Mouvement des particules chargées dans un champ électromagnétique

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1 xercices du chapitre M4 Langevin-Wallon, PTSI Mouveent des particules chargées dans un chap électroagnétique xercice 1 : Force de Lorent xercices [ ] Tracer sur les schéas ci-dessous le vecteur force de Lorent en décoposant ses coposantes électrique et agnétique On suppose que les particules ont toutes une charge positive On rappelle qu un vecteur noté est de direction perpendiculaire au plan de la feuille et orienté de la feuille vers vous (il «sort» de la feuille), alors qu un vecteur noté est lui aussi de direction perpendiculaire au plan de la feuille ais orienté de la feuille vers le sol (il «s enfonce» dans la feuille) (a) (b) (c) (d) B v v B B v B v xercice 2 : Sélecteur de vitesse [ ] Une particule de asse et charge q pénètre avec une vitesse v 0 = v 0 ux dans une one où existent un chap électrique = 0 uy et un chap agnétique B = B 0 u unifores et stationnaire 1 - À quelle condition le vecteur vitesse de la particule reste-t-il inchangé? 2 - xpliquer coent ce dispositif peut être adapté en sélecteur de vitesse xercice 3 : Oscilloscope analogique y O x P 1 P 2 D L écran fluorescent X [ ] Dans une époque pas si reculée où la touche autoscale n existait pas, les oscilloscopes analogiques exploitaient la déviation d un faisceau d électron sous l effet d une tension à iager sur un écran Cet exercice propose de coprendre le principe de fonctionneent de ces anciens oscilloscopes Dans tout l exercice, on se place dans un référentiel galiléen associé à un repère (O, u x, u y, u ) Une one de chap électrique unifore est établie entre deux plaques P 1 et P 2, le chap est supposé nul en dehors de cette one et les effets de bord sont négligés La distance entre les plaques est notée d, la longueur des plaques D et la différence de potentiel U = V (P 2 ) V (P 1 ) est supposée positive Des électrons de charge q = e et de asse accélérés au préalable pénètrent en O la one où existe le chap avec une vitesse v 0 = v 0 u selon l axe O 1 - Établir l expression de la force subie par les électrons en fonction de U, q et d 2 - Établir l équation de la trajectoire x = f() de l électron dans la one du chap en fonction de d, U et v Déteriner les coordonnées du point de sortie K de la one de chap et les coposantes de la vitesse en ce point 4 - Montrer que dans la one entre les plaques chargées et l écran fluorescent le ouveent est rectiligne unifore 5 - On note L la distance entre la sortie de la one de chap et l écran fluorescent Déteriner l abscisse X I du point d ipact I de l électron sur l écran en fonction de U, v 0, D, d et L 6 - Question copléentaire : en déduire le principe de fonctionneent d un oscilloscope analogique À quelle condition est-il raisonnable de supposer U constante? Proposer une solution perettant d obtenir un chronograe sur l écran et pas seuleent un point 1/3 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

2 xercices M4 : Mouveent des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI xercice 4 : Analyse de ouveents [ ] On considère un point atériel de charge q > 0 et de asse, de vitesse initiale V 0 à l entrée d une one où règnent un chap électrique ou un chap agnétique B On suppose ces chaps unifores et indépendants du teps, et on néglige toute autre force que celles provoquées par ces chaps 1 - La particule décrit une droite et possède une accélération constante a 1a - Déteriner la direction et la nore du ou des chaps qui provoquent cette trajectoire 1b - Déteriner la position du point atériel en fonction du teps 2 - La particule décrit une trajectoire circulaire de rayon R 0 dans un plan (xoy) 2a - Déteriner la direction du ou des chaps qui provoquent cette trajectoire 2b - Déteriner la nore du chap en fonction de V 0 et R 0 Il est suggéré d utiliser les coordonnées polaires xercice 5 : Cyclotron [inspiré CCP PC 2014, ] Un cyclotron est foré de deux enceintes dei-cylindriques D 1 et D 2, appelées «dees» en anglais, séparées d une one étroite d épaisseur a Les dees sont situés dans l entrefer d un électroaiant qui fournit un chap agnétique unifore B = B e, de nore B = 1,5 T Une tension haronique u est appliquée entre les deux extréités de la bande interédiaire, si bien qu il y règne un chap électrique orienté selon e x On injecte des protons au sein de la one interédiaire avec une vitesse initiale négligeable Données : asse d un proton = 1, kg y x B a D 1 D 2 Figure 1 Étude d un cyclotron Schéa de principe et photo du cyclotron de l université de Rutgers, qui esure une trentaine de centiètres de diaètre 1 - Montrer qu à l intérieur d un dee la nore de la vitesse des protons est constante 2 - n déduire le rayon de courbure R de la trajectoire des protons ayant une vitesse v ainsi que le teps que passe un proton dans un dee 3 - Quelle doit être la fréquence f de la tension pour que le proton soit accéléré de façon optiale à chaque passage entre les dee? Pour siplifier, on pourra supposer a R Justifier le choix d une tension haronique au lieu, par exeple, d une tension créneau 4 - La tension u a pour aplitude U = 200 kv 4a - Déteriner en fonction de n le rapport des rayons R n et R n+1 de deux dei-cercles consécutifs Le deicercle n = 1 est celui qui suit la preière phase d accélération 4b - Calculer le rayon de la trajectoire après un tour (donc un passage dans chaque dee), puis après dix tours 5 - Le rayon de la dernière trajectoire décrite par les protons accélérés avant de bobarder une cible est R N = 35 c 5a - Déteriner l énergie cinétique du proton avant le choc contre la cible proche du cyclotron 5b - Déteriner le nobre de tours parcourus par le proton Annale de concours xercice 6 : Électron dans un chap électroagnétique [NAC 2016, ] L épreuve écrite du concours NAC est un QCM sans calculatrice Pour chaque question, entre 0 et 2 proposition(s) sont juste(e) Un électron de asse e kg et de charge e C pénètre, avec un vecteur vitesse v 0, dans une région où règnent un chap électrostatique et un chap agnétostatique B unifores, orthogonaux entre eux et 2/3 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

3 xercices M4 : Mouveent des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI à v 0 Préciséent, dans la base directe { e x, e y, e } du repère cartésien Oxy (x, y et sont les coordonnées cartésiennes de l électron), = e x, B = B e y et v 0 = v 0 e,, B et v 0 étant positifs L origine O du repère cartésien est prise à l endroit où l électron pénètre dans la région des chaps La nore v 0 de sa vitesse est de 1000 k s On considère dans un preier teps que B = 0, de sorte que l électron n est souis qu au chap électrique Quelle est l équation vectorielle du ouveent? Dans les propositions ci-dessous, a est le vecteur accélération (a) a = e (b) a = (c) a = e e (d) e a = l e e e e 2 - Quelles sont la nature et l équation de la trajectoire de l électron? (a) La trajectoire est une portion de parabole d équation e ( ) 2 e v 0 (b) La trajectoire est une portion de droite d équation e e v 0 (c) La trajectoire est une portion de parabole d équation e 2 e (d) La trajectoire est une portion de droite d équation e 2 e ( ) On place un écran d observation parallèleent au plan Oxy en 0 = 0,2 Sachant que = 10 V 1, calculer l abscisse x e de l ipact de l électron sur l écran (a) x e 4 (b) x e 4 (c) x e 4 c (d) x e 4 c l 4 - On considère aintenant = 0 et B 0, l électron pénètre donc dans une one où règne un chap agnétostatique unifore Donner l expression de la force de Lorent F L qui s exerce sur l électron au oent où il pénètre dans la région du chap 1 (a) F L = v 0 B (b) F L = e v 0 B (c) F L = e v 0 B (d) F L = ev 0 B l v Pari les affirations proposées, quelles sont celles qui sont exactes? (a) La trajectoire de l électron est rectiligne de vecteur vitesse constant (b) La trajectoire de l électron est parabolique (c) La trajectoire de l électron est circulaire de rayon R c = ev 0 eb (d) La trajectoire de l électron est circulaire de rayon R c = ev 0 e B 6 - On a aintenant 0 et B 0 Pour quel rapport /B le ouveent de l électron est-il rectiligne et unifore? (a) /B = v 0 (b) = B (c) B/ = v 0 (d) On ne peut pas le déteriner l v 0 1 La notation est la notation anglo-saxone du produit vectoriel Il est un peu surprenant qu elle apparaisse sans explication dans un sujet niveau prépa! 3/3 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

4 xercices M4 : Mouveent des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI /3 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

5 Correction des exercices du chapitre M4 Langevin-Wallon, PTSI Mouveent des particules chargées dans un chap électroagnétique xercice 1 : Force de Lorent xercices B (a) F = F F B = 0 v (b) v B F, F B, F (c) B F B v F (d) F L B F, F B v F xercice 2 : Sélecteur de vitesse 1 La particule est souise uniqueent à la force de Lorent Le vecteur vitesse de la particule reste inchangé si son vecteur accélération est nul, c est-à-dire d après la loi de la quantité de ouveent si la force de Lorent est nulle, ( F = q + ) v B = 0 ce qui donne 0 uy + v 0 B 0 ( u x u ) = 0 soit 0 v 0 B 0 = 0 Rappel : u x u = u y 2 On peut utiliser la contraposée de la question précédente : si le vecteur vitesse de la particule n est pas égal à v 0 ux alors elle est déviée n plaçant par exeple un asque en sortie de la one de chap, on peut ne garder que les particules passant par un trou accessible seuleent si elles ont la vitesse v 0 et bloquer les autres xercice 3 : Oscilloscope analogique 1 Coe toujours avec les particules chargées, le poids est négligeable devant la force de Lorent Ici, le potentiel de la plaque P 2 est supérieur à celui de la plaque P 1, donc est dirigé selon u x Coe il est dû à une différence de potentiel entre deux plaques, sa nore vaut U/d, donc = U ux d où d F = e = eu d ux car on considère des électrons 2 Déterinons la trajectoire par application du PFD à l électron dans le référentiel de l oscilloscope, supposé galiléen Coe ni la force électrique, ni la vitesse initiale n ont de coposante sur u y alors le ouveent de l électron est liité au plan (xo) n teres de coposantes, les différentes intégrations avec les constantes déterinées à partir des conditions initiales donnent ẍ = e U d = 0 donc ẋ = e U d t + 0 ż = v 0 d où x = = v 0 t + 0 e U 2 d t2 + 0 Pour obtenir la trajectoire, il faut éliiner t de l une de ces équations Cela se fait en replaçant t par /v 0 dans l équation portant sur x, d où x = e U 2 d v /5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

6 Correction exercices M4 : Mouveent des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI Coe les plaques ont pour longueur D, alors on a forcéent K = D et x K = e U 2 d v 2 D 2 Le plus siple pour déteriner la vitesse en sortie est de déduire l instant t K = K /v 0 = D/v 0 où la particule passe par K de la loi horaire et de le substituer dans la loi de vitesse, ce qui donne ẋ K = e U D d v 0 et ż K = v n supposant la vitesse v K suffisaent élevée pour que l effet du poids de la particule puisse être négligé, celle-ci n est souise à aucune force Son ouveent est alors rectiligne unifore 5 Notons α l inclinaison du vecteur vitesse de la particule par rapport à l axe en K Ainsi, en notant v K sa nore, on a ż K = v K cos α et ẋ K = v K sin α, soit tan α = ẋk ż K = e U D d v 2 0 Lorsque la particule avance de L le long de l axe, elle se déplace de δ dans la direction x avec ce qui donne au final X I = x K + δ soit δ = L tan α = L e U D d v 2 0 X I = ( ) D e D 2 + L d v0 2 U, 6 Dans un oscilloscope analogique, les électrons sont éis par un canon à électrons La tension U peut être supposée constante coe fait dans cet exercice si l ordre de grandeur du teps sur lequel elle varie est bien plus grand que le teps is par un électron pour passer entre les deux plaques Pour obtenir un chronograe sur l écran et pas seuleent un point, il faut que la direction d éission des électrons varie au cours du teps Cela est assuré par deux autres plaques alientées par une tension alternative dépendant de la base de teps xercice 4 : Analyse de ouveents 1a Un chap agnétique ne peut que courber les trajectoires sans odifier la nore de la vitesse de la particule On en déduit qu elle est souise à un chap électrique Si la particule est en ouveent rectiligne accélérée, c est que son vecteur accélération est toujours colinéaire à son vecteur vitesse Déduisons-en la direction du chap électrique Systèe : particule chargée ; Référentiel : celui du laboratoire où l expérience est réalisée, que l on suppose galiléen ; Bilan des forces : seule la force électrique F = q est à prendre en copte D après la loi de la quantité de ouveent, a = q soit q a = d où = q a De plus, par intégration, v = a t + V 0 = q t + V 0 Si v et a sont colinéaires tout au long du ouveent, c est que le chap est de êe direction que le vecteur V 0 On peut alors écrire = a V 0 qv 0 1b n définissant le point O coe la position de la particule à t = 0, on déduit par intégration de la vitesse # OM = 1 2 q t 2 + V 0 t + 0 2/5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

7 Correction exercices M4 : Mouveent des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI a Une trajectoire pureent circulaire ne peut être provoquée que par un chap agnétique perpendiculaire à la vitesse initiale n effet, un chap électrique entraîne nécessaireent une déviation des particules chargées dans sa direction La trajectoire étant contenue dans un plan (xoy), on en déduit que le chap est dirigé selon l axe 2b La trajectoire étant circulaire, la vitesse et l accélération s écrivent en coordonnées polaires v = R0 θ uθ et a = R0 θ2 ur + R 0 θ uθ La seule force à laquelle la particule est souise, la force de Lorent, s écrit F L = q v B = qr 0 θb( uθ u ) = qr 0 θb ur Le PFD appliqué à la particule donne en projection dans la base polaire { R0 θ2 = qr 0 θb R 0 θ = 0 On en déduit θ = qb/ = cte : la particule tourne en sens horaire autour de l axe O Coe la vitesse angulaire est constante, le ouveent est circulaire unifore, d où R 0 θ = cte = V0 soit B = v 0 qr 0 xercice 5 : Cyclotron [inspiré CCP PC 2014] Systèe : un proton, assiilé à un point atériel de asse et charge q Référentiel : lié au cyclotron, donc a priori le référentiel terrestre, en bonne approxiation galiléen Bilan des forces : le proton n est souis qu à la force de Lorent (qui diffère en fonction des ones), devant laquelle le poids est négligeable 1 À l intérieur des dees seule la force agnétique F B = e v B existe D après le théorèe de l énergie cinétique, d c dt = e( v B) v = 0 soit v dv dt = 0 d où dv dt = 0 2 La trajectoire d un proton dans un chap agnétique est un arc de cercle, parcouru à vitesse constante Utilisons un repérage polaire, centré sur le centre de l arc de cercle D après la loi de la quantité de ouveent, a = e v B soit en utilisant les résultats connus sur la cinéatique d un tel ouveent, ) ( v2 er = e v B( e θ e ) = e v B e r R en utilisant v = v e θ : la trajectoire est parcourue en sens horaire pour un proton, résultat que vous pouve ou bien connaître ou bien retrouver ici à partir de la cohérence des signes Finaleent, v 2 R = e v B d où R = v eb La trajectoire dans un dee est un dei-cercle de longueur πr, parcourue en un teps t d = πr v = π eb = 22 ns On rearque que t d ne dépend pas de la vitesse du proton, ais seuleent du chap appliqué au dee (et évideent de caractéristiques intrinsèques du proton, e et ) 3 Pour que le proton soit accéléré de façon optiale à chaque passage entre les dees, il faut que la force électrique qu il subit soit alternativeent orientée selon + u x lorsqu il passe de D 2 à D 1 et selon u x lorsqu il passe de D 1 3/5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

8 Correction exercices M4 : Mouveent des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI à D 2 n négligeant le teps de passage dans l espace entre les dees (a πr), il faut donc qu une dei-période de la tension appliquée soit égale à t d, soit pour la période T = 2 t d = 2π eb et f = eb = 23 MH 2π Utiliser une tension haronique plutôt qu une tension créneau a l intérêt de regrouper tous les protons pour que leur passage dans les dees soit en phase avec la tension Regrouper les protons peret aux ipulsions du faisceau d être plus puissantes De plus, en pratique, une tension créneau requiert beaucoup d haroniques qu il peut ne pas être siple d iposer à de telles fréquences 4a Jusqu à présent, nous avons relié le rayon à la vitesse du proton Il faut donc aintenant relier la vitesse du proton au nobre de passage dans les dees, ou plutôt au nobre de passage dans la one accélératrice Coe on ne s intéresse qu à la nore, le théorèe de l énergie cinétique est le plus adapté Appliquons ce théorèe sur une trajectoire entre la sortie d un dee et l entrée de l autre, en supposant que le passage du proton se fait au oent où la tension atteint son axiu (justifié par la question précédente), et en supposant aussi que la durée de passage dans la one accélératrice est négligeable devant la période de la tension, ce qui peret de supposer que la tension est presque constante égale à U Sous ces hypothèses, on trouve n raisonnant par récurrence, on obtient et en utilisant le résultat d une question précédente, 1 2 v 2 n v 2 n = W ( F ) = e U a a 1 2 v n v v n 2 2neU = neu soit v n = 2neU 2nU R n = eb = 1 B e Finaleent, R n+1 n + 1 = R n n 4b Rearquons bien que n copte le nobre de passage dans la one accélératrice, faire un tour coplet revient donc à passer de n à n + 2 Après un tour, n = 2 et v 2 = 4eU et R 2 = 2 B U e = 6,1 c Après dix tours, n = 20 et v 20 = 10 v 2 = 19 c 5a Avec R N = 35 c, la vitesse finale vaut v fin = ebr N d où c,fin = e2 B 2 R 2 N 2 = 2, J = 14 MeV 5b D après la question précédente, c,fin = NeU d où N = c,fin eu = 33 ce qui correspond à 16 tours et dei au sein du cyclotron 4/5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr

9 Correction exercices M4 : Mouveent des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI Annale de concours xercice 6 : Électron dans un chap électroagnétique [NAC 2016] Coe un QCM n appelle aucune justification, il faut absoluent privilégier l analyse physique aux calculs, ce qui peret de répondre rapideent à certaines questions 1 On raisonne sur l électron, souis à la seule force de Lorent Par application de la loi de la quantité de ouveent, réponse (d) e a = e d où a = e e 2 Intégrons vectorielleent l équation du ouveent en tenant directeent copte des conditions initiales, puis n projetant sur l axe x, réponse (c) 3 Réponse (d) 4 Réponse (b) C est du cours d v dt = e e x = e t 2 2 e y = 0 = v 0 t donc v = e e t + v 0 # OM = e t 2 + v 0 t e d où x = e ( ) 2 2 e v 0 5 Dans un chap agnétique unifore et stationnaire, le ouveent de l électron est circulaire unifore donc son accélération est radiale centripète Pour trouver le rayon de la trajectoire, il suffit d écrire le PFD dans la base cylindrique de centre le centre de la trajectoire et d axe Oy parallèle à B On a alors e a = }{{} vt v0 2 e er = R c }{{} PFD ev 0 eθ B e y = ev 0 B e r ce qui donne finaleent réponse (c) R c = ev 0 eb 6 Le ouveent est rectiligne unifore à vitesse v 0 si la force de Lorent s annule, c est-à-dire si + v 0 B = 0 soit e x + v 0 B( e e y ) = 0 et v 0 B = 0 d où B = v 0 réponse (a) 5/5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, wwwetienne-thibiergefr