Les parallélogrammes

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1 Les parallélogrammes 1 Parallélogramme introduction et construction. 1.1 Parallélogrammes. éfinition 1 le parallélogramme Un parallélogramme c est un quadrilatère non croisé qui a un centre de symétrie. xemple 1 Les figures suivantes sont elles des parallélogrammes? 1.2 onstruction. Tracer un parallélogramme grâce à ses côtés coller la feuille ici Tracer un parallélogramme grâce aux parallèles coller la feuille ici Tracer un parallélogramme grâce au centre de symétrie coller la feuille ici 2 Propriétés du parallélogramme. 2.1 Remarques sur les parallélogrammes Theorème 1 les longueurs ans un parallélogramme, les côtés opposés ont toujours la même longueur. 1

2 xemple 2 les longueurs sont égales Theorème 2 les parallèles ans un parallélogramme, les côtés opposés sont toujours parallèles. xemple 3 les cotés sont parallèles ()//() et ()//() ()//() et ()//() Theorème 3 le centre de symétrie ans un parallélogramme, les diagonales se coupent toujours en leur milieu. xemple 4 les diagonales se coupent en leur milieu J Theorème 4 les angles ans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux, et les angles consécutifs sont supplémentaires. 2

3 xemple 5 les angles du parallélogramme les angles Ĉ et ˆ sont supplémentaires les angles ˆ et Ĝ sont supplémentaires 2.2 Reconnaître un parallélogramme. Remarque 1 est-ce suffisant On a remarqué que dans tous les parallélogrammes, on a : 1. Les côtés opposés sont égaux. 2. Les côtés opposés sont parallèles. 3. Les diagonales se coupent en leur milieu. On peut se demander si ces propriétés ne sont valables que pour les parallélogrammes ou si elles peuvent être valables pour d autres figures. Theorème 5 les longueurs des côtés ans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux et ce n est valable que dans les parallélogrammes, si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés égaux, alors c est un parallélogramme, forcément. Theorème 6 les côtés parallèles ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et ce n est valable que dans les parallélogrammes, si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme, forcément. Theorème 7 les diagonales ans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu et ce n est valable que dans les parallélogrammes, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme forcément. xemple 6 les quadrilatères suivants sont ils des parallélogrammes? 3

4 3 Parallélogrammes particuliers. 3.1 Les losanges. éfinition 2 le losange Un losange c est un parallélogramme qui a tous ses côtés égaux. xemple 7 Voici deux losanges : Theorème 8 Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu (ce qui est normal puisque c est un parallélogramme) et sont perpendiculaires. est d ailleurs comme ça que l on peut reconnaître un losange si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires, alors c est un losange, forcément. xemple 8 les quadrilatères suivants sont ils des losanges? 3.2 Les rectangles. éfinition 3 le rectangle Un rectangle c est un parallélogramme qui a tous ses angles droits. 4

5 xemple 9 voici deux rectangles Theorème 9 Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu (ce qui est normal puisque c est un parallélogramme) et sont égales. est d ailleurs comme ça que l on peut reconnaître un rectangle si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont égales, alors c est un rectangle, forcément. xemple 10 Les quadrilatères suivants sont ils des rectangles? 3.3 Les carrés. éfinition 4 le carré Un carré c est un parallélogramme qui a tous ses côtés perpendiculaires et égaux. 5

6 xemple 11 voici deux carrés Theorème 10 Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu (ce qui est normal puisque c est un parallélogramme) sont perpendiculaires et sont égales. est d ailleurs comme ça que l on peut reconnaître un carré si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires, et se coupent en leur milieu, alors c est un carré, forcément. xemple 12 Les quadrilatères suivants sont ils des carrés? Remarque 2 On a vu les propriétés suivantes : 1. Un carré est un losange. n effet il a bien tous ses côtés égaux. 2. Un carré est un rectangle. n effet il a bien ses côtés perpendiculaires. 3. Un carré est un parallélogramme. 4. Un losange est un parallélogramme. 5. Un rectangle est un parallélogramme. 6. Un parallélogramme est un quadrilatère. 6

7 4 Récapitulatif. Theorème 11 ans la famille des parallélogrammes ils y a deux groupes : les losanges (qui ont des côtés égaux et des diagonales perpendiculaires) et les rectangles (qui ont des côtés perpendiculaires et des diagonales égales). ertains parallélogrammes sont des rectangles, certains sont des losanges, certains sont des rectangles et des losanges ( ce sont les carrés) d autres ne sont ni des rectangles ni des losanges. utrement dit les parallélogrammes les losanges les carrés les rectangles 7

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Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. ses côtés opposés. ses côtés opposés de. deux côtés opposés P1 P2 P3 P4 a a a a ses côtés opposés ses côtés opposés de deux côtés opposés ses diagonales qui se parallèles, alors c est même longueur alors parallèles et de même coupent en leur un c est un longueur

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