Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas particulier du champ newtonien

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1 Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas particulier du champ newtonien I. Force centrale 1. Définition Une force est centrale si son support passe par un point O fixe dans le référentiel d étude R galiléen. O est appelé centre de force. OM F = 0 La force F peut être attractive ou répulsive. La force F est donc colinéaire au vecteur u r des coordonnées sphériques centrées en O. La force F est conservative si son travail élémentaire peut s écrire sous la forme δw = F.d OM = de p 2. Exemples de forces centrales conservatives a) Interaction gravitationnelle On pose F = F O M = F M O F = Gm 0m u r 2 r G constante de gravitation : G = 6, m 3.kg 1.s 2 Le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques vaut d OM = dr u r +rdθ u θ +r sin θdϕ u ϕ F.d OM = Gm 0m u r 2 r.(dr u r + rdθ u θ + r sin θdϕ u ϕ ) = Gm 0m dr = de r 2 p de p dr = Gm 0m r 2 E p = Gm 0m r + Cte 1

2 L énergie potentielle ne dépend que de r : E p = E p (r). Si choisit E p = 0 à l infini alors Cte = 0 E p (r) = Gm 0m r avec E p ( ) = 0 b) Interaction électrostatique En procédant par analogie avec les calculs précédents On pose F = F O M = F M O F = 1 4πε 0 q 0 q r 2 u r ε 0 permittivité du vide : ε 0 = 8, F.m 1 G 1 4πε 0 m 0 m q 0 q E p (r) = 1 q 0 q 4πε 0 r avec E p ( ) = 0 c) Force élastique On pose F = F O M = F M O F = k(r ) u r k constante de raideur du ressort longueur à vide du ressort ( = l 0 ) F.d OM = k(r ) u r.(dr u r + rdθ u θ + r sin θdϕ u ϕ ) = k(r )dr = de p de p dr = k(r ) E p = 1 2 k(r ) 2 + Cte E p = 1 2 k(r ) 2 avec E p ( ) = 0 On retrouve bien E p = 1 2 (l l 0) 2 + Cte. 2

3 II. Propriétés générales d un mouvement à force centrale 1. Conservation du moment cinétique On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans un référentiel R galiléen dans un champ de force centrale de centre O fixe dans R. Le centre de force O étant fixe dans R, la loi du moment cinétique appliquée à M au point O s écrit ( ) d σo (M) dt R = M O ( F ) = OM F = 0 σ O (M) = Cte Le moment cinétique par rapport à O est une constante vectorielle du mouvement. Remarque : le cas particulier où σ O (M) = 0 correspond à un mouvement rectiligne : t OM v 2. Conséquences a) La trajectoire est plane On note σ O = σ O (M) Par définition σ O = { OM m v(m) OM σo avec les propriétés v(m) σ O Le mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à σ O passant par O b) Le mouvement suit la loi des aires En des temps égaux les aires balayées par le rayon vecteur OM sont égales. Démonstration : Le mouvement étant plan on choisit de repérer le point M par ses coordonnées polaires (r, θ). On choisit u z de manière à avoir σ O = σ O u z avec ( u r, u θ, u z ) base orthonormée directe. { OM = r ur v(m) = ṙ u r + r θ u θ σ O = OM m v(m) = mr u r (ṙ u r + r θ u θ ) σ O = mr 2 θ uz = σo u z On pose C = σ O m = r2 θ. C est appelée la constante aréolaire du mouvement. 3

4 La constante aréolaire étant constante, son signe est constant et donc le signe de θ aussi. On peut toujours choisir une orientation de manière à avoir θ > 0 et donc σ 0 > 0. Soit da l aire balayée par le rayon vecteur OM pendant le temps dt. da = 1 OM d OM = 1 OM vdt 2 2 da dt = OM v = 1 σ 0 2 m = 1 σ 0 2 m = C 2 da dt = C 2 La vitesse aréolaire est constante et vaut C 2. III. Conservation de l énergie mécanique : énergie potentielle effective On suppose que le point matériel M n est soumis à qu à une force centrale F conservative. On note E p (r) l énergie potentielle dont dérive la force F. 1. Énergie potentielle effective Au cours du mouvement de M dans le référentiel R galiléen d étude, la seule force qui travaille est la force F. Cette force est conservative, donc l énergie mécanique du point M dans R est conservée. E m = E c + E p = Cte Or E c = 1 2 mv2 avec v = ṙ u r + r θ u θ d où v 2 = ṙ 2 + r 2 θ2. On en déduit E m = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) + E p (r) On introduit alors la constante aréolaire du mouvement C = r 2 θ qui permet de remplacer θ par C r 2 E m = 1 ( ) 2 m ṙ 2 + r 2 C2 + E r 4 p (r) E m = 1 2 mṙ mc2 r 2 + E p(r) On pose E p,eff (r) = 1 2 mc2 r 2 + E p(r) énergie potentielle effective du mouvement. 4

5 La conservation de l énergie mécanique s exprime alors sous la forme : E m = 1 2 mṙ2 + E p,eff (r) = Cte 2. Étude qualitative du mouvement radial E m = 1 2 mṙ2 +E p,eff (r) }{{} 0 Le mouvement n est possible que dans les domaines où E m E p,eff. Lorsque E m = E p,eff, ṙ = 0 : ces positions correspondent à une valeur extrémale de r. Attention, la vitesse en ces points n est pas nulle car il reste la composante orthoradiale v = r θ u θ. Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment exploiter la courbe de E p,eff (r). IV. Cas particulier du champ de force newtonien 1. Champ de force newtonien Un point matériel M sera placé dans un champ de force newtonien s il subit une force de la forme (en coordonnées sphériques) : F = k r 2 u r interaction gravitationnelle : k = Gm 0 m interaction électrostatique : k = 1 4πε 0 q 0 q Lorsque k > 0 la force est attractive (gravitation, charges opposées) Lorsque k < 0 la force est répulsive (charges de même signe) Comme on l a montré précédemment les forces newtoniennes sont conservatives. F.d OM = k r 2 u r.(dr u r + rdθ u θ + r sin θdϕ u ϕ ) = k r 2 dr = de p Si choisit E p = 0 à l infini alors Cte = 0 de p dr = k r 2 E p = k r + Cte E p (r) = k r avec E p ( ) = 0 5

6 2. Approche énergétique : étude de l énergie potentielle effective On peut définir l énergie potentielle effective 1 er cas : force attractive (k > 0) E p,eff = 1 2 mc2 r 2 k r Pour r 0 E p,eff 1 2 m C2 r 2 Pour r E p,eff k r La courbe donnant E p,eff en fonction de r a l allure suivante : Em = 1 2 mṙ2 +Ep,eff(r) }{{} 0 Le mouvement n est possible que dans les domaines où la condition Em Ep,eff(r) est vérifiée. On doit donc avoir Em Em0 avec Em0 valeur minimale de Ep,eff(r). Les valeurs de r pour lesquelles Em = Ep,eff correspondent à ṙ = 0 et donc à des valeurs extrémales de r. Suivant les valeurs de l énergie mécanique, plusieurs type de trajectoires sont possibles : 6

7 E m = E m0 E m0 correspond au minimum de E p,eff r = = Cte le mouvement est circulaire C = r 2 θ = r 2 0 θ = Cte θ = cte si le mouvement est circulaire, il est uniforme. Le mouvement circulaire correspond à un état lié E m = E m1 avec E m0 < E m1 < 0 r min r r max le mouvement est borné radialement : il correspond à un état lié. La trajectoire est alors une ellipse. E m = E m2 avec E m2 > 0 r r 2 r peut tendre vers l infini : le mouvement correspond à un état de diffusion. La trajectoire est alors une parabole (E m = 0) ou une hyperbole (E m > 0) Dans le cas où E p ( ) = 0 on retiendra que { Em 0 état de diffusion E m < 0 état lié 2 eme cas : force répulsive k < 0 Pour r 0 E p,eff 1m C2 2 r 2 Pour r E p,eff k r La courbe donnant E p,eff en fonction de r a l allure suivante : On constate graphiquement que seuls des états de diffusions peuvent exister (trajectoires hyperboliques). 7

8 3. Lois de Kepler Ces lois décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler les a énoncées vers Il s est appuyé pour cela sur les observations très précises de l orbite de Mars effectuées par l astronome Tycho Brahé dont il avait été l assistant. Le référentiel d étude est le référentiel héliocentrique supposé galiléen. Rappel : planètes du système solaire dans l ordre de proximité par rapport au Soleil : Mercure<Vénus<Terre<Mars<Jupiter<Saturne<Uranus<Neptune Loi 1 : Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est l un des foyers. Loi 2 : La ligne qui relie le Soleil à une planète décrit pendant des temps égaux des aires égales. Loi 3 : Le rapport du cube du demi-grand axe a de l ellipse sur le carré de la période de révolution T est une constante indépendante de la planète. a 3 T 2 = Cte Ces lois furent démontrées plus tard par Newton. Pour cela on s appuie sur les hypothèses suivantes : Le Soleil et les planètes sont des astres sphériques. Dans ce cas, on peut assimiler chaque astre à une masse ponctuelle égale à la masse totale de l astre et placée en son centre. On suppose que l on peut négliger l interaction des autres astres que le Soleil sur une planète donnée. Le fait que le mouvement soit plan et qu il suive la loi des aires est une conséquence directe de la conservation du moment cinétique. La nature elliptique de la trajectoire ne sera pas établie dans le cadre de ce cours. Enfin, la troisième loi peut rapidement être retrouvée lors de l étude du mouvement circulaire a correspondant alors au rayon de la trajectoire (le calcul a déjà été fait dans le cours de Terminale). 8

9 Ces lois peuvent être transposées à l étude du mouvement de satellites terrestres : Pour les établir on doit se placer dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. La Terre, sphérique, est assimilable à un point matériel placé en son centre et de masse égale à la masse de la Terre. On ne tient compte que de l action gravitationnelle de la Terre sur le satellite en négligeant l action de tous les autres astres. Loi 1 : Les orbites des satellites sont des ellipses dont le centre de la Terre est l un des foyers. Loi 2 : La ligne qui relie le satellite au centre de la Terre décrit pendant des temps égaux des aires égales. Loi 3 : Le rapport du cube du demi-grand axe a de l ellipse sur le carré de la période de révolution T est une constante indépendante du satellite. a 3 T 2 = Cte 9

10 4. Cas particulier du mouvement circulaire a) Vitesse circulaire On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans le champ gravitationnel créé par un astre sphérique de masse M A de centre O. Cet astre étant sphérique, il créée en M le même champ gravitationnel qu une masse ponctuelle de masse M A placée en O. Cela peut correspondre à différentes situations : soit M correspond au centre d une planète en orbite autour du Soleil : m correspond à la masse de la planète, M A = M S masse du Soleil et le référentiel d étude galiléen est le référentiel héliocentrique. soit M correspond au centre de masse d un satellite en orbite autour de la Terre. m est alors la masse du satellite et M A = M T masse de la Terre. Le référentiel d étude est le référentiel géocentrique. soit M représente un satellite en orbite autour d une planète (exemple : Io autour de Jupiter). m représente la masse du satellite, M A la masse de la planète autour de laquelle il gravite. On se place dans le référentiel planétocentrique (ex : Jupiterocentrique) centrée au centre de la planète et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel héliocentrique. Si le mouvement est circulaire alors il est uniforme. Démonstration 1 : par la constante des aires On a montré que C = r 2 θ = Cte était une constante du mouvement. Pour une trajectoire circulaire de rayon r = : C = r 2 0 θ = Cte d où θ = cte la vitesse angulaire du mouvement est constante et donc la vitesse linéaire l est aussi v = θ = v0 Démonstration 2 : par la conservation de l énergie mécanique E m = 1 2 mv2 k r = Cte Dans le cas de l interaction entre un astre de masse M A et un point de masse m, k = GM A m, et pour une trajectoire circulaire r =. on en déduit E m = 1 2 mv2 GM Am = Cte 1 2 mv2 = Cte + GM Am = cte = 1 2 mv2 0 10

11 L énergie cinétique est constante, le mouvement est uniforme ( v = v 0 ). La vitesse v 0 est appelée vitesse circulaire. Démonstration 3 : Calcul de la vitesse circulaire Nous allons calculer la vitesse circulaire et vérifier que la valeur trouvée est constante. On considère le point M en orbite circulaire de rayon OM = u r v(m) = θ uθ = v u θ avec v = θ a(m) = θ uθ r θ2 0 u r = dv u dt θ v2 u r D après le principe fondamental de la dynamique : ( ) dv m a(m) = m dt u θ v2 u r = GM Am u r0 2 r Le principe fondamental de la dynamique projeté sur u θ redonne bien dv dt est uniforme v = v 0 ce qu on retrouve également en projetant le PFD sur u r = 0 le mouvement m v2 = GM A m r 2 0 v 2 = GM A = v 2 0 v 0 = GMA On montre ainsi que la vitesse est constante et qu elle dépend de la masse de l astre central et du rayon de l orbite. 1 On peut alors retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas particulier d un mouvement circulaire. Le mouvement étant uniforme la période T de révolution est reliée à la vitesse circulaire v 0 par En élevant au carré v 0 = 2π T v 2 0 = 4π2 r 2 0 T 2 = GM A 1. On peut calculer également la vitesse angulaire θ = v0 = GMa = 2π r0 3 T 11

12 ce qui permet d aboutir à r0 3 T = GM A 2 4π 2 En admettant la généralisation du résultat aux orbites elliptiques on aura pour les planètes a en orbite autour du Soleil 3 = GM T 2 S 2 et pour les satellites en orbite autour de la Terre 4π 2 a 3 = GM T 2 T. 4π 2 b) Énergie du mouvement circulaire E m = E c + E p = 1 2 mv2 0 k = 1 2 mgm A GM Am = GM Am 2 On remarque la relation importante suivante pour le mouvement circulaire on peut alors écrire E c = 1 2 mgm A = E p 2 E m = E c = E p 2 Discuter de l effet des frottements sur la vitesse du satellite (cf TD). c) Calcul à partir de l énergie potentielle effective On peut retrouver l expression de la vitesse circulaire et de l énergie mécanique associée en considérant l énergie potentielle effective. Pour que le mouvement soit circulaire de rayon, doit correspondre à la position du minimum de la courbe de E p,eff = 1 2 mc2 r 2 On calcule la dérivée de p,eff dr = m C2 r 3 GM Am. r + GM Am r 2. Elle s annule au minimum en r =. m C2 r 3 0 = GM A m r 2 0 or C = r 2 0 θ = v 0, d où C 2 = GM A r 2 0v 2 0 = GM A v 2 0 = GM A On retrouve l expression de la vitesse circulaire. 2. Dans ce cas, il peut être intéressant de compter les longueurs en UA unité astronomique, égale au rayon de l orbite de la Terre autour du Soleil (1 UA= 1, m), et T en année. 12

13 De plus, l énergie mécanique correspond à E m0 valeur minimale de E p,eff. Ainsi : E m = E p,eff ( ) = 1 2 mc2 GM Am = 1 r0 2 2 mgm A GM Am = GM Am r0 2 2 On retrouve l expression de l énergie pour une orbite circulaire. 5. Quelques notions sur les satellites terrestre a) Généralités Première phase : propulsée Seconde phase : balistique (celle que l on étudie ici) b) Vitesses cosmiques Vitesse circulaire : Pour obtenir une orbite circulaire, il faut que l injection sur orbite se fasse perpendiculairement au vecteur position et que la vitesse communiquée au satellite soit égale à la vitesse circulaire. D après le calcul fait précédemment GMT GMT v 0 = = R T + h avec R T rayon de la Terre et h altitude du satellite. Pour une orbite basse h R T ( R T 6400 km) on aura v 0 GM T R T. Remarque : Pour calculer cette vitesse on utilise parfois la valeur de l accélération de la pesanteur au niveau du sol g = 9, 8 m.s 2. Si on ne conserve que deux chiffres significatifs 3, alors on peut considérer que g est uniquement lié à l attraction gravitationnelle terrestre En identifiant les deux expressions équivalentes de la force gravitationnelle s exerçant sur une masse m placée à la surface de la Terre on trouve et donc, en prenant la norme m g = GmM T R 2 T g = GM T R 2 T u r u r g = GM T RT 2 ainsi GM T = grt 2. Si on reporte dans l expression de v 0 orbite basse : grt 2 v 0 = = gr T R T 3. la valeur de g à trois chiffres significatifs, tient compte des effets dûs à la rotation de la Terre et à la non sphéricité de la Terre. Pour ces raisons g varie de 9, 78 m.s 2 sur l équateur à 9, 83 m.s 2 aux pôles 13

14 en prenant R T = 6, km on trouve v 0 8 km.s 1. La vitesse circulaire en orbite basse vaut 8 km.s 1 14

15 Vitesse de libération C est la vitesse minimale à fournir au satellite pour qu il échappe à l attraction gravitationnelle terrestre. Notons v l cette vitesse. On suppose qu initialement la distance entre M et le centre de la Terre est égale à. On souhaite que le satellite atteigne l infini avec au moins une vitesse nulle. À la limite E m = 0 (si on a choisi E p = 0 à l infini). On a vu que c était l énergie minimale pour avoir un état de diffusion. E m = 1 2 mv2 l GM T m = 0 v 2 l = 2 GM T = 2 v 2 0 v l = 2 v 0 où v 0 correspond à la vitesse circulaire pour une orbite de rayon. Pour une orbite basse la vitesse de libération est de l ordre de 11 km.s 1. La vitesse de libération en orbite basse vaut 11 km.s 1 Remarque : pour E m = 0, la trajectoire est parabolique. c) Satellite géostationnaire Un satellite est dit géostationnaire lorsqu il est immobile dans tout référentiel lié à la Terre (référentiel terrestre). Cela concerne par exemple, les satellites de télécommunication, ou d observation terrestre (comme météosat). Ce satellite reste toujours à la verticale d un même point de la Terre. lowres/popup.html html Première contrainte : la période du satellite doit être égale à celle de rotation de la Terre sur elle même dans le référentiel géocentrique (jour sidéral T sid, légèrement plus court que le jour solaire T sol ) 4. Cette contrainte impose l altitude. Cependant le plan de l orbite contient le centre de la Terre. Pour que le satellite reste à la verticale d un même point il doit impérativement se situer dans le plan équatorial. (Remarque : montrer la trajectoire relative du satellite dans le cas où sa période est correcte mais où il n est pas situé dans le plan équatorial, voir deuxième site). 4. Par définition T sol = 24 h, on a T sid = 365,25 366,25 T sol = 23 h 56 min 4 s 15

16 Calcul de l altitude On peut utiliser la troisième loi de Kepler (R T + h) 3 T 2 = GM T 4π 2 ( ) GMT T h = RT = 35, km 4π 2 où on a pris les valeurs numériques : constante géocentrique : GM T = 398, km 3.s 2. durée d un jour sidéral T sid = s rayon de la Terre R T = 6, km On retiendra l ordre de grandeur de km (valeur à deux chiffres significatifs). L altitude d un satellite géostationnaire est d environ km 16

17 d) Trajectoire elliptique α) Description 2a = r min + r max : grand axe de l ellipse P périastre : point le plus proche de O (périgée pour un satellite terrestre, périhélie pour une planète ou une comète). A apoastre : point le plus éloigné de O (apogée pour un satellite terrestre, aphélie pour une planète ou une comète). Ces deux positions correspondent aux extrema de r. On a donc ṙ = 0 pour r = r min et r = r max. En A et P, v = r θ u θ, A et P sont les deux points de la trajectoire où la vitesse en orthoradiale. v A OA et v P OP Conservation du moment cinétique : on exprime le moment cinétique en A et P : σ 0 = OP m v p = OA m v A OP v p = OA v A r min u x v P u y = r max ( u x ) v A ( u y ) r min v P u z = r max v A u z r min v P = r max v A Le périgée correspond au point de vitesse maximale et l apogée au point de vitesse minimale. 17

18 β) Énergie d une trajectoire elliptique Reprenons l expression de l énergie mécanique E m = 1 2 mṙ mc2 + E p(r) avec C la constante aréolaire du mouvement et, pour un satellite de masse m en orbite autour de la Terre, E p = GM T m. r E m = 1 2 mṙ mc2 r GM T m 2 r r 2 Pour chaque valeur extrémale de r (r = r min et r = r max ) ṙ = 0. Ainsi r min et r max sont racines de l équation E m = 1 2 mc2 r GM T m 2 r que l on peut transformer pour faire apparaître un trinôme en multipliant chaque membre par r 2 : E m r 2 = 1 2 mc2 GM T mr r 2 + GM T m r 1 mc 2 = 0 E m 2 E m r 2 + GM T m r 1 mc 2 = 0 = (r r max )(r r min ) E m 2 E m = r 2 (r max + r min ) + r max r min On en déduit, par identification, r min + r max = GM T m E m Or r min + r max = 2a représente la longueur du grand axe de l ellipse (a correspondant au demi-grand axe). D où E m = GM T m 2a qui correspond à la généralisation de la valeur obtenue pour l orbite circulaire : on remplace le diamètre de l orbite circulaire par le grand axe de l ellipse. 18

19 e) Mise sur orbite La vitesse initiale de mise sur orbite est choisie perpendiculaire au rayon vecteur fait varier sa norme v. 4 OM 0. On v =v l 3 v >v l v 0 <v <v l 2 v =v 0 v <v0 1 O M 0 r/ On note v 0 la vitesse circulaire associée à = OM 0, et v l = 2v 0 la vitesse de libération. pou < v < v 0 la trajectoire est elliptique de foyer O. M 0 est l apoastre. pour v = v 0 la trajectoire est circulaire. pour v 0 < v < v l la trajectoire est elliptique de foyer O. M 0 est le périastre. pour v = v l la trajectoire n est plus bornée : c est une parabole de foyer O. pour v > v l la trajectoire est une hyperbole de foyer O. 19

20 Annexe : Jour solaire - jour sidéral Le jour solaire est la durée séparant deux passages successifs du soleil au même méridien. Le jour sidéral représente la période de révolution de la Terre par rapport au référentiel de Copernic. On note T sol la durée d un jour solaire et T sid la durée d un jour sidéral. En un jour solaire, la Terre a effectué un peu plus d un tour sur elle même. Elle a tourné d un angle 2π + α où α correspond à l angle parcouru en un jour solaire par la Terre sur son orbite autour du soleil. Or elle parcourt toute l orbite en 1 année, soit 365,25 jours solaires (on tient compte des années bissextiles). Ainsi On peut alors écrire d où α = 2π 365, 25 2π T sol = 2π + α = 2π + 2π T sid 365, 25 T sid = 365, , 25 T sol = 2π 366, , 25 Par définition, T sol = 24h = s. On a alors T sid = s, soit 23h 56min 4s. voir également le site : 20