Mathématiques LES TRIANGLES. La somme des mesures des angles d un triangle vaut 180.

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1 RPE LES TRNGLES. Définition Un triangle est un polygone à trois côtés.. Somme des angles d un triangle La somme des mesures des angles d un triangle vaut 180. Démonstration : ß ß On mène la parallèle par à (). Les angles marqués ß sur la figure sont égaux (angles alternes internes) ainsi que les angles marqués. l en résulte que ß + + = 180 (angle plat).. Droites particulières du triangle 1. Hauteur Une hauteur d un triangle est la droite perpendiculaire à un côté qui passe par le sommet opposé. Les triangles 1 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

2 RPE La hauteur issue de dans le triangle est la perpendiculaire à () passant par. Le point où elle coupe () est le pied de cette hauteur. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un même point H appelé orthocentre du triangle. H Si le triangle possède trois angles aigus, l'orthocentre est situé à l'intérieur du triangle. Si le triangle possède un angle obtus, l'orthocentre est à l'extérieur. Si le triangle est rectangle, l'orthocentre est confondu avec l'angle droit. 2. Médiane Une médiane d'un triangle est la droite issue d'un sommet coupant le côté opposé en son milieu Les triangles 2 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

3 RPE La médiane issue de dans le triangle est la droite qui joint le sommet au milieu du côté opposé []. s Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle, noté G. K J G Le centre de gravité d'un triangle est situé 2/3 de chaque médiane à partir du sommet : G = 3 2 J (GJ = 3 1 J) ; G = 3 2 K ; G = Médiatrice La médiatrice d un triangle est la médiatrice d un de ses côtés. Les triangles 3 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

4 RPE La médiatrice du côté [] dans le triangle est la perpendiculaire à () passant par son milieu. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle. K J O Remarque : O est le centre du cercle circonscrit à signifie que O = O = O. 4. issectrice La bissectrice d un triangle est la bissectrice d un de ses angles. Les triangles 4 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

5 RPE La bissectrice de l angle  du triangle est la droite passant par qui partage l angle en deux angles de même mesure. Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point, centre du cercle inscrit au triangle. V. Triangles particuliers 1. Triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. Les triangles 5 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

6 RPE hypoténuse Le triangle est rectangle en si Ĉ = 90. Son hypoténuse est le côté à Ĉ, c'est-à-dire []. Un triangle est rectangle en si et seulement si le cercle de diamètre [] passe par ou si et seulement si le centre du cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse []. O 2. Triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de même longueur (ou isométriques). Les triangles 6 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

7 RPE Le triangle est isocèle de sommet si =. s - Le triangle est isocèle de sommet si et seulement si les angles ˆ et Ĉ sont égaux. - Si le triangle est isocèle de sommet, la hauteur issue de, la médiane issue de, la médiatrice de la base [] et la bissectrice de l angle  sont confondues. - nversement, si dans un triangle, deux des quatre droites citées cidessus sont confondues alors il est isocèle. Triangle rectangle isocèle Un triangle rectangle isocèle est un triangle rectangle dons les angles à la base valent 45 chacun. 3. Triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur. onstruction Soit [] un segment quelconque. On trace successivement le cercle de centre et de rayon, et le cercle de centre et de rayon. Soit l'intersection de ces deux cercles. Le triangle est alors équilatéral : = =. Les triangles 7 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

8 RPE - Un triangle est équilatéral si et seulement si ses angles mesurent Un triangle est équilatéral si et seulement si il est isocèle et a un angle de Dans un triangle équilatéral les médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices sont confondues. Elles sont concourantes en un point à la fois centre de gravité, orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre du cercle inscrit du triangle. - Si dans un triangle, deux des points cités ci-dessus sont confondus, le triangle est équilatéral. onstruction à la règle non graduée et au compas d un triangle équilatéral de côté [] - Tracer l arc de cercle de centre et de rayon. - Tracer l arc de cercle de centre et de rayon. - Les deux arcs de cercle se coupent en un point. Le triangle est un triangle équilatéral de côté []. Les triangles 8 / 8 Sup de ours - Etablissement d'enseignement privé RNE L - 73, rue de Marseille ordeaux

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