Chapitre 11 : Lois de probabilité continues ( ou à densité )

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1 Chapitre : Lois de probabilité continues ( ou à densité ) ntroduction : Dans toutes les situations étudiées jusqu'à présent, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs x, x 2, x 3, x n On dit que X est discrète (tout comme en statistique) l existe cependant des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d'un intervalle de R (borné ou non) : par exemple, le temps d'attente à un arrêt de bus, la durée de vie d'un composant électronique, etc On dit que ces variables aléatoires sont continues ( ou à densité ) Montrons sur un exemple que le mode de calcul des probabilités avec des variables aléatoires discrètes n est pas valable avec des variables aléatoires continues : Un jeu consiste à faire deviner un nombre compris entre et préalablement défini Première situation : On considère la variable aléatoire discrète qui correspond au nombre entier n donné en réponse Comme tous les entiers ont la même probabilité d être donnés, alors p( X n) = = Deuxième situation : On considère maintenant la variable aléatoire qui correspond au nombre réel x donné en réponse L ensemble des valeurs possibles pour X est l intervalle [ ; ] qui est infini et indénombrable et la probabilité de deviner le bon réel est théoriquement nulle car égale à n avec n tendant vers l infini! Donc calculer p( X = x ) n a aucun intérêt Néanmoins, on peut raisonnablement faire deviner dans ce cas, un intervalle qui contiendrait x, auquel cas le calcul de probabilité est envisageable Si on note [ ;5] =, on conçoit que p ( ) = Or, on retrouve une situation analogue dans la notion de répartition des fréquences par classe d une série à caractère continu Dans ce cas, on a un histogramme des fréquences Comme l aire de chaque rectangle correspond à la fréquence, alors l aire totale est égale à Pour une variable aléatoire continue, on conçoit que les classes sont en nombre infini de manière que le polygone des fréquences est une courbe sous laquelle l aire vaut ua Cette courbe est celle d une fonction qui par définition est appelée densité de probabilité 2 Ainsi, la probabilité d un événement tel que p( ) droites d équations x = et x = 5 correspond à l aire sous la courbe comprise entre les

2 Définitions : Définitions : ) Une variable aléatoire X est dite continue lorsqu elle peut prendre n importe quelle valeur d un intervalle de R 2) Soit un intervalle de R On appelle densité de probabilité toute fonction f définie sur vérifiant les trois conditions suivantes : a) f est continue sur C f b) f est positive sur c) f ( t) dt = aire = Remarque : Si est un intervalle non borné, par exemple = [ a; + [, la condition f ( t) dt = signifie lim f ( t)dt = a x + x π La fonction cos définie sur ; 2 est une densité de probabilité sur ; π 2 car cos est continue et π π positive sur ; 2 et 2 cos xdx = Exercice : Soient a et b deux réels, a < b Pour quelle valeur du réel k la fonction f définie sur [ a; b ] par f ( x) l intervalle [ a; b ]? = k est-elle une densité de probabilité sur Exercice 2 : Soit λ un réel strictement positif Montrer que la fonction f définie sur [ [ probabilité sur l intervalle [ ;+ [ λ ;+ par f ( x) = λ e x est une densité de 2

3 Définition : Soit un intervalle de R et f une densité de probabilité sur On définit une loi de probabilité continue p de densité f sur en associant = p J f t t à tout intervalle J inclus dans le réel, ( ) ( ) d J C f P( J ) b Cas particulier : Si J = [ a; b], alors p( [ a; b] ) = f ( t) dt Remarques : ) est l événement certain : p( ) = f ( t) dt = 2) Si X est la variable aléatoire prenant ses valeurs dans, P( X J ) = P( J ) ( P( J ) est la probabilité qu un réel appartienne à J) Propriétés : ) La probabilité que X prenne une valeur isolée de est nulle : { } 2) p ([ a; b] ) = p ([ a; b[ ) = p (] a; b] ) = p (] a; b[ ) Démonstration : J a ( ) p a = π Notons p la loi de probabilité dont la densité est la fonction cos sur ; 2 p π ; π = 6 4 Exercice 3 : Soit X la variable aléatoire prenant ses valeurs dans = [ ; [ densité la fonction f définie sur par f ( x) = 2 x a) Vérifier que f est bien une densité de probabilité sur b) Calculer de deux façons différentes P( X 2) +, dont la loi de probabilité p sur admet pour 3

4 Deux exemples de lois continues : Loi uniforme sur [ ;] : Définition : On appelle loi uniforme sur [ ; ] la loi de probabilité dont la densité f est la fonction constante définie par f ( x ) = sur [ ; ] Théorème : Si p est la loi uniforme sur [ ; ] alors, pour tous réels a et b de [ ; ] ( ) [ ] b b avec a b : p [ a; b] = dx = x = b a a a On choisit au hasard un réel entre et Quelle est la probabilité d obtenir un nombre compris entre 8 et 6? Choisir un nombre entre et, c est le choisir suivant la loi uniforme sur [ ;] Donc p ; = 8 6 Exercice 4 : On considère p, la loi uniforme sur [ ;] ) Calculer [ ] ([ ]) p,5;,55,2;,6 2) On choisit au hasard un réel entre et Sachant que ce nombre est compris entre,6 et,7, quelle est la probabilité qu il soit supérieur à,68? 4

5 2 Loi exponentielle de paramètre λ : Définition : Soit λ un réel strictement positif On appelle loi exponentielle de paramètre λ la loi de probabilité dont la densité f est la fonction définie sur [ ;+ [ par ( ) f x = λ e λx La durée de vie, exprimée en années, d un noyau radioactif ou d un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle Propriété : Si p est la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels strictement positifs ( ) λa a et b avec a b, alors : p [ a; b] = e e λb ([ ]) Démonstration : p a; b = Conséquence : Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle p de paramètre λ Pour tout réel positif t, p ( X ) e λt p X > = λt t = et ( t) e Démonstration : p X ( t) = On suppose que la durée d'une conversation téléphonique, mesurée en minutes, est la variable exponentielle de paramètre Vous arrivez à une cabine téléphonique et juste à ce moment précis, une personne passe devant vous ) Quelle est la probabilité que vous attendiez plus de dix minutes? 2) Quelle est la probabilité que vous attendiez entre dix et vingt minutes? 5

6 Exercice 5 : La durée de vie X ( en heures ) d un composant électronique a été modélisée par une loi exponentielle de paramètre λ =, 6 sur [ ; + [ ) Quelle est la probabilité qu un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de vie inférieure à heures? ( donner le résultat sous forme d un pourcentage arrondi au centième ) 2) Quelle est la probabilité qu un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche au bout de 5 heures? ( donner le résultat sous forme d un pourcentage arrondi au centième ) Exercice 6 : Une variable aléatoire X suit une loi de probabilité exponentielle de paramètre λ sur [ ;+ [ Calculer la valeur de λ sachant que la probabilité que X soit inférieure à 7 est égale à,5 Propriété : La loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement ( ou sans mémoire ): pour tous réels positifs s et t, px > s ( X > s + t) = P ( X > t) Remarque : Cela signifie que si par exemple X désigne la durée de vie, exprimée en années, d un composant électronique, la probabilité qu il fonctionne encore t années sachant qu il a déjà fonctionné pendant s années est la même que la probabilité qu il fonctionne pendant au moins t années après sa mise en service Démonstration : p ( X s t) Définition : X > s > + = Pour une loi de probabilité exponentielle p, on appelle demi vie la durée x telle que : p ( X x) < = 2 Remarque : p X < x = on a : λ Si λ est le paramètre, comme ( ) e x ln 2 x = λ Exercice 7 : La duré de vie X d un élément radioactif suit une loi exponentielle de paramètre λ On considère que la demi vie du carbone 4 est x = 5568 années p X < ) Calculer ( ) 2) Calculer t sachant que p( X t), 2 < = 6

7 Exercice 8 : La durée de vie d un agenda électronique, exprimée en heures, est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ =,26 ) Calculer p( X ) et p( X > ) 2) Sachant que l événement ( X > ) est réalisé, calculer la probabilité de l événement ( 2) X > 3) Sachant qu un agenda a fonctionné plus de 2 heures, quelle est la probabilité qu il tombe en panne avant 3 heures? Pouvait on prévoir ce résultat? Exercice 9 : Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25 % au premier fournisseur, 75 % au second La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second On note : D l événement :«le composant est défectueux» F l événement :«le composant provient du premier fournisseur» F 2 l événement :«le composant provient du second fournisseur» ) a) Dessiner un arbre pondéré b) Calculer p ( D F ), puis démontrer que p( D ) =, 225 c) Sachant qu un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu il provienne du premier fournisseur? Dans toute la suite de l exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à -3 près 2) Le responsable commande 2 composants Quelle est la probabilité qu au moins deux d entre eux soient défectueux? 3) La durée de vie de l un composants est une variable aléatoire notée X qui suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de paramètre λ, avec λ strictement positif p X > 5 =,325, déterminer λ a) Sachant que ( ) Pour les questions suivantes, on prendra λ =, 225 b) Quelle est la probabilité qu un composant dure moins de 8 ans? plus de 8 ans? c) Quelle est la probabilité qu un composant dure plus de 8 ans sachant qu il a déjà duré plus de 3 ans? Exercice : On s intéresse à la duré de vie, exprimée en semaines, d un composant électronique On modélise cette situation par une loi de probabilité p de duré de vie sans vieillissement définie sur [ ;+ [ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est ([ [) = t x p ; t e dx Une étude statistique, montrant qu environ 5 % d un lot important de ces composants sont encore en état de p ; 2 =,5 marche au bout de 2 semaines permet de poser ([ [) ln 2 ) Montrer que λ = 2 2) Quelle est la probabilité qu un des composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 3 semaines? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près 3) On admet que la durée de vie moyenne d m de ces composants est la limite quand A tend vers + de A x λxe λ dx λ A λ A A λx λ Ae e + a) Montrer que λxe dx = λ b) En déduire d m On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près λ λ 7

8 Exercice : Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la «loi de durée de vie sans vieillissement» ( ou loi exponentielle de paramètre λ, avec λ strictement positif ) Toutes les probabilités seront données à -3 près ) Sachant que p( X > ) =, 286, montrer qu une valeur approchée à -3 près de λ est,25 On prendra,25 pour valeur de λ dans la suite de l exercice 2) Calculer la probabilité qu un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois 3) Sachant qu un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu il ait une durée de vie supérieure à dix ans? 4) On considère que la durée de vie d un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils Le responsable du laboratoire décide de commander 5 oscilloscopes Quelle est la probabilité qu au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à ans? 5) Combien l établissement devrait il acheter d oscilloscopes pour que la probabilité qu au moins l un d entre eux fonctionne plus de ans soit supérieure à,999? 8