Révisions EM TSI2_2015_2016

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1 Révisions EM TSI_015_016 Exercice 1 : Identification d un champ Les cartes D ci-dessous sont celles de champs en régime stationnaire. Prévoir s il s agit d un champ électrostatique ou magnétostatique et identifier la nature des sources (invariantes par translation suivant un axe à la feuille): Champ électrostatique =0 implique l impossibilité de ligne de champ fermé Champ magnétostatique =0 implique l impossibilité d une convergence (ou divergence) en un point des lignes de champ. fils infinis parcourus par des courants de sens opposés charges + et charges - Spire parcourue par un courant charges ponctuelles positives fils infinis parcourus par un courant positif Exercice : Théorème de Gauss Soit une plaque d épaisseur h chargée en volume avec une densité supposée uniforme. La plaque est supposée infinie suivant et et le repérage est tel que est un plan de symétrie de la distribution de charge. Série de charges positives

2 Révisions EM TSI_015_016 1) Donner l expression du champ électrostatique en tout point de l espace en appliquant le théorème de Gauss ) En déduire l expression du potentiel électrique () si (=0)=0. 3) On fait tendre h 0 en maintenant =h=. Montrer que le champ électrique est discontinue 4) En déduire l expression du champ électrique dans et à l extérieur d un condensateur plan dont on néglige les effets de bords (on suppose les plaques placées dans un milieu assimilé à du vide et chargées avec une densité ±) 5) On note la surface des deux plaques du condensateur précédent et la distance qui les sépare. Donner l expression de la capacité du condensateur plan. On notera >0 la différence de potentiels appliquée aux plaques. 6) Montrer que l énergie électrique accumulée s exprime en fonction de et. L analyse des symétries et invariances conduisent à =(). On peut prendre une surface de Gausse centrée sur Oxy - 0 h/ : = donc ()= - h/ : = donc ()= + avec la continuité du potentiel, on a : += donc = soit ()= 1 On obtient l expression des champs en 0 par symétrie : (<0)= (>0) et (<0)=(>0) 0 h/ h/ h 0 h = = h = = h ()= ()= h h ()= ()= h h h h h h - h/ : = ( ) = Donc = = = Dans le cas d une distribution sans épaisseur : - 0 h/ : En prenant un cylindre de hauteur z Donc = = ( = ) = = On a == = et l énergie électrique s obtient avec la densité d énergie électrique = (ici uniforme) donc = = Pour cette situation stationnaire := =

3 Révisions EM TSI_015_016 Exercice 3 : Théorème d Ampère On se propose dans cet exercice de calculer le champ créé par une nappe de courant. A 1 B 4 D 3 C Donc, le théorème d Ampère donne : Un plan conducteur supposé infini est parcouru par un courant surfacique dirigé selon le vecteur unitaire. L intensité de ce courant est répartie uniformément sur le plan. On trouve ainsi un courant >0 sur un segment de longueur h selon. 1) Définir le vecteur densité de courant surfacique en fonction des données du problème. ) Déterminer l intensité champ magnétostatique en un point quelconque de l espace à l aide du théorème d Ampère. 3) Tracer la fonction () et apprécier la discontinuité du champ magnétostatique pour cette distribution idéalisée. 4) Un second plan parallèle au premier se trouve à la cote selon. Il est parcouru par un courant de même intensité mais circulant dans l autre sens. Exprimer le champ magnétostatique engendré par la distribution. = = ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) =h=µ. + ( ) Avec = alors ()= µ. Donc : = µ pour z>0 et = µ pour z<0. On trouve donc une discontinuité du champ au passage de cette nappe donnée par =µ. Si on rajoute un deuxième plan parcouru par un courant le traversant en sens inverse par rapport au 1 e alors les champs vont s additionner et on va avoir un champ total donné par µ entre les deux plans L uniformité du courant permet alors d écrire : = = Et sur une longueur h : = h donc = On a le plan zoy qui est un plan de symétrie de la distribution de courant. Donc le champ magnétostatique est tel que : =(,,) Le caractère infini de la distribution entraîne une invariance de la distribution par translation suivant Oy et Ox, donc =(). On peut proposer un contour rectangulaire tel que AB = h

4 Révisions EM TSI_015_016 Exercice 4 : Théorème de Gauss et champ gravitationnel Exercice 5 : Champs créé par une spire 1) Rappeler l expression du champ électrostatique () créé en un point par une charge ponctuelle située en un point et placée dans du vide ) En déduire alors, en mesurant le flux de à travers une sphère centrée sur et de rayon, que =. 3) Rappeler l expression du champ gravitationnel () créé en un point par une masse ponctuelle située en un point 4) Mesurer le flux de à travers une sphère de rayon et centrée sur. 5) Proposer une écriture inétgrale, analogue au théorème de Gauss, relative au flux du champ gravitationnel. 6) Proposer une écriture locale, analogue à l équation de Maxwell-Gauss, relative au flux du champ gravitationnel. Théorie électrostatique : ()= donc = Théorie gravitationnelle : ()= donc = 4 Donc 4 et soit = 4 et = 4 avec ρ masse volumique. Rq : Ce résultat est tout à fait généralisable à une distribution plus complexe de charges et une surface de Gauss de géométrie quelconque. D après le principe de superposition : =. = Soit une spire, de rayon, d axe et chargée uniformément avec une densité linéique : 1) Exprimer et représenter soigneusement le champ électrostatique () créé sur l axe de cette spire ) Une autre charge, supposée ponctuelle et notée coulisse sans frottement suivant. Donner l expression de la masse maximale de la charge pour que cette dernière puisse léviter au dessus de la spire On peut proposer une infinité de plans de symétrie de la distribution contenant alors l axe Oz et le point M : le champ électrostatique en M est sur l axe Oz La projection du champ élémentaire suivant la direction Oz donne :=. = 4 = = ( + ) / On peut étudier la dérivée de la fonction à tracer pour z>0 : () = ( + ) / ( + ) ( ) Cette fonction s annule pour = et est donc positive pour < Distribution La quantité. correspond à la projection de suivant et donc à : - pour des charges dans alors pour décrire toute la surface := - Pour des charges extérieures =0 à cause du flux rentrant et sortant intégrés sous le même angle solide mais au signe près. Donc = Donc la masse maximale est = /

5 Révisions EM TSI_015_016 Exercice 6 : champ créé par un solénoïde Soit un solénoïde de longueur h, de rayon, constitué de spires. Chaque spire est traversée par un courant d intensité (). On travaillera dans l approximation des régimes quasi stationnaire et tel que h ce qui permettra de négliger les effets de bords. Le milieu est assimilé dans lequel est placé le solénoïde est assimilé à du vide. 1) En postulant la nullité du champ pour une distance radiale infini, déterminer : - Le champ magnétique en dehors de la structure - Le champ magnétique dans la structure ) Calculer le flux propre du champ magnétique à travers le bobinage et en déduire l expression de son inductance 3) Retrouver ce résultat en exprimant l énergie magnétique emmagasinée par la structure. 1) Nous sommes dans le cas d un champ uniforme car les lignes de champ sont parallèles et que =0 et 0. Avec un champ nul à l extérieur (ce que l on peut justifier car les lignes de champ ne peuvent se fermer si le solénoïde est infini), le théorème d Ampère donne alors ) 3) donc donc Exercice 7 : Induction Soient deux tiges et identiques (même masse et même résistance / au courant) parallèles et posées sur deux rails distants de. Un champ magnétique uniforme, stationnaire et vertical est imposé. A l instant initial, est animée d une vitesse. On néglige tout frottement et l inductance propre du circuit. Le parallélisme des et est conservé. A) est maintenue fixe, le centre de masse de est en translation 1) Donner l équation différentielle d ordre 1 vérifiée par la vitesse instantanée de la tige. ) Résoudre cette équation différentielle et donner l expression de en introduisant un temps de réponse caractéristique de la tige. B) et ont leur centre de masse en translation 1) Etablir la loi de variation des vitessess de chacune des tiges au cours du temps. ) Faire un bilan de puissance et montrer que l énergie mécanique du système diminue. L équation électrique est : Et l équation mécanique est : Soit : 0 Donc / Si les deux tiges sont mobiles : Et : avec aussi / avec Donc Et : Soit 1 et 1 D un point de vue énergétique :

6 Révisions EM TSI_015_016 Exercice 8 : Théorème d Ampère et énergie électromagnétiquee Soit un câble coaxial de longueur infinie composé d un câble cylindrique de rayon R 1 et d un tube d épaisseur comprise entre R et R 3 avec R 1 < R < R 3 3. Le câble et le tube sont coaxiaux. Le courant d intensité I parcourt le câble dans un sens et le tube dans l autre. Les densités de courant sont supposées uniformes. On néglige les effets de bords. 1. Etudier les symétries et invariances et en déduire le sens et la direction de.. Calculer le champ en tout point de l espace. Tracer B=f(r). 3. En régime variable, les courants se répartissent uniquement en surface des conducteurs. On considère alors que les courants sont en surface (en et ). Donner l expression du champ. 4. Calculer l énergie magnétique présente dans ce câble supposé de longueur et en déduire l expression de l inductance linéique. Exercice 9 : Chauffage par induction : On considère un solénoïde supposé infini d axe, de rayon traversé par un courant sinusoïdal et générant ainsi un champ magnétique variable (seul champ magnétique à prendre en considération ici). On encastre un disque épais évidé dans ce solénoïde de conductivité γ. solénoïde 1) Donc ) alors µ - alors µ - alors µ µ - alors 0 µ 1 µ 3) Dans le cas d une distribution surfacique alors soit une inductance par unité de longueur µ. On peut aussi partir de la densité volumique d énergie µ µ µ la même inductance linéique µ 4) On peut trouver l expression de l inductance par calcul du flux : µ µ et on obtient 1) Exprimer le champ électromoteur créé par le solénoïde dans le conducteur. ) Ce champ électromoteur est responsable d un courant dans le disque caractérisé par son vecteur densité de courant. Donner l expression de vecteur 3) Exprimer la puissance moyenne donnée au conducteur d épaisseur? Le champ électromoteur possède donc les symétries et invariances de la distribution de courant du solénoïde :,, en choisissant un contour circulaire, on obtient et donc un vecteur densité de courant courant et donc d un effet joule. ln 4 responsable d un

7 Révisions EM TSI_015_016 Exercice 10 : Bilan énergétique d une bobine Soit un solénoïde de longueur (et supposé comme équivalent à un solénoïde infini), de section circulaire de rayon a, comprend n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par un courant d intensité constante. A 0, on ferme l interrupteur représenté ci-dessous et on éteint la générateur. On se placera en ARQS et on rappelle le champ rayonné dans la structure =µ () (pas de champ à l extérieur) 1) Donner l équation électrique régissant l évolution du courant traversant la bobine d inductance et la résistance. ) Donner l expression du champ électromoteur en calculant sa circulation sur un contour judicieusement choisi. 3) En déduire alors l expression du vecteur de Poynting et de la puissance électromagnétique perdue par le composant au cours de sa décharge. En déduire alors la variation d énergie électromagnétique (perdue) de la bobine. 1) On a avec la loi des mailles et la convention récepteur : + () =0 Donc :()= avec = L/R ) On a, d après Maxwell Faraday: = Ce champ électromoteur possède les symétries et invariances de la distribution de courant qui l engendre. Donc =(). On calcule alors la circulation de ce champ sur un contour centré sur l axe de révolution du solénoïde : - :=()= µ (). Soit := µ - : =()= µ (). oit := µ () () Avec () <0 on retrouve on retrouve un champ orthoradial (+) qui s oppose à une diminution du courant 3) En =: ()= = µ µ () Avec () <0 on retrouve le vecteur densité de puissance sortant du solénoïde. Donc le flux sortant du vecteur de Poynting à travers la surface fermée délimitée par le solénoïde est donné par : ().= µ Donc l énergie perdue est donnée par : 4 () = ().= = µ µ () () () =

8 Révisions EM TSI_015_016 Exercice 11 : OEM On dispose dans le vide deux plans parfaitement conducteurs, parallèles, d équations respectives 0 et =. On se propose d étudier une onde électromagnétique plane entre ces deux plans représentée par le champ électrique suivant : (,)= ()cos() 1) Obtenir l équation de propagation de ce champ entre les deux conducteurs. ) Définir un conducteur parfait. Qu implique ce modèle sur les champs électromagnétiques? 3) En déduire alors l expression de () en tenant compte des conditions aux limites imposées par les conducteurs. Interpréter la solution obtenue. 4) On suppose maintenant qu une source d OEM est située en 0. En ce point le champ électrique est (,)= cos (). Montrer que la cavité résonne si la source stimule certaine fréquence de rayonnement. 5) Dans le cas d un laser Hélium-Néon, les photons émis sont associés à une largeur 1 et la cavité est =50. Combien de modes pourrons nous observer? 1) A partir des équations de Maxwell dans le vide, on obtient l équation de propagation est µ =0 Et si on injecte la solution proposée alors : () + ()cos()=0 ) Un conducteur parfait est associé à une conductivité infinie. Il présente alors une réponse inductive parfaite permettant la réflexion totale des champs électrique et magnétique. 3) Donc () est de la forme ()=()+() Avec (0)= ()=0 soit =0 et = avec N et donc des solutions possibles de type ondes stationnaires avec la sélections de certaine longueur d onde telles que : = cos (). Cette quantification des longueurs d onde possibles se retrouve aisément en remarquant que la présence des deux conducteurs impose aux ondes stationnaires : =. Toutes ces fréquences possibles sont appelées modes propres de vibration de la cavité On observe exactement la même situation lorsque l on étudie une onde sur une corde : la solution générale est une somme d ondes stationnaires. C est ce qui donne le timbre de l instrument (fondamental + harmoniques) 4) Cherchons donc une solution du type (,)=(+)cos (+) vérifiant les conditions aux limites : (0,)=cos(+)= cos () Soit =0 et = et (0,)=(+)cos()=0 qui implique = soit une solution donnée par : (,)= sin( )cos(). () On a donc, avec ce modèle d une réflexion totale, un champ divergent si =. Stimuler les modes propres de vibration à l aide d un excitateur permet d atteindre une résonance (comme en mécanique où stimuler la fréquence de résonance d un oscillateur harmonique entraîne une résonance). 5) La résonance implique =/ soit = = =300 soit à peu près 3 modes. et =Donc entre deux modes :

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