC ne délivre pas de coupons avant la maturité. Pour donner un prix à une obligation à coupon, il suffit d observer le timing des versements attachés à une obligation à coupon. C est ce qu on représente sur la figure suivante : P C C... C+N On a déjà idée que le prix de cette obligation a de fortes chances d être une somme de ses flux futurs actualisés... mais à quel taux? Pour répondre à cette question, il suffit de remarquer qu il est possible d imiter les différents paiements de ce titre à l aide de ZC. Il suffit pour cela d investir dans une série de ZC payant in fine C pour les différents horizons correpondant aux tombées de coupons, ainsi que dans un ZC versant C+N in fine pour une maturité exactement égale à celle de l obligation à coupon. Ce cocktail de ZC fournit exactement les mêmes versements que l obligation à coupon initiale. Le prix payé pour ce cocktail est simplement la somme des prix des différents ZC, i.e. le flux du ZC actualisé au taux ZC correspondant. Peut il exister une différence entre le cocktail de ZC et l obligation initiale? Si l obligation à coupon est plus cher que le cocktail, alors il est intéressant d acheter le cocktail est de vendre l obligation à coupon. On réalise ainsi un arbitrage : on a un portefeuille de coût négatif, versant 0 in fine. Il suffit de profiter de cet arbitrage pour le faire disparaitre : sur un marché raisonnablement liquide et informé, ce type d opportunité d arbitrage n a aucune raison d exister. Il est possible de formuler le même raisonnement pour le cas où le prix du cocktail est supérieur à celui de l obligation à coupon. Ce petit raisonnement permet d arriver à une conclusion bien pratique : on sait que le prix de l obligation à coupon est nécessairement une actualisation de ses versemements futurs. Le problème est alors de connaitre le taux à utiliser pour actualiser ces flux : d après ce qu on vient de dire, ce sont les taux ZC pour des maturités correspondantes aux versements qui doivent être utilisées pour l actualisation. D où le théorème suivant : Théorème 1. En l absence d opportunité d arbitrage, le prix d une obligation à coupon, de maturité n, de nominal N et de coupons C est nécessairement égal à : P = C 1 + r(1) + C (1 + r(2)) 2 + C (1 + r(3)) C + N (1 + r(n)) n (42) où r(i) est le taux ZC correspondant à la maturité i. Ce découpage de l obligation à coupon en autant d obligations ZC qu il y a de flux est appelé démembrement. Chacun des ZC synthétique ainsi créé est appelé strip, du nom des actifs synthétiques cotés sur le marché US permettant d obtenir une courbe des taux ZC plus fournie. STRIPS signifie : Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities. 20

21 Il est courant d adopter une autre convention de présentation pour présenter l actualisation de ces flux : les facteurs d escompte (en anglais : Discount Factor). Un facteur d escompte permet de transformer des valeurs futures en valeurs actuelles. Il s agit donc simplement d un outil basé sur l actualisation des flux. On sait qu un euro recu dans un an vaut aujourd hui : V A = r(1) où V A signifie valeur actuelle. Le facteur d escompte à un an est exactement défini comme cette V A. On le note en général B(τ) où τ est l horizon d actualisation. Il offre des propriétés assez intéressantes : que vaut 1000 euros dans un an à l heure d aujourd hui? Réponse : (43) V A = 1000 = 1000 B(1) (44) 1 + r(1) Dans le même ordre d idée, un actif versant un coupon C dans un an et le nominal N et le second coupon C dans deux ans vaut : P = C 1 + r(1) + C + N (1 + r(2)) 2 (45) = C B(1) + (C + N) B(2) (46) Ainsi, ce DF permet de transformer des futurs euros en euros aujourd hui. Le DF pour un horizon T, en base annuelle s écrit comme suit : B(T) = 1 (1 + r(t)) T (47) Ce type de notation peut simplifier les formules de valorisation d obligations à coupons. Exemple 1. Soit l obligation de montant nominal 100 euros, de maturité 3 ans et de taux de coupon 10%. Les taux ZC correspondants aux maturités de 1 an, 2 ans et 3 ans sont respectivement 7%, 9% et 10%. Le prix P de l obligation est égal à : P = % + 10 (1 + 9%) (1 + 10%) 3 (48) = 10B(1) + 10B(2) + 110B(3) (49) = 100, 407 (50) Notons pour conclure cette section qu il est possible de déterminer de la même façon que précédement un yield to maturity pour l obligation à coupon. En notant ce taux r, il s agit simplement de la solution de : n F i P = (1 + r) i (51) i=1 Cette fois-ci, le YTM ne correpond pas le moins du monde au taux ZC : il s agit simplement du taux de rendement interne de l investissement. En achetant une obligation à coupon, en supposant que l on peut réinvestir les coupons au taux r, le taux de rendement obtenu sur l investissement est r. Autrement dit, le rapport Valeur future Prix est égal à 1 + r. Ceci peut simplement se montrer sur un exemple. Soit une obligation de durée de vie 4 ans. Le nominal est de 100 euros et le taux de coupon est de 5%. Le YTM est de 3%. Le tableau suivant présente la capitalisation et l actualisation des différents flux sur la durée de vie de l obligation. 21

22 1 année 2 année 3 année 4 année Somme Flux Flux capitalisés au YTM 5, ,3045 5, , Flux actualisés au YTM 4, , , , , Le fait de capitaliser les flux au YTM matérialise l hypothèse implicite de réinvestissement des flux perçus sur la durée de vie résiduelle de l obligation. Chacun des flux est ainsi capitalisé sur sa durée de vie résiduelle et actualisée de la date de maturité jusqu à aujourd hui. On obtient ainsi la valeur actuelle des flux capitalisés. Ce calcul revient en fait strictement à actualiser les flux jusqu à aujourd hui, en négligeant l étape préalable de capitalisation. Ceci n est bien évidement vrai qu à la condition que le YTM soit bien le taux auquel on réinvestit les flux, ce qui n est en réalité généralement pas le cas. De façon plus formelle, pour une obligation de durée de vie n, un flux F perçu en date n 1 sera ainsi capitalisé sur n n 1, puis actualisé jusqu à aujourd hui : Capitalisation : F(1 + r) n n 1 (52) Puis actualisation : F(1 + r)n n 1 (1 + r) n = F (1 + r) n 1 On retrouve ainsi bien le calcul que l ona maintenant l habitude de mettre en oeuvre. Revenons maintenant à nos moutons : on a capitalisé l ensemble des flux perçus et calculé la somme de ces flux (120,92) ; de même on a déterminé le prix de l obligation (somme des flux actualisés), i.e. 107,43 euros. On cherche à présent le rendement de l opération. Le rendement de cette opération est naturellement solution de : (53) 120, , 43 = (1 + Rdm)4 (54) ( ) 120, 92 1/4 Rdm = 1 = 3% (55) 107, 43 On retrouve donc bien le YTM : il s agit donc du rendement espéré de l opération d achat de l obligation, à la condition de pouvoir réinvestir les flux intermédiaires à un taux égal au YTM. Cette hypothèse de réinvestissement n est bien évidement jamais vérifiée, faisant peser un risque de réinvestissement sur le portefeuille obligataire. Ce risque ne sera pas ou peu abordé dans le document. Le lecteur soucieux d obtenir quelques éclaircissements lira Martellini et al. (2003)[chapitre 3]. Remarque 6. Quand le taux de rendement de l obligation est égal à son taux de coupon, l obligation cote au pair. En effet, la somme actualisée de son flux futur est naturellement égal au nominal du contrat. Démonstration. Cette dernière remarque est très facile à prouver de façon formelle pour un zérocoupon : il suffit de se rappeler que C = i N, où i est le taux de coupon. Si i = r, autrement 22

23 dit, si le taux de coupon est égal au taux d actualisation, alors on a : D où si i = r, on a : P = C + N 1 + r = i N + N 1 + r N(1 + i) = 1 + r (56) (57) (58) P = N(1 + r) 1 + r = N (59) (60) 4.4 Calcul d un coupon couru On revient brievement dans ce qui suit sur les conventions de cotation du marché. La cotation en prix s exprime en général en pourcentage du montant du nominal. Il est donné pied de coupon, par opposition à coupon couru. Il s agit d une convention visant ne pas tenir compte dans le prix de cotation de la part du coupon revenant au détenteur de l obligation. Entre deux dates de tombée de coupon, le porteur d une obligation bénéficie du coupon qui a couru pendant la période où il détient l obligation. Un petit exemple permettra d éclaircir les idées. Exemple 2 (Coupon couru). Soit une obligation de montant nominal 100 euros, de taux de coupon 5%, d échéance le 25/06/2004 qui est détenu par un porteur entre le 26/06/2001 et le 25/09/2001. Le porteur a droit au coupon qui a couru entre le 26/06/01 et le 25/09/01. On le calcule de la façon suivante : Coupon couru = 100 5% = Plus généralement, à une date t donnée on calcule le coupon couru depuis la dernière date de tombée de coupon. L acheteur de l obligation doit verser au vendeur à la date t le prix incluant ce coupon couru. Exemple 3. Au 25/09/01, l acheteur doit acquitter le prix de l obligation égal au prix pied de coupon auquel on rajoute le coupon couru. Remarque 7 (Prix bid/ask). Il n existe pas un prix unique mais une fourchette bid-ask qui fournit le prix auquel l intermédiaire financier est prêt à acheter et vendre l obligation. Le prix à l achat (bid) est bien sûr inférieur au prix de vente (ask). Il est fréquent de calculer le prix moyen entre le prix bid et le prix ask que l on appelle prix mid. Remarque 8 (Cotations US). Aux Etats-Unis, il est fréquent de coter la décimale du prix en fraction par rapport à 32. Exemple : est en fait égal à /32 =