Espérance, variance ; loi faible des grands nombres

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1 49 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Pour ce chapitre, (Ω, B, P) est un espace probabilisé et X une variable aléatoire à valeurs réelles positives (i. e. une application de Ω dans R + telle que X 1 (], x]) B pour tout réel x). On note V R (Ω, B, P) l'espace vectoriel des variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P). On rappelle qu'une variable aléatoire X est dite discrète si X (Ω) est dénombrable et si X 1 ({x}) B pour tout réel x. Dans le cas où X (Ω) est ni, on dit que X est étagée. Si A 1,, A n sont des éléments de B et λ 1,, λ n des réels, alors X variable aléatoire étagée sur (Ω, P (Ω), P) (χ A est la fonction caractéristique de A). Réciproquement, si X est étagée avec X (Ω) {λ 1,, λ n }, on a alors X n λ χ A n est une λ χ A A (X x ) pour tout compris entre 1 et n, ces événement A formant une partition de Ω Espérance des variables aléatoires réelles positives L'application t P (X > t) 1 P (X t) 1 F X (t) est décroissante à valeurs dans [, 1]. Elle est donc Riemann-intégrable sur tout segment [, x] avec x > et la fonction x x P (X > t) dt qui est croissante admet une limite, éventuellement égale à +, quand x tend vers +. On peut donc donner la dénition suivante. Dénition 49.1 Si X est à une variable aléatoire à valeurs réelles positives, l'espérance de X est l'élément de R + [, + ] déni par : E (X) P (X > t) dt où on a : Avec : x P (X > t) 1 F X (t) P (X > t) dt x x F X (t) dt 1255

2 1256 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Dans le cas où X est majorée, il existe un réel a > tel que X (ω) a pour tout ω Ω, donc P (X > t) pour tout t > a E (X) a P (X > t) dt a Exercice 49.1 Calculer E (λχ A ) pour tout élément A de B et tout réel positif λ. Solution 49.1 En notant X λχ A, on a : donc : ce qui donne : ω Ω, X (ω) { λ si ω A si ω / A t, (X > t) {ω Ω X (ω) > t} t, P (X > t) E (X) λ { si t λ P (A) si t < λ P (X > t) dt λp (A) { si t λ A si t < λ Dans le cas particulier où X est constante positive (i. e. X λχ Ω ) on a E (X) λ. Exercice 49.2 Montrer que si X est une variable aléatoire positive et λ un réel strictement positif, on a alors E (λx) λe (X). Que se passe-t-il pour λ? Solution 49.2 La variable aléatoire λx est positive ( E (λx) P (λx > t) dt P X > t ) dt λ Cette formule est valable pour λ, si E (X) est ni. P (X > u) λdu λe (X) Exercice 49.3 Montrer qu'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ admet une espérance et calculer cette dernière. Solution 49.3 Si X E (λ), on a alors : t, P (X > t) 1 F X (t) { e λt si t 1 si t < E (X) e λt dt 1 λ Exercice 49.4 Montrer que pour toute variable aléatoire positive X, on a : E (X) P (X t) dt

3 Espérance des variables aléatoires réelles positives 1257 Solution 49.4 Comme, pour tout réel positif t, on a (X > t) (X t), on déduit que P (X > t) P (X t) et E (X) P (X t) dt. Pour tout réel ε >, le changement de variable t u + ε, nous donne : P (X t) dt ε ε + ε P (X u + ε) du P (X u + ε) du + P (X > u) du P (X u + ε) du (pour u [ ε, ], on a P (X u + ε) 1 et pour u, (X u + ε) (X > u)) et en conséquence P (X t) dt P (X > u) du E (X). Lemme 49.1 Une variable aléatoire réelle étagée sur (Ω, B, P) telle que X (Ω) {x 1,, x n } R + admet une espérance n E (X) x P (X x ) Démonstration. On peut supposer que x 1 < x 2 < < x n et on note p P (X x ) pour tout compris entre 1 et n. On a : si t < x 1 F X (t) p i si t [x, x +1 [ i1 1 si t [x n, + [ donc : x1 1 si t < x 1 P (X > t) 1 F X (t) 1 p i si t [x, x +1 [ i1 si t [x n, + [ x2 xn E (X) P (X > t) dt + P (X > t) dt + + P (X > t) dt + x 1 x n 1 x2 ( ) xn n 1 x 1 + (1 p 1 ) dt p i dt x 1 x n 1 i1 ( ) n 1 x 1 + (1 p 1 ) (x 2 x 1 ) p i (x n x n 1 ) i1 x n P (X > t) dt soit : ( ) n 1 E (X) x 1 + (1 p 1 ) (x 2 x 1 ) + (1 p 1 p 2 ) (x 3 x 2 ) p i (x n x n 1 ) x 1 (1 (1 p 1 )) + x 2 ((1 p 1 ) (1 p 1 p 2 )) + x n 1 ((1 p 1 p n 2 ) (1 p 1 p n 1 )) + x n (1 p 1 p n 1 ) p 1 x 1 + p 2 x p n 1 x n 1 + p n x n i1

4 1258 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres puisque p p n 1 + p n 1. Exercice 49.5 Calculer E (X) pour X suivant une loi uniforme discrète, une loi de Bernoulli, une loi binomiale. Solution 49.5 Si X U ({1,, n}), alors : Si X B (p), alors : E (X) n E (X) p n n Si X B (n, p), alors en tenant compte de C n nc 1 n 1 pour 1 n, on a : E (X) n Cnp (1 p) n np n 1 n C 1 n 1p 1 (1 p) n 1 ( 1) np Cn 1p j j (1 p) n 1 j np (p + 1 p) n 1 np. j Lemme 49.2 Si X, Y sont deux variables aléatoires réelles étagées positives sur (Ω, B, P) et λ un réel strictement positif, on a alors : E (λx + Y ) λe (X) + E (Y ) Démonstration. Soit Z λx + Y. Pour tout z Z (Ω), on note : I z {(x, y) X (Ω) Y (Ω) λx + y z} C'est un ensemble ni puisque contenu dans X (Ω) Y (Ω) qui est ni. Pour tout z Z (Ω), on a la partition : (Z z) (x,y) I z (X x) (Y y) donc : E (Z) z Z(Ω) P (Z z) zp (Z z) z Z(Ω) (x,y) I z P ((X x) (Y y)) z (x,y) I z P ((X x) (Y y)) zp ((X x) (Y y)) z Z(Ω) (x,y) I z (λx + y) P ((X x) (Y y)) z Z(Ω) (x,y) I z (λx + y) P ((X x) (Y y)) (x,y) X(Ω) Y (Ω) λ x X(Ω) x y Y (Ω) P ((X x) (Y y)) + y Y (Ω) y x X(Ω) P ((X x) (Y y))

5 Espérance des variables aléatoires réelles positives 1259 avec : P ((X x) (Y y)) P (X x) (Y y) y Y (Ω) y Y (Ω) P ((X x)) puisque ((Y y)) y Y (Ω) est un système complet d'événements P ((X x) (Y y)) P (X x) (Y y) x X(Ω) x X(Ω) P ((Y y)) puisque ((X x)) x X(Ω) est un système complet d'événements. Ce qui nous donne : E (Z) λ xp ((X x)) + yp ((Y y)) x X(Ω) y Y (Ω) λe (X) + E (Y ). Dénition 49.2 On dit qu'une suite (X n ) n N de variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P) converge vers une variable aléatoire réelle X sur (Ω, B, P) si pour tout ω Ω, la suite réelle (X n (ω)) n N converge vers X (ω) (ce qui revient à dire que la suite de fonctions (X n ) n N converge simplement vers X sur Ω). Théorème 49.1 Une variable aléatoire réelle positive sur (Ω, B, P) est limite d'une suite croissante de variables aléatoires réelles étagées positives. Démonstration. Soit X une variable aléatoire réelle positive sur (Ω, B, P) et (X n ) n N suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P) dénie par : la où : A n, X n n2 n 1 χ A n, ( 2 X < + 1 ) B n Chaque X n est une variable aléatoire réelle étagée positive. Pour ω Ω et n > X (ω), il existe un unique entier {,, n 1} tel que : 2 X (ω) < + 1 n (pour X (ω) < n, on a X (ω) < n, donc [ X (ω)] n 1 et X (ω) < + 1), ce qui signie qu'il existe un unique entier {,, n 1} tel que ω A n,, donc X n (ω) X (ω) X n (ω) < 1

6 126 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres La suite (X n ) n N converge donc simplement vers X. Il reste à montrer que (X n ) n N est croissante. Pour ω Ω et n 1, on a deux possibilités. Soit X (ω) < n et alors X n (ω) 2 où n [2n X (ω)], c'est-à-dire que 2 X (ω) < + 1 n 2 n X n+1 (ω) 2 si n X (ω) < n 2n n+1 si X (ω) < qui donne dans tous les cas X n (ω) X n+1 (ω). Soit X (ω) n et alors X (ω) / A n, pour n 1 puisque X (ω) n + 1, ce qui donne X n (ω) X n+1 (ω). Lemme 49.3 Si X, Y sont deux variables aléatoires réelles positives sur (Ω, B, P) telles que X Y, on a alors E (X) E (Y ) (l'espérance est croissante). Démonstration. Si X Y, on a alors (X > t) (Y > t) pour tout réel t, donc P (X > t) P (Y > t) E (X) P (X > t) dt P (Y > t) dt E (Y ). Théorème 49.2 (Beppo-Levi) Si (X n ) n N est une suite croissante de variables aléatoires réelles positives sur (Ω, B, P) qui converge vers une variable aléatoire réelle X sur (Ω, B, P), on a alors : E (X) lim E (X n) dans R +. Démonstration. Avec X n X n+1 X ((X n ) n N converge en croissant vers X), on déduit que E (X n ) E (X n+1 ) E (X), donc (E (X n )) n N est croissante dans R +, elle est donc convergente (éventuellement vers + ) et lim E (X n) E (X). D'autre part, pour tout réel t >, la suite ((X n > t)) n N est croissante (X > t) n N (X n > t) (X n (ω) > t pour un entier n entraîne X (ω) lim entraîne X n (ω) > t pour n grand), ce qui donne : donc pour tout m 1 : et E (X) lim E (X n). m P (X > t) P (X > t) dt m + m n lim P (X n > t) m lim X m (ω) X n (ω) > t et X (ω) > t lim P (X n > t) dt m lim E (X n) P (X n > t) dt

7 Espérance des variables aléatoires réelles 1261 m Remarque 49.1 L'égalité lim P (X n > t) dt lim P (X n > t) dt est justiée par le théorème de convergence monotone qui nous dit que : si (f n ) n N est une suite croissante de fonctions de I [, m] dans R + telle que pour tout n N la fonction f n est continue par morceaux et lim f n f avec f est continue par morceaux, alors f (x) dx lim f n (x) dx. Théorème 49.3 Si X, Y sont deux variables aléatoires réelles positives sur (Ω, B, P) et λ un réel positif, on a alors : E (λx + Y ) λe (X) + E (Y ) Démonstration. En désignant respectivement par (X n ) n N et (Y n ) n N deux suites croissantes de variables aléatoires réelles positives et étagées sur (Ω, B, P) qui convergent vers X et Y respectivement, la suite (λx n + Y n ) n N est étagée positive, converge en croissant vers λx +Y et on a : m E (λx + Y ) lim E (λx n + Y n ) lim λe (X n) + E (Y n ) λe (X) + E (Y ) I I 49.2 Espérance des variables aléatoires réelles Pour toute variable aléatoire X sur (Ω, B, P), on désigne par X + et X les variables aléatoires sur (Ω, B, P) dénies par : X + max (X, ) 1 2 (X + X ) et X max ( X, ) 1 ( X X) min (X, ) 2 On peut remarquer que : X X + X et X X + + X Dénition 49.3 On dit qu'une variable aléatoire X sur (Ω, B, P) est intégrable si E (X + ) < + et E (X ) < +. On note L 1 R (Ω, B, P) l'ensemble des variables aléatoires intégrables sur (Ω, B, P). Dénition 49.4 Si X est une variable aléatoire sur (Ω, B, P) qui est intégrable, son espérance est le réel : E (X) E ( X +) E ( X ) Théorème 49.4 Une variable aléatoire X sur (Ω, B, P) est intégrable si, et seulement si E ( X ) < + et dans ce cas, on a : E (X) (1 F X (t)) dt F X ( t) dt

8 1262 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Démonstration. Supposons X intégrable. Avec X X + + X, on déduit que E ( X ) E (X + ) + E (X ) < + (théorème 49.3). Réciproquement si E ( X ) < +, avec X ± X, on déduit que E (X ± ) E ( X ) < + et X est intégrable. Pour X intégrable, on a : E (X) E ( X +) E ( X ) P ( X + > t ) dt avec : ( X + > t ) (max (X, ) > t) (X > t) P ( X > t ) dt ( X > t ) (max ( X, ) > t) (X < t) ce qui donne : E (X) P (X > t) dt P (X < t) dt (1 F X (t)) dt F X ( t) dt Exercice 49.6 Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, B, P). Montrer que si X Y avec Y intégrable, alors X est intégrable. Solution 49.6 Si X Y avec Y intégrable, on a alors E ( X ) E ( Y ) < + et X est intégrable. Théorème 49.5 L'ensemble L 1 R (Ω, B, P) des variables aléatoires intégrables sur (Ω, B, P) est un sous-espace vectoriel de l'espace V R (Ω, B, P) des variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P) et l'application : E : L 1 R (Ω, B, P) R X E (X) est une forme linéaire. Démonstration. On a E () E (χ ) P ( ). Donc L 1 R (Ω, B, P). Pour λ R et X, Y dans L 1 R (Ω, B, P), on a : avec : λx + Y λ X + Y E ( λ X + Y ) λ E ( X ) + E ( Y ) < + (théorème 49.3), donc E ( λx + Y ) < + et λx + Y L 1 R (Ω, B, P). Il en résulte que L 1 R (Ω, B, P) est un sous-espace vectoriel de V R (Ω, B, P). Pour X, Y dans L 1 R (Ω, B, P), on a : X + Y (X + Y ) + (X + Y ) ( X + X ) + ( Y + Y ) donc : (X + Y ) + + X + Y (X + Y ) + X + + Y + E ( (X + Y ) +) + E ( X ) + E ( Y ) E ( (X + Y ) ) + E ( X +) + E ( Y +)

9 Espérance des variables aléatoires réelles discrètes 1263 ce qui donne : E ( (X + Y ) +) E ( (X + Y ) ) E ( X +) E ( X ) + E ( Y +) E ( Y ) soit : E (X + Y ) E (X) + E (Y ) Pour X dans L 1 R (Ω, B, P) et λ R+, on a : (λx) + λ 2 (X + X ) λx+ et (λx) λ ( X X) λx 2 donc : E (λx) E ( (λx) +) E ( (λx) ) E ( λx +) E ( λx ) λ ( E ( X +) E ( X )) λe (X) Pour λ R, on a : avec λ >, donc : (λx) + λ 2 (X X ) λx et (λx) λ ( X X) λx+ 2 E (λx) E ( (λx) +) E ( (λx) ) E ( λx ) E ( λx +) λ ( E ( X +) E ( X )) λe (X) Pour λ c'est clair. En particulier, pour X L 1 R (Ω, B, P) et a, b réels, on a : E (ax + b) ae (X) + b 49.3 Espérance des variables aléatoires réelles discrètes Exercice 49.7 Calculer E (X) pour X n λ χ A, où les A sont dans B et les λ réels. Solution 49.7 On a : E (X) n λ E (χ A ) n λ P (A ) (exercice 49.1). Dans le cas particulier où X est une variable aléatoire constante, on X λχ Ω et E (X) λp (Ω) λ. Lemme 49.4 Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω), P) avec X (Ω) {x i i I} où I est une partie de N. Pour toute application f de R dans R, on a : f X i I f (x i ) χ X 1 ({x i })

10 1264 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Démonstration. Pour tout ω Ω, il existe un indice I tel que X (ω) x f (x i ) χ X 1 ({x i }) (ω) f (x ) f X (ω) i I du fait que χ X 1 ({x i }) (ω) pour i (dans ce cas X (ω) x x i et ω / X 1 (x i )) et χ X 1 ({x }) (ω) 1. Pour f (x) x r où r est un entier naturel non nul, on a : X r i I x r i χ X 1 ({x i }) Dans le cas où X (Ω) {x 1,, x n } est ni, on en déduit que : E (X r ) n x r i E ( ) n χ X 1 ({x i }) x r i P (X x i ) i1 i1 Ce réel E (X r ) est appelé moment d'ordre r de la variable aléatoire étagée X. Pour r 1, on a l'espérance : n E (X) x i P (X x i ) i1 Théorème 49.6 Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω), P) avec X (Ω) {x i i I} où I est une partie de N. Pour toute application f de R dans R +, on a dans R + : E (f X) i I f (x i ) P (X x i ) Démonstration. Dans le cas où X (Ω) {x 1,, x n } est ni, on a : f X n f (x i ) χ X 1 ({x i }) i1 et avec la linéarité de l'espérance, on déduit que : E (f X) n f (x i ) E ( ) χ X 1 ({x i }) f (x i ) P (X x i ). i1 Si X (Ω) {x i ; i N} est inni dénombrable, la suite de variables aléatoires (X n ) n N dénie par : n X n f (x i ) χ X 1 ({x i }) i est croissante (f est à valeurs positives) et converge vers f X (pour ω Ω, il existe un entier m tel que X (ω) x m et pour n m, on a X n (ω) f (x m ) f X (ω)), donc le théorème de Beppo-Levi nous dit que : E (f X) lim E (X n) + lim i I n f (x i ) P (X x i ) i n f (x n ) P (X x n ) i I f (x i ) P (X x i )

11 Espérance des variables aléatoires réelles discrètes 1265 Pour f (x) x, on a : E ( X ) i I x i P (X x i ) dans R + et dire que X admet une espérance signie que cette série est convergente, ce qui revient à dire que la série i I x i P (X x i ) est absolument convergente. Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω), P) qui admet une espérance, la variable aléatoire X E (X) est la variable centrée associée à X et le réel, quand il existe : E ( (X E (X)) 2) i I (x i E (X)) 2 P (X x i ) est la variance de X. À toute fonction f : R R, on associe les fonctions f + et f dénies par : f + max (f, ) 1 2 (f + f ) et f min (f, ) max ( f, ) 1 ( f f) 2 Ces fonctions sont à valeurs positives. Lemme 49.5 Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω), P) avec X (Ω) {x i i I} où I est une partie de N et f une fonction de R dans R, on a alors dans R + : E ( f + X ) f (x i ) P (X x i ) i I f(x i ) E ( f X ) i I f(x i ) E ( f X ) i I f (x i ) P (X x i ) f (x i ) P (X x i ) Démonstration. Comme f + est à valeurs positives et X discrète, on a : E ( f + X ) f + (x i ) P (X x i ) f (x i ) P (X x i ) i I i I f(x i ) et même chose pour f. Avec : (f X) (f X + f X ) 1 2 (f + f ) X f + X on déduit que : (f X) 1 2 ( f X f X) 1 2 ( f f) X f X E ( f X ) E ( (f X) + + (f X) ) E ( f + X + f X ) E ( f + X ) + E ( f X ) f (x i ) P (X x i ) f (x i ) P (X x i ) i I i I f(x i ) f(x i ) i I f (x i ) P (X x i )

12 1266 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Théorème 49.7 (de transfert) Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω), P) avec X (Ω) {x i i I} où I est une partie de N et f une fonction de R dans R telle que f X soit intégrable, on a alors : E (f X) i I f (x i ) P (X x i ) Démonstration. En utilisant la démonstration du théorème précédent, on a : E (f X) E ( (f X) + (f X) ) E ( f + X f X ) E ( f + X ) E ( f X ) i I f(x i ) i I f (x i ) P (X x i ) + f (x i ) P (X x i ) f (x i ) P (X x i ) i I f(x i ) En particulier, pour f (x) x, on en déduit que si X est une variable aléatoire réelle discrète intégrable sur (Ω, P (Ω), P) avec X (Ω) {x i i I} où I est une partie de N, on a alors : E (X) i I x i P (X x i ) cette série étant absolument convergente dans le cas où l'ensemble dénombrable I est inni. On peut remarquer que : E (X) E ( X ) Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, c'est ainsi que l'on dénit usuellement l'espérance et c'est nalement cette dénition que l'on peut retenir. On peut retrouver les propriétés de l'espérance (positivité, linéarité) dans le cas discret à partir de cette dénition. On peut interpréter cette formule en disant que l'espérance de X est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités de réalisation. Exercice 49.8 Calculer E (X) pour X suivant une loi géométrique, une loi de Poisson. Solution 49.8 Si X G (p) avec p ], 1[, on a alors : avec : + E (X) p + ( + ) x 1 x pour tout réel x ], 1[, ce qui nous donne : (1 p) 1 E (X) p p 2 1 p. ( ) 1 1 x 1 (1 x) 2 Si X P (λ), alors : E (X) e λ + + λ! λ j e λ λ j! λ. j

13 Espérance des variables aléatoires à densité Espérance des variables aléatoires à densité Lemme 49.6 Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω), P) possédant une densité f, on a alors : E ( X +) tf (t) dt, E ( X ) E ( X ) t f (t) dt tf (t) dt Démonstration. La suite (X n ) n N de variables aléatoires réelles étagées positives dénie par : où : A n, X n n2 n 1 χ A n, ( 2 X < + 1 ) n converge en croissant vers X + (voir la démonstration du théorème 49.1). Le théorème de Beppo-Levi nous dit alors que E (X + ) lim E (X n) avec : E (X n ) n2 n 1 n 1 n 1 ( 2 P n 2 X < + 1 n ( ( + 1 F X +1 On peut alors écrire que : n tf (t) dt E (X n ) et tenant compte de : on déduit que : E ( X +) n n f (t) dt n 1 n n2n 1 f (t) dt ) ) F X ( )) (t 2 ) f (t) dt n (t 2 ) f (t) dt n +1 f (t) dt 1 tf (t) dt E (X n ) 1 lim E (X n) lim n f (t) dt 1 tf (t) dt n f (t) dt tf (t) dt

14 1268 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres De manière analogue, on vérie que la suite (Y n ) n N de variables aléatoires réelles étagées positives dénie par : où : B n, Y n converge en croissant vers X et E (X ) n ce qui donne E (X ) Enn : E (Y n ) n2 n 1 χ B n, ( + 1 < X ) lim E (Y n) avec : n2 n 1 n2n 1 tf (t) dt E (Y n ) tf (t) dt. f (t) dt E ( X ) E ( X +) + E ( X ) ( t ) f (t) dt 1 t f (t) dt Théorème 49.8 Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω), P) possédant une densité f et intégrable, on a alors : E (X) tf (t) dt Démonstration. En reprenant la démonstration du théorème précédent, on a pour X possédant une densité f et intégrable : E (X) E ( X +) E ( X ) tf (t) dt On retiendra en dénitive qu'une variable aléatoire continue de densité f admet une espérance si tf (t) dt est convergente et dans ce cas la valeur de cette intégrale est l'espérance de X. On remarquera que la fonction t tf (t) étant de signe constant sur R et sur R + respectivement, la convergence de l'intégrale tf (t) dt est équivalente à l'absolue convergence. Exemple 49.1 On dit qu'une variable aléatoire continue X suit une loi de Cauchy si elle admet pour fonction de densité la fonction : f : x 1 π(1 + x 2 ). Une telle variable aléatoire n'a pas d'espérance puisque t dt est divergente. 1 + t2

15 Variance, écart type, covariance 1269 Exercice 49.9 Déterminer l'espérance d'une variable aléatoire à densité qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > ; une loi de Gauss de paramètres σ > et µ R. Solution 49.9 Si X E (λ), on a alors : E (X) λ Si X N (µ, σ), on a alors : te λt dt [ te λt] + + e λt dt 1 λ E (X) 1 σ te (t µ)2 µ + 2σx 2σ 2 dt 2π σ 2π e x2 σ 2dx µ 2σ + e x2 dx + xe x2 dx µ π π On admet le théorème suivant, qui est la version continue de 49.7, mais de démonstration plus compliquée. Théorème 49.9 (de transfert) 49.1Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω), P) possédant une densité f, φ : R R une fonction continue (ou plus généralement borélienne) telle que la variable aléatoire φ X soit intégrable, on a alors : E (φ X) φ (t) f (t) dt Pour φ (x) x r avec r entier naturel non nul, on a, en supposant X r intégrable : E (X r ) et cette quantité est le moment d'ordre r de X. Si X 2 admet une espérance, avec : X 1 + X 2 t r f (t) dt on déduit que X admet une espérance (exercice 49.6) et on a : E ( (X E (X)) 2) Cette quantité est la variance de X. (t E (X)) 2 f (t) dt 49.5 Variance, écart type, covariance Pour ce paragraphe, X est une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, B, P). Dénition 49.5 On dit que X est de carré intégrable si la variable aléatoire X 2 est intégrable. On note L 2 R (Ω, B, P) l'ensemble des variables aléatoires de carré intégrable sur (Ω, B, P).

16 127 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Théorème 49.1 L'ensemble L 2 R (Ω, B, P) est un sous-espace vectoriel de l'espace L1 R (Ω, B, P) des variables aléatoires réelles intégrables sur (Ω, B, P). Pour X, Y dans L 2 R (Ω, B, P) la variable aléatoire XY est dans L 1 R (Ω, B, P) et l'application : φ : (L 2 R (Ω, B, P))2 R (X, Y ) E (XY ) est une forme bilinéaire, symétrique et positive sur L 2 R (Ω, B, P). Démonstration. Si X L 2 R (Ω, B, P), avec X 1 + X2, on déduit que X L 1 R (Ω, B, P), donc L 2 R (Ω, B, P) L1 R (Ω, B, P). Pour X, Y dans L 2 R (Ω, B, P), avec XY 1 2 (X2 + Y 2 ), on déduit que XY L 1 R (Ω, B, P) et X + Y L 2 R (Ω, B, P). Enn avec L 2 R (Ω, B, P) et λx L2 R (Ω, B, P) pour tout X L2 R (Ω, B, P), on déduit que L 2 R (Ω, B, P) est un sous-espace vectoriel de L1 R (Ω, B, P). Avec la linéarité de l'espérance, on déduit que l'application φ est bilinéaire, symétrique et avec la positivité de l'espérance qu'elle est positive. Si X L 2 R (Ω, B, P), la variable aléatoire (X E (X))2 X 2 2E (X) X + (E (X)) 2 est intégrable puisque L 2 R (Ω, B, P) L1 R (Ω, B, P) et on peut donner la dénition suivante. Dénition 49.6 La variance d'une variable aléatoire X L 2 R (Ω, B, P) est le réel déni par : et son écart type de X est le réel : V (X) E ( (X E (X)) 2) σ (X) V (X) Si X dans L 2 R (Ω, B, P), la variable aléatoire centrée réduite associée à X est la variable aléatoire dénie par X X E (X). σ (X) Les théorèmes de transfert 49.7 et 49.1 nous donnent les résultats suivants. Théorème Si X L 2 R (Ω, B, P) est discrète avec X (Ω) {x i i I} où I est une partie de N, on a alors : V (X) i I (x i E (X)) 2 P (X x i ) Théorème Si X L 2 R (Ω, B, P) est une variable aléatoire possédant une densité f, on a alors : V (X) (t E (X)) 2 f (t) dt On retiendra ces dénitions de la variance dans les cas discret et continu. Théorème Pour X L 2 R (Ω, B, P), on a : V (X) E ( X 2) (E (X)) 2 (formule de Köenig) (a, b) R 2, V (ax + b) a 2 V (X)

17 Variance, écart type, covariance 1271 Démonstration. En utilisant la linéarité de l'espérance, on a : V (X) E ( X 2 2E (X) X + (E (X)) 2) E ( X 2) 2 (E (X)) 2 + (E (X)) 2 E ( X 2) (E (X)) 2 V (ax + b) E ( (ax + b E (ax + b)) 2) E ( a 2 (X E (X)) 2) a 2 V (X) Le deuxième point du théorème précédent nous dit qu'une variable aléatoire constante a une variance nulle. L'exercice qui suit nous dit que la réciproque est presque vraie pour une variable aléatoire discrète. Exercice 49.1 Soit X L 2 R (Ω, B, P) discrète avec X (Ω) {x i i I} où I est une partie de N. Montrer que si V (X), on a alors P (X E (X)) 1 (on dit que X est presque sûrement constante). Solution 49.1 On a : ( V (X) i I (x i E (X)) 2 P (X x i ) ) ( i I, (x i E (X)) 2 P (X x i ) ) ( i I, x i E (X) ou P (X x i ) ) donc P (X x i ) pour tous les indices i I tels que x i E (X), c'est-à-dire P (X E (X)), ce qui équivaut à P (X E (X)) 1. De la formule de Köenig, on déduit que E (X 2 ) (E (X)) 2, l'égalité étant réalisée si, et seulement si, la variance est nulle. Dans le cas discret avec P (X x i ) > pour tout i I, l'égalité E (X 2 ) (E (X)) 2 équivaut à x i E (X) pour tout i I. Exercice Déterminer la variance, après avoir justié son existence, d'une variable aléatoire discrète suivant une loi uniforme discrète, une loi de Bernoulli, une loi binomiale, une loi géométrique, une loi de Poisson. Solution Si X suit une loi uniforme sur {1,, n}, on a E (X) n E ( X 2) n 2 1 (n + 1) (2n + 1) n 6 donc : (n + 1) (2n + 1) (n + 1)2 V (X) 6 4 Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, on a : n E (X) E ( X 2) p, V (X) p (1 p) Si X suit une loi binomiale de paramètres n 2 et p ], 1[, on a E (X) np et en tenant compte de : ( 1) Cn n ( 1) Cn 1 1 n (n 1) Cn 2 2

18 1272 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres pour 2 n, on a : ce qui nous donne : E (X (X 1)) n ( 1) Cnp (1 p) n 2 n (n 1) p 2 C 2 n 2p 2 (1 p) n 2 ( 2) n 2 n (n 1) p 2 Cn 2p j j (1 p) n 2 j j n (n 1) p 2 (p + 1 p) n 2 n (n 1) p 2 E ( X 2) E (X (X 1)) + E (X) n (n 1) p 2 + np V (X) n (n 1) p 2 + np n 2 p 2 np (1 p) Si X suit une loi géométrique de paramètre p ], 1[, on a E (X) 1 p avec : + 2 E (X (X 1)) p (1 p) + 2 ( + ) ( 1) x 2 x pour tout réel x ], 1[, ce qui nous donne : ( 1) (1 p) 2 ( ) 1 1 x 2 (1 x) 3 E (X (X 1)) 2p (1 p) p 3 2 (1 p) p 2 V (X) E (X (X 1)) + E (X) (E (X)) 2 2 (1 p) p p 1 p 2 1 p p 2 Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ, on a alors E (X) λ donc V (X) λ. E ( X 2) + + e λ 2 λ! λ e λ ( 1)! ( ) + e λ λ 2 λ 2 + ( 2)! + λ λ 1 ( 1)! 2 λ 2 + λ Exercice Déterminer la variance, après avoir justié son existence, d'une variable aléatoire à densité qui suit une loi exponentielle de paramètre λ >, une loi de Gauss de paramètres σ > et µ R.

19 Variance, écart type, covariance 1273 Solution Si X E (λ), on a alors E (X) 1 λ E ( X 2) λ Donc V (X) 1 λ 2. t 2 e λt dt [ t 2 e λt] Si X N (µ, σ), on a alors E (X) µ te λt dt 2 λ E (X) 2 λ 2 V (X) E ( (X E (X)) 2) (t µ) 2 σ (t µ) 2 + 2σ 2 2π e 2σ 2 dt σ 2π x2 e x2 σ 2dx ( + [ 2σ2 x 2 e x2 dx 2σ2 1 ] + π π 2 xe x2 + 1 ) + e x2 dx σ 2 2 Dénition 49.7 La covariance de deux variables aléatoires X et Y dans L 2 R (Ω, B, P) est le réel déni par : Cov (X, Y ) E ((X E (X)) (Y E (Y ))) et, dans le cas où V (X) et V (Y ) sont non nuls, le coecient de corrélation de X et Y est la réel : Cov (X, Y ) ρ (X, Y ) σ (X) σ (Y ) Pour X, Y dans L 2 R (Ω, B, P) la variable aléatoire XY est dans L1 R (Ω, B, P) et Cov (X, Y ) est bien déni. On peut remarquer que pour Y X, on retrouve la variance. Dénition 49.8 On dit que deux variables aléatoires X et Y dans L 2 R (Ω, B, P) sont non corrélées si Cov (X, Y ). Théorème Pour X et Y dans L 2 R (Ω, B, P), on a : et l'application : Cov (X, Y ) E (XY ) E (X) E (Y ) (49.1) ψ : (L 2 R (Ω, B, P))2 R (X, Y ) Cov (X, Y ) est une forme bilinéaire, symétrique et positive sur L 2 R (Ω, B, P). Démonstration. En utilisant la linéarité de l'espérance, on a : Cov (X, Y ) E (XY E (X) Y E (Y ) X + E (X) E (Y )) E (XY ) E (X) E (Y ) Toujours avec la linéarité de l'espérance, on déduit que l'application ψ est bilinéaire, symétrique et avec la positivité de l'espérance qu'elle est positive. De (49.1), on déduit que X et Y dans L 2 R (Ω, B, P) sont non corrélées si, et seulement si, E (XY ) E (X) E (Y ). Exercice Montrer que pour X et Y dans L 2 R (Ω, B, P) tels que V (X) et V (Y ), on a ρ (X, Y ) 1.

20 1274 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Solution Comme ψ est bilinéaire, symétrique et positive, on a l'inégalité de Cauchy- Schwarz : Cov (X, Y ) V (X) V (Y ) σ (X) σ (Y ) qui équivaut à ρ (X, Y ) 1. Théorème Soient X 1,, X n dans L 2 R (Ω, B, P) et λ 1,, λ n des réels On a : ( n ) n V λ X λ 2 V (X ) + 2 Cov (X j, X ) 1 j< n et dans le cas particulier où les variables aléatoires X sont deux à deux non corrélées, on a : ( n ) n V λ X λ 2 V (X ) Démonstration. La première formule se déduit immédiatement du caractère bilinéaire symétrique de la covariance et dans le cas où les X X sont deux à deux non corrélées, on a Cov (X j, X ) pour j Inégalités de Marov et de Bienaymé-Tchebychev Théorème (Marov) Soit X une variable aléatoire réelle positive sur (Ω, B, P). Pour tout réel ε >, on a : P (X ε) E (X) ε Exercice Montrer l'inégalité de Marov dans le cas discret. Solution Comme x i pour tout i I N, on a : E (X) i I P (X x i ) x i i I x i ε P (X x i ) x i ε P (X x i ) εp (X ε). i I x i ε Théorème (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) Soit X L 2 R (Ω, B, P). Pour tout réel ε >, on a : P ( X E (X) ε) V (X). ε 2 Démonstration. On applique l'inégalité de Marov à la variable aléatoire réelle positive Y (X E (X)) 2. On a : P ( X E (X) ε) p ( Y ε 2) E (Y ) ε 2 V (X) ε 2. En prenant ε tσ (X) avec t >, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit : P ( X E (X) tσ (X)) 1 t 2

21 Inégalités de Marov et de Bienaymé-Tchebychev 1275 ou encore : P ( X E (X) < tσ (X)) 1 1 t 2 et peut s'interpréter en disant que la variance de X est une mesure de la dispersion des valeurs de X autour de la moyenne E (X). L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut être utilisée pour montrer le théorème de Bernstein relatif à l'approximation uniforme sur [, 1] d'une fonction continue par une suite de fonctions polynomiales. Exercice À tout entier naturel non nul n et tout réel x [, 1] on associe la variable aléatoire X n,x qui suit une loi binomiale B (n, x), c'est-à-dire que X n,x est à valeurs dans {, 1,, n} et sa loi de probabilité est dénie par : j {, 1,, n}, P (X n,x j) C j nx j (1 x) n j. À ( toute fonction ) f continue sur [, 1] et à valeurs réelles, on associe la variable aléatoire Y n,x Xn,x f. En notant {y,, y p } les valeurs prises par Y n,x, on a : n {,, p}, P (Y n,x y ) P (X n,x j). 1. Montrer que l'espérance de Y n,x est donnée par : où B n est l'opérateur de Bernstein. j n f( j n)y E (Y n,x ) B n (f) (x), 2. Pour ε >, on désigne par η > un réel tel que f (x) f (y) < ε pour x, y dans [, 1] vériant x y < η (uniforme continuité de f sur [, 1]) et, pour x xé dans [, 1], on note : { ( ) } J 1,x j {, 1,, n} j f f (x) n < ε { ( ) } J 2,x j {, 1,, n} j f f (x) n ε (a) Montrer que : B n (f) (x) f (x) ε + 2 f j J 2,x P (X n,x j). (b) Montrer que : B n (f) (x) f (x) ε + 2 f P ( Y n,x f (x) ε). (c) Montrer que : B n (f) (x) f (x) ε + 2 f P ( X n,x nx n η). (d) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que : et conclure. B n (f) (x) f (x) ε + f 2n η 2

22 1276 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Solution L'espérance de Y n,x est donnée par : 2. (les ensembles (a) Avec E (Y n,x ) n j p y P (Y n,x ) p j n f( n)y j n f j ( j n f { j {,, n} f p y j n f( j n)y ( ) j P (X n,x j) n P (X n,x j) n f j ) C j nx j (1 x) n j B n (f) (x) ( ) j P (X n,x j) n ( ) } j y forment une partition de {,, n}). n Cnx j j (1 x) n j n P (X n,x j) 1, on peut écrire que : j n ( ( ) ) j B n (f) (x) f (x) f f (x) C j n nx j (1 x) n j j ε Cnx j j (1 x) n j + 2 f Cnx j j (1 x) n j j J 1,x j J 2,x ε + 2 f j J 2,x P (X n,x j). (b) On a : P ( Y n,x f (x) ε) p y f(x) ε P (Y n,x y ) p j n y f(x) ε f( n)y j j n f( j n) f(x) ε P (X n,x j) P (X n,x j) j J 2,x P (X n,x j) et l'inégalité précédente s'écrit : B n (f) (x) f (x) ε + 2 f P ( Y n,x f (x) ε). (c) Comme l'événement Y n,x f (x) ε implique X n,x n et l'égalité annoncée. x η, on a : P ( Y n,x f (x) ε) P ( X n,x nx n η)

23 Inégalités de Marov et de Bienaymé-Tchebychev 1277 (d) Avec nx E (X n,x ) et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a : ce qui donne : P ( X n,x nx n η) V (X n,x) n 2 η 2 x (1 x) n η 2 1 4n η 2, B n (f) (x) f (x) ε + f 2n η 2 < 2ε pour n n où n est un entier indépendant de x. La convergence uniforme vers f sur [, 1] de la suite (B n (f)) n 1 s'en déduit alors. Exercice Soit I [, b] avec b >. Si f est une fonction continue sur I, on la prolonge en une fonction continue sur R + en posant f (x) f (b) pour x supérieur ou égal à b. 1. Montrer que pour toute fonction f appartenant à C (I) et pour tout entier naturel n strictement positif on peut dénir une fonction u n (f) appartenant à C (I) en posant : + x I, u n (f) (x) e nx f ( ) n n! x. 2. Montrer, en s'inspirant de l'exercice précédent, que pour toute fonction f appartenant à C (I) la suite de fonctions (u n (f)) n 1 converge uniformément vers f sur I (une démonstration directe de ce résultat est possible mais peu évidente). Solution Soient n N, x [, b] et f : R + R uniformément continue et bornée. Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson de paramètre nx. On a : ( ) ( ) X X E (X) nx, E x, V (X) nx, V x n n n + u n (f) (x) e nx f ( ) ( n n! x E f ( )) X. n Avec l'uniforme continuité de f sur R +, on peut trouver, pour tout réel ε >, un réel η > tel que : (x 1, x 2 ) ( R +) 2, x1 x 2 η f (x 1 ) f (x 2 ) ε. On a alors pour tout n 1 et tout x [, b], en notant χ A la fonction caractéristique de l'ensemble A et en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev : ( ) u n (f) (x) f (x) X (f E f (x)) n ( ( ) ) ( ( ) ) X E f f (x) X n χ X n x η + E f f (x) n χ X n x >η ( ) X ε + 2 f P n x > η V ( ) X n ε + 2 f η 2 ε + 2 f x nη 2 ε + 2b f η 2 1 n 2ε pour n assez grand (uniformément par rapport à x). Et c'est terminé.

24 1278 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres 49.7 Convergence en probabilité Dénition 49.9 Soient (X n ) n N une suite de variables aléatoires réelles sur Ω et X une variable aléatoire réelle sur Ω. On dit que la suite (X n ) n N converge en probabilité vers X si : ε >, lim P ( X n X ) ε. Théorème Si lim E (X n X) converge en probabilité vers X. lim V (X n X), alors La suite (X n ) n N Théorème (loi faible des grands nombres) Si (X n ) n N est une suite de variables aléatoires réelles sur Ω deux à deux indépendantes et de même loi X, alors la suite ( 1 n X ) n N n converge en probabilité vers E (X).