Logique - exos du cours

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1 Logique - exos du cours assertion, prédicats et autres Exercice 1 Parmi les phrases suivantes lesquelles sont des assertions, prédicats ou autre? = 5 ; un triangle isocèle est un triangle ayant 2 côtés de même longueur ; n est un entier pair ; 3x+ = 7 ; l équation ax 2 + bx + c = 0 n a pas de solutions réelles. Exercice 2 Soit le prédicat A(n, p) = n = p 2. - Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses? A(2, 3), A(2, 4), A(3, 2), A(4, 2), A(4, 2), A(1, 1), A( 1, 1), A(1, 1), A(0, 0). - Vrai ou faux, justifier : B 1 = pour tous entiers p et n, A(n, p). B 2 = il existe deux entiers n et p tels que A(n, p). B 3 = pour tout entier p, il existe un entier n tel que A(n, p). B 4 = pour tout entier n, il existe un entier p, tel que A(n, p). et, ou, non Exercice 3 On se place dans le plan muni d un repère (O, i, j). Pour tous les prédicats suivants dont le paramètre est un couple de réels (x, y), tracez le domaine du plan des points M de coordonnées (x, y) correspondants, puis écrivez la négation de ces assertions : A 1 (x, y) = ((x 0) et (y 0)) ; A 2 (x, y) = ( 2 < x 3) A 3 (x, y) = ((x < 4) ou (y > 2)) Exercice 4 Soient A, B, C 3 points du plan distincts 2 à 2. - Ecrivez une assertion portant sur les longueurs AB, AC et BC et traduisant le fait que le triangle (ABC) est équilatéral. - Déduisez-en une assertion traduisant le fait que (ABC) n est pas équilatéral. - Idem avec isocèle et non isocèle à la place de équilatéral. 1

2 implication, équivalence Exercice 5 Justifiez qu une assertion fausse implique n importe quelle autre assertion. Ainsi, par exemple : (2 = 3) (2 = 2) ; (2 = 3) (3 = 4) ; (2 = 3) (3 = 5) Exercice 6 Soit x un réel quelconque. Quelles sont les relations d implication entre les prédicats suivants : A 1 (x) = (x = 2) ; A 2 (x) = (x 2 = 4) ; A 3 (x) = (x 3 = 8) ; A 4 (x) = (x 4 = 16) Exercice 7 Vrai ou faux? Parmi les phrases suivantes, quelles sont celles qui sont vraies? ( justifiez) - pour qu un réel x vérifie x > 1, il est nécessaire qu il vérifie x 2 > 1. - pour qu un réel x vérifie x > 1, il est suffisant qu il vérifie x 2 > 1. - si un réel x est dans [ 2, 6[, alors il est dans [1, 3]. - un réel x est dans [1, 4] seulement s il est dans [0, 5]. Exercice 8 Traduisez en des relations d implication les phrases suivantes. Ecrivez les contraposées : - pour conduire une voiture, il est nécessaire d avoir le permis. - pour conduire une voiture, il n est pas suffisant d avoir le permis. - je vais à la plage s il fait beau. - je vais à la plage seulement s il fait chaud. - pour avoir le bac, il est suffisant mais pas nécessaire d avoir plus de 10 de moyenne. Exercice 9 Soit (ABC) un triangle du plan. Quelles sont les implications entre les assertions suivantes? Ecrivez les contraposées : - (ABC) est isocèle en A. - (ABC) est équilatéral. - (ABC) est rectangle en A. - AB = AC. - BC 2 = AB 2 + AC 2. Exercice 10 Quels théorèmes, s exprimant sous la forme d une équivalence, connaissez-vous? 2

3 quantificateurs Exercice 11 Traduisez en des assertions les phrases suivantes ( E désigne un ensemble de nombres dans ce qui suit ), puis écrivez leur négation et retraduisez en une phrase la négation : - tous les éléments de E sont positifs - il existe un élément de E qui est strictement inférieur à 2. - tous les éléments de E sont soit positifs, soit inférieurs à 5. - soit tous les éléments de E sont positifs, soit ils sont tous inférieurs à 5. - il existe un élément de E qui est supérieur à tous les autres. - tout élément de E est le carré d un élément de E ( pas forcément le même pour tous) Exercice 12 Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Ecrivez leur négation. A 1 = ( x R, x 2 0) ; A 2 = ( x R, x 2 1) A 3 = ( x R, x = 0) ; A 4 = ( x C, x = 0) A 5 = ( x, y R, ((x y) ou (x y)) ; A 6 = ( x, y R, ((x y) et (x y)) A 7 = ( y R, x R, x 2 = y) ; A 8 = ( y R, x C, x 2 = y) A 9 = ( y R, x R, y x 2 ) ; A 10 = ( y R, x R, y x) Exercice 13 Soit f la fonction définie sur R par : - vérifiez que x R, f(x) 2. - vérifiez que x R, f(x) > 10. x R, f(x) = x 2 2x + 3 Exercice 14 Soient a et b deux réels. Soit la fonction g : x ax 2 + b. - on suppose que : x R, g(x) = 0 Montrez que a = b = 0. - on suppose que a et b sont non nuls et que : Montrez que ab < 0. x R, g(x) = 0 3

4 Exercice 15 Soient n et p deux entiers naturels. On suppose que : Montrez que p = n. ( k N, n = kp) et ( k N, p = kn) Exercice 16 Quels sont les liens d implication entre les assertions suivantes : on considère E un ensemble et A, B deux prédicats portant sur les éléments de E. x E, (A(x) et B(x)) x E, (A(x) et B(x)) ( x E, A(x)) et ( x E, B(x)) ( x E, A(x)) et ( x E, B(x)) Même question en remplaçant et par ou. raisonnement par récurrence Exercice 17 Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a n 3 = n2 (n+1) 2 4. Exercice 18 Montrer que la suite de Fibonacci définie par u 0 = u 1 = 1 et n N, u n+2 = u n + u n+1 est positive. et trouver un réel c > 1 tel que n N, u n c n 1. Exercice 19 Montrer que tout entier supérieur ou égal à 2 peut s écrire comme un produit fini de nombres premiers. ( Rappel : un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et qui n est divisible que par 1 et lui-même ) Exercice 20 Vérifiez que les récurrences double et forte sur A(n) peuvent se ramener à des récurrences simples sur B(n) = (A(n 1) et A(n)) et sur C(n) = ( k n, A(k)) respectivement. raisonnement par disjonction des cas Exercice 21 Montrez que, n N, n 3 n est un multiple de 3. ( distinguez suivant le reste de n dans la division euclidienne par 3) 4

5 Exercice 22 Montrez que : x R, x 1 + x ( distinguez suivant la position de x par rapport à 1 et 2) raisonnements par contraposée ou par l absurde Exercice 23 Montrez que si le carré d un entier est impair alors cet entier est aussi impair. Exercice 24 théorème des chaussettes de Dirichlet : soit n un entier 1. On répartit au hasard n + 1 chaussettes dans n tiroirs. Montrez qu un tiroir contient au moins 2 chaussettes. Exercice 25 Montrez que si une fonction continue sur R ne s annule en aucun réel de R, alors elle est de signe constant. Exercice 26 Montrez que 2 est irrationnel. Autrement dit, si un réel x peut s écrire x = p/q avec p et q deux entiers ( on pourra supposer la fraction p/q irréductible), alors x 2 2. ( raisonnez par l absurde et remarquez que p 2 est pair, puis p est pair, puis q est pair,...) raisonnement par analyse et synthèse Exercice 27 Trouvez l ensemble des réels x vérifiant x + 3 = 2x Exercice 28 Montrez que, pour toute fonction f de R dans R, il existe un et un seul couple de fonctions (g, h) chacune de R dans R telles que f = g + h et g est paire et h est impaire. Indic : dans la phase d analyse, vous exprimerez g(x) et h(x) en fonction de f(x) et f( x). Exercice 29 Trouver toutes les fonctions dérivables f sur R vérifiant l équation fonctionnelle : x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y) Indic : dans l analyse, dérivez cette relation par rapport à x, y étant fixé... 5