TS Exemples de lois à densité : annales Corrigés

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1 Année 1/14 TS Exemples de lois à densité : annales Corrigés Exercice 1 (Antilles Guyane - Juin 1) 1) A : 5 8 B : 21 2 C : 11 2 En effet, il y a 21 cartes qui sont "ni as, ni pique" 2) A : 1 En effet, on calcule ) 15 B : dt D : 8 C : 1 12 D : 1 4 A :, 5 à 1 2 près B :, 85 9 C :, 85 9, 15 D :, 85 9, 15 1 En effet, soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d appareils en parfait état de marche. X suit une loi binomiale de paramètre et p, 85 (à justifier) P X , 85 9, Exercice 2 (Nouvelle Calédonie - Décembre 7) 1) a) b) P D F 1 P F 1 P F1 D F 1 et F 2 forment une partition de l univers donc, d après la formule des probabilités totales, P D P D F 1 P D F 2 P F 1 P F1 D P F 2 P F2 D c) P D F 1 P D F 1 P D Sachant qu un composant est défectueux, la probabilité qu il provienne du premier fournisseur est 1. 2) On répète n la même expérience : commander un composant. - le composant est défectueux de probabilité p le composant n est pas défectueux de probabilité 1 p La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (nombre de composants défectueux) suit la loi binomiale de paramètres n et p, Pour tout entier naturel ; 1 ;... ;, P X P X 2 1 P X

2 La probabilité qu au moins deux d entre eux soient défectueux est d environ, 74. 2

3 ) a) P X 5 1 P X 5 1 e t dt 1 e t 5 e 5 5 P X 5, 25 e 5, 25 5 ln, 25 ln, 25, b) P X 8 1 e La probabilité qu un composant dure moins de 8 ans est d environ, 85 P X 8 1 P X 8 e La probabilité qu un composant dure moins de 8 ans est d environ, 165 c) P X X 8 P X 5 e (propriété de durée de vie sans vieillissement) La probabilité qu un composant dure plus de 8 ans sachant qu il a déjà duré plus de ans est d environ, 25. Exercice (Métropole - juin 8) 1) ROC a) R t P X t 1 P X t 1 t e x dx 1 e x t 1 e t 1 e t b) s, t : P " X t " " X s t" P X s t P X t X t s e s t e P X t P X t s ne dépend pas de t. e t Donc la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement. 2) Dans cette question, on prend, 26. a) P X 1 1 e x dx 1 e 1 1 e.26, 2 P X 1 1 P X 1 e.26, 77 b) P " X 1 " " X " P X e P X 1 X P X 1 P X 1 e 1 e 1 e.26, 77 P " X " " X " P X c) P X X e e P X P X e 1 e 1 1 e.26, 2 On pouvait prévoir ce résultat car la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement. Exercice 4 (Métropole - Septembre 11) Partie A On répète n la même expérience : acheter un moteur. - le moteur tombe en panne la première année d utilisation de probabilité p, 12 - le moteur ne tombe pas en panne la première année d utilisation de probabilité 1 p, 88 La variable aléatoire Y qui compte le nombre de succès (nombre de moteurs qui tombent en panne la première année d utilisation) suit la loi binomiale de paramètres n et p, 12 Pour tout entier naturel ; 1 ;... ;, P Y, 12, 88 1) P Y La probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d utilisation est, 274 2) P Y 1 1 P Y

4 La probabilité qu au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d utilisation est, 922 4

5 1) p Y 1 1 e x dx e x 1 1 e. Partie B p Y 1, 12 1 e, 12 e, 88 ln, 88 (ln et exp sont réciproques) ln, 88 Donc, 128 2) p Y 1 p Y 1 p Y 1 1 e e La probabilité qu un moteur dure plus de ans est, 681. ) p Y 1 Y 4 p Y. 681 (propriété de durée de vie sans vieillisement) La probabilité qu un moteur dure plus de 4 ans sachant qu il a duré plus d un an est, ) d m E X 1 1 7, La durée de vie moyenneest d environ 7 ans et 1 mois. Exercice 5 (Nouvelle Calédonie - Novembre 11) 1) P X 7 7 e x dx e x 7 1 e 7 P X 7, 6 1 e 7, 6 e 7, 4 7 ln, 4 (exp et ln sont réciproques) ln, 4 7 Donc. 11 à 1 près. 2) P X 5 1 P X 5 1 P X e 5.11 e P " X 9" " X 4" P " X 9" e 9.11 ) P X 4 X 9 e P " X 4" P " X 4" 5.11, 52 e 4.11 Remarque : P X 4 X 9 P X 5 (propriété de durée de vie sans vieillissement) 1 4) P 6 X 1 e x dx e x 1 6 e 6.11 e 1.11, ) a) On répète n 8 la même expérience : relever un temps de fonctionnement. - le temps de fonctionnement est supérieur ou égal à 5 heures de probabilité p, 52 - le temps de fonctionnement est strictement inférieur à 5 heures de probabilité 1 p, 48 La variable aléatoire Y qui compte le nombre de succès (nombre de temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures) suit la loi binomiale de paramètres n 8 et p, 52 8 Pour tout entier naturel ; 1 ;... ; 8, P Y, 52, b) P Y La probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures est d environ, 2 c) E Y np

6 Exercice 6 (Pondichéry - Avril 1) 1) a) On considère les évènements : - B i : "la i ème boule tirée est blanche" - R i : "la i ème boule tirée est rouge" On peut faire un arbre pondéré. Pour perdre 1 euro, le joueur doit tirer une boule blanche et une boule rouge. P X 1 P B 1 R 2 R 1 B 2 (union disjointe) P X 1 P B 1 R 2 P R 1 B 2 P X 1 P B 1 P B1 R 2 P R 1 P R1 B 2 n 9 n n 9 b) P X 4 P B 1 B 2 P B 1 P B1 B n 9 9 P X 1 1 n n 9 P X 6 P R 1 R 2 P R 1 P R1 R 2 c) E X x i P X x i i 1 n n 1 n 9 n 4 9 6n n 1 n 9 n 9 n n 1 n 9 6n2 14n 6 n 9 d) E X 6n 2 14n 6 (car n 9 1 et ) 6x 2 14x 6 est un trinôme du second degré ayant pour racines 9 et 6, 6 par défaut. 6x 2 14x 6 est du signe de a 6 entre les racines. Donc l espérance mathématique est strictement positive pour n égal à 2,, 4, 5 ou 6. 2) On répète n la même expérience : tirer une boule. - la boule est rouge de probabilité p n - la boule est blanche de probabilité 1 p 1 La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (nombre de boules rouges) suit la loi binomiale de paramètres n et p n Pour tout entier naturel ; 1 ;... ;, P X P X 1 1 P X 1 1 On cherche le plus petit entier n tel que P X 1, , p 1 p

7 , 1 1 ln, 1 ln 1 ln, 1 ln 1 ln ln 1 ln, 1 ln ln 1 ln, 1 exp ln 1 ln, 1 n exp 1 ln 1 ln. 1 Or exp 1 4, 2 par excès. Donc le plus petit entier cherché est n 5. ) a) P Z 5 5, 1e,1x dx e,1 5 1 e,5, 9 La probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 5 boules pour avoir une boule blanche est d environ, 9. P " Z 6" " Z 5" P 5 Z 6 b) P Z 5 Z 6 e,5 e,6 1 e P Z 5 P Z 5.1, 95 e,5 La probabilité conditionnelle de l évènement : "le joueur a tiré au maximum 6 boules pour tirer une boule blanche" sachant l évènement "le joueur a tiré plus de 5 boules pour tirer une boule blanche" est d environ, 95 7