I. Notations. 1 ) Structure générale. 2 ) Boucle ouverte, Boucle fermée. Master 1ère Année SEE Aide mémoire Automatique Continue

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1 Ce pense bête de l automatique continue contient des recettes dont certaines (beaucoup!) ne marchent que pour des systèmes réguliers... I. Notations 1 ) Structure générale e = Entr ée + ɛ = Er r eur Correcteur u = Acti on Système s = Sor ti e système est imposé par la fonction de transfert m = F (p), c est à dire la boucle fermée du système à retour unitaire que l on appelle abusivement boucle fermée. On a e F (p) = T (p) 1 + T (p). m = Mesur e Capteur 2 ) Boucle ouverte, Boucle fermée e + ɛ C (p) u H(p) s m M(p) se transforme avec un retour unitaire : e + ɛ C (p) u m 1 H(p).M(p) M(p) s m 1 Définitions : BONC : Boucle Ouverte Non Corrigée : m u = H(p).M(p) BOC : Boucle Ouverte Corrigée : m = C (p).h(p).m(p) = T (p) ɛ BF : Boucle Fermée : s e = T (p) 1 + T (p). 1 M(p). En général, le capteur a une bande passante suffisante qui peut être considérée comme une constante dans la bande de fréquences utiles, et donc tout le comportement du 1. Pour pouvoir appliquer le critère du revers, le système doit être stable en boucle ouverte, sinon il faut utiliser le critère de Nyquist généralisé

2 II. Stabilité 1 ) Critère de stabilité sur la B.O. Critère du revers. A appliquer sur le diagramme de Nyquist I(T ( j.ω)) = f (R(T (j.ω))) 1 Figure : Marge de phase exprimée dans un diagramme de Bode Figure : Diagramme de Nyquist Figure : Marge de phase exprimée dans un diagramme de Nyquist Marge de phase Φ. On définit ω 0dB la pulsation telle que T (j.ω 0dB ) = 1. La marge de phase est la distance angulaire : Φ = arg(t (j.ω 0dB )) + π. Plus Φ est élevée plus le système est stable. Une marge de phase entre 45 [ ] et 90 [ ] est courante. Astuce :

3 Si on approxime la BF F (p) à un second ordre d amortissement m BF, c-à-d F (p) = F 0, on a, de manière très grossière, m BF Φ( ) m BF ω BF.p + p ω 2 BF Marge de gain M G. On définit ω π la pulsation telle que T (j.ω π ) = π. La marge de gain est la valeur : M G = 20.log ( T (j.ω π ) ) [db]. Plus M G est élevée plus le système est stable. Une marge de gain entre 6 [db] et 15 [db] est courante. Seuls les pôles à partie réelles négatives sont stables. Une marge de stabilité supplémentaire (droites obliques) assure un amortissement suffisant. Critère de Routh. Pour mémoire Dépassements du passe-bas du second ordre. Pour une écriture du type F (p) = F m BF ω BF.p + p2 ω 2 BF le dépassement ne dépend que de m BF. m BF > 1 < 1 2 ) Critère de stabilité sur la B.F. Lieu des pôles. On place tous les pôles P i de la boucle fermée dans le plan complexe : I(P i ) Pas de D 1 (%) T pi c ω p dépassements 100.e m BF.π 1 m 2 BF π ω BF 1 m 2 BF ω BF. 1 m 2 BF En cas d oscillations, le premier dépassement a pour amplitude relative D 1 (%), ce dépassement apparaît en T pi c et la pseudo-pulsation des oscillations vaut ω p. stable suffisamment amorti P i θ = arcsin(m BF ) instable R(P i ) P i stable mais amorti peu Figure : Réponse indicielle oscillatoire Figure : Lieu d Evans - Limite de stabilité et marge de stabilité

4 III. Rapidité 1 ) Temps de réponse et bande passante Idée générale. Il existe un lien (pas facile à établir) entre bande passante de la boucle fermée et temps de réponse (de la boucle fermée). Par exemple, si la boucle 1 fermée est un premier ordre F (p) = 1 + τ BF.p, la bande passante (à -3 db) vaut f BP = 1 et le temps de réponse vaut T R = 3.τ BF. Le produit f BP.T R est constant et vaut : 2.π.τ BF f BP.T R = 3 2.π. En règle générale, plus la bande passante est élevée, plus le temps de réponse est petit 2. 2 ) Temps de réponse de fonctions simples Passe pas du premier ordre. La fonction de transfert F (p) = temps de réponse T R = 3.τ BF. F τ BF.p a un Passe bas du second ordre. On suppose que la BF est du type F (p) = F m BF ω BF.p + p2 ω 2 BF. Le temps de réponse dépend uniquement de ω BF et m BF. La courbe réelle donnant le temps de réponse normalisé T R.ω BF 2.π est donné ci-dessous : Lien entre Bode de la BO et Bode de la BF. En partant de F (j.ω) = T (j.ω) 1 + T (j.ω) T (j.ω) >> 1 << 1 F (j.ω) 1 T (j.ω) Figure : Temps de réponse normalisé T R.ω BF 2.π en fonction de l amortissement m BF Figure : Diagrammme de Bode en Gain - Boucles ouverte, fermée et fermée approchée Cette approximation est mauvaise lorsque T (j.ω) est proche de Ceci est d autant plus vrai que la stabilité est forte

5 Cette courbe fait apparaître deux courbes asymptotiques donnant une bonne approximation du temps de réponse : m BF << >> 0.69 T R 3 0, π 6.m m.ω BF ω BF ω BF IV. Correcteurs élémentaires 1 ) Proportionnel Integral Dérivé C (p) = A + B +C.p p Il existe d autres formes pour le PID : C (p) = k p.(1+ T i p +T d.p) ou encore sous certaines conditions 3 C (p) = k p. (1 + τ i.p)(1 + τ d.p). τ i.p Si on regarde la première écriture, la sortie du correcteur PID est la contribution d un correcteur P, d un correcteur I et d un correcteur D. Les effets de chacun de ces correcteurs sont maintenant détaillés. A.p + B +C.p2 3. C (p) = si A 2 4.B.C > 0, le numérateur se factorise avec deux racines réelles p 4. Sous réserve de convergence du Théorème de la valeur finale <=> stabilité 5. ω π est la pulsation pour laquelle l argument de la Boucle Ouverte Corrigée T (j.ω) vaut π

6 2 ) Proportionnel C (p) = k p Le correcteur P augmente uniformément le gain de la Boucle Ouverte et ne modifie pas son argument. 3 ) Intégral C (p) = B p = 1 τ I.p Le correcteur I modifie : le gain de la Boucle Ouverte T ( j.ω) en l augmentant en basses fréquences et le diminuant en hautes fréquences, la pente du diagramme de Bode en Boucle Ouverte de T (j.ω) qui est diminuée uniformément de 20 db/décade, l argument de T (j.ω) qui diminue uniformément de π 2. Figure : Diagrammes de Bode de la BO Non Corrigée et de la BO Corrigée par un correcteur P Si k p augmente, le correcteur proportionnel a tendance à : diminuer l erreur statique en augmentant le gain statique de la Boucle Ouverte Corrigée T (j.ω) 4, diminuer la stabilité (augmentation du gain en Boucle Ouverte pour la pulsation ω π 5 d où une diminution de la marge de gain (3)), augmenter la bande passante en Boucle Fermée (augmentation de ω 0dB ) ce qui peut rendre le système plus rapide s il n a pas été trop déstabilisé. Figure : Diagrammes de Bode de la BO Non Corrigée et de la BO Corrigée par un correcteur I Le correcteur intégral diminue l erreur statique en augmentant lim ω 0 T (j.ω) ; cette erreur s annule si H(p) ne présente pas de dérivation. Le correcteur intégral a tendance à déstabiliser le système car l argument de T (j.ω) a diminué de π. Pour retrouver un marge de stabilité suffisante, il faut souvent régler le 2 6. On suppose que la fonction de transfert en Boucle Ouverte Non Corrigée H(p) a son gain et sa phase qui diminuent avec la fréquence.

7 gain B = 1 de l intégrateur à une faible valeur ce qui diminue la pulsation ω 6 0dB et τ I ralentit donc le système en Boucle Fermée. 4 ) Proportionnel Intégral C (p) = A + B p = k 1 + τ I.p I τ I.p Le correcteur PI modifie : le gain de la Boucle Ouverte Corrigée T (j.ω) en l augmentant fortement en basses fréquences, mais le modifie peu (d un coefficient) en hautes fréquences, l argument de T (j.ω) en le diminuant de π uniquement en basses fréquences. 2 Figure : Diagrammes de Bode de la BO Non Corrigée et de la BO Corrigée par un correcteur PI Le correcteur PI essaye de combiner les avantages du correcteur intégral (diminution de l erreur par augmentation du gain en Basses Fréquences) sans déstabiliser le système ni trop réduire sa bande passante en Hautes Fréquences.

8 5 ) Dérivé C (p) = C.p = τ D.p Le correcteur D modifie : le gain de la Boucle Ouverte T (j.ω) en le diminuant en basses fréquences et le l augmentant en hautes fréquences, la pente du diagramme de Bode en Boucle Ouverte de T (j.ω) qui est augmentée uniformément de 20 db/décade, l argument T (j.ω) de qui augmente uniformément de π 2. il n est pas causal car le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, il amplifie très fortement les hautes fréquences pour lesquelles il peut y avoir du bruit. Pour les deux dernières raisons, on limite le gain en hautes fréquences en rajoutant un pôle : C (p) = τ D.p 1 + τ. On retient qu en pratique, on prend classiquement 5 < N < 20. D N.p Figure : Diagrammes de Bode de la BO Non Corrigée et de la BO Corrigée par un correcteur D Le correcteur dérivé stabilise le système en augmentant de π l argument de T (j.ω). Il 2 peut améliorer la rapidité en augmentant aussi la bande passante (augmentation de ω 0dB ). Cependant, il n est pas utilisé tel quel, car : il augmente l erreur statique (surtout si H(p) ne présente pas d intégration), 7. Les pulsations basses et hautes s entendent par rapport aux pulsations intermédiaires ω 0dB et ω π

9 6 ) Résumé En résumé, pour combiner l intérêt des trois correcteurs de base, il faut intégrer en basses fréquences pour améliorer la précision et dériver en hautes fréquences 7 pour stabiliser et augmenter la bande passante. Le diagramme de Bode d un correcteur PID (limité en hautes fréquences) est représenté ci-dessous. facilité de réalisation et d ajustement en pratique, limitation de l amplitude du signal de commande u(t) pour éviter les saturations, robustesse du système asservi vis à vis des évolutions du comportement du système (vieillissement, changements dus à la température,...), économie d énergie, maîtrise des dépassements,... comportement en cas de saturation de la commande La manière d obtenir un correcteur n est pas unique, il existe différentes situations : La fonction de transfert en Boucle Ouverte Non Corrigée H(p) est connue avec une bonne précision de manière théorique, ou est déterminée de manière expérimentale, Le système ne peut pas fonctionner s il n est pas contre-réactionné (il ne peut fonctionner en Boucle Ouverte ), Le correcteur fait partie intégrante d un système industriel tout fait, la forme du correcteur est déjà imposée,... Parmi les différentes méthodes, on peut citer : placement de pôles de la Boucle Fermée, Méthodes de Ziegler-Nichols, Méthode d Astrom et Hagglund, compensation des pôles dominants, réglage de marge de gain ou de phase, réglage dans le plan de Black-Nichols, critère de Naslin,... V. Références Par exemple, rechercher sur internet : 7 ) Synthèse de correcteur Figure : Diagrammes de Bode d un correcteur PID Il existe différentes manières d obtenir un correcteur ; il n y a pas de correcteur unique et idéal. En plus des qualités du système asservi déjà évoquées (précision, rapidité,...), on peut aussi ajouter : Systèmes linéaires, non linéaires, à temps continu, à temps discret, représentation d état Y. Granjon Etition Dunod Cours d automatique de M. Etique HEIG - Vaud : ch/~mee/regulation_automatique_anal.htm Cours d automatique tomes 1 et 2 Rivoire, Ferrier - éditions Eyrolles Asservissements linéaires classiques, Volume 1, Ecole d Ingénieurs de Genève - J.-M. Allenbach - Asservissements linéaires continus Polycopié de cours Claude Chevassu - google : "systèmes asservis linéaires" +Betemps +Jutard +INSA