NOTIONS DE GEOMETRIE FRACTALE. Evelyne LUTTON Jacques LÉVY VÉHEL. Objets Mathématiques

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1 NOTIONS DE GEOMETRIE FRACTALE Objets Mathématiques 2 Evelyne LUTTON Jacques LÉVY VÉHEL Equipe APIS - INRIA Saclay - Ile-de-France - Evelyne.Lutton@inria.fr http ://complex.inria.fr/ Objets Mathématiques très complexes Objets esthétiques 4 3

2 Modèles de formes naturelles Fonctions de Weierstrass-Mandelbrot : continues et nulle part dérivables! WM λ,h (t) = + k= λ kh sin(λ k t), où λ > 1 et H ]0, 1[ 6 5 Fonctions de Weierstrass de dimension fractale (=2-H) 1.5 et 1.7 Objets fractals : définition? Courbe de Von Koch Objets de curiosité pour les mathématiciens de la fin du XIXème (Cantor, Peano) E 0 Notion rendue célèbre par Benoit Mandelbrot dans les années 70. E 1 Un objet fractal est un objet qui présente des irrégularités à toutes les échelles 8 7 Une structure fractale est la même de près comme de loin. E 2 la même = similitude géométrique, statistique, via des transformations, etc... Caractéristiques : L(E k ) = 4 3 l(e k 1) = ( 4 3 )k l(e 0 ) self similarité de rapport 1 3 fonction nulle part dérivable

3 Courbe de Peano Triangle de Sierpinski E 0 E 0 E 1 Caractéristiques : L(E 0 ) = 1 E 1 9 L(E 1 ) = 3 10 E 2 L(E 2 ) = 9 E 2 Dense dans un carré. S(E k ) = 3 4 S(E k 1) = ( 3 4 )k l(e 0 ) 0 Caractéristiques : self similarité de rapport 1 3 intérieur vide. Mesurer la longueur de la côte de Bretagne Notion de dimension fractale Intuition : pour mesurer la dimension d un objet on effectue un pavage avec des pavés de mesu On cherche D E. µ E (ǫ) = ǫ D E Pour une dimension arbitraire D : 1ère méthode : on utilise un compas d ouverture m : L(m) m 0 2ème méthode : on recouvre la côte par des cercles de rayon < m. Même difficulté. La notion de dimension fractale (=dimension non entière) permet de caractériser ces courbes. M(D) = Nǫ D si D < D E M(D) pour ǫ 0 si D > D E M(D) 0 pour ǫ 0 D E = lim ǫ 0 log[µ E (ǫ)] log(1/ǫ) N = nombre de pavés Si D E n est pas entier, on parle de forme fractale.

4 Exemple : un carré de côté L FRACTALES DETERMINISTES : Construction itérative ENSEMBLE DE CANTOR TRIADIQUE TAMIS DE SIERPINS Nombre de pavés de côté ǫ nécessaires pour le recouvrir : (L/ǫ) 2 état initial M = Nǫ D = L 2 ǫ D 2 D = 2 et M = L 2 générateur division /3 1/2 Rapport déchelle = λ = rapport des tailles pour 2 résolutions successives. 3 2 Rapport de masse = β = proportion de masse conservée FRACTALES DETERMINISTES Fractales auto-affines : rapports d échelle différents en x et y ENSEMBLE DE CANTOR TRIADIQUE TAMIS DE SIERPINSKI Lx Ly Lx/4 Lx/4 Lx/ Ly/3 Ly/2 Ly/2 β=2/3 β=3/4 β=2/3 D = log2 log3 = ensemble fermé qui ne contient pas d intervalles et dont chacun des points est un point d accumulation D = log3 log2 = ensemble d intérieur vide D = Ln 12 / Ln 4 D = Ln 8 / Ln 4 D = Ln 6 / Ln 3

5 Calcul de la dimension fractale pour les fractales déterministes géométriques FRACTALES STATISTIQUES GEOMETRIQUES rapport d échelle λ rapport de masse β dimension topologique de l espace D T D F = D T + logβ logλ Construction itérative : Plusieurs configurations sont possibles pour le générateur. 17 Ensemble de Cantor : D F = 1 + log(2/3) log3 = log2 log3 18 La configuration est choisie par tirage aléatoire à chaque étape. Triangle de Sierpinski : D F = 2 + log(3/4) log2 = log3 log2 Fractale homogène : les rapports de masse et d échelle sont strictement conservés Les cascades multiplicatives Initiateur Generateurs Un segment parent peut créer λ enfants (λ est le rapport d échelle). Rapport de masse β = 3/4 Chaque segment enfant i est gardé avec une probabilité p i. Exemple pour λ = 4 : (p 1, p 2, p 3, p 4 ) = (1, 1, 1, 0) (1, 0.75, 0.75, 0.5) (1, 0.5, 0.5, 0.25)

6 Les cascades multiplicatives de type β Utiliser l analyse fractale Nombre de survivants à l étape suivante : Proba ( on garde le i me segment ) = β en physique, en chimie, en traitement du signal, des images. < N >= λβ On analyse les phénomènes complexes en essayant de trouver les quantités pertinentes qui pos une propriété d invariance d échelle généralisée. 21 Le rapport de masse est statistiquement conservé. 22 Une grandeur f ǫ, fonction de la résolution ǫ possède une invariance déchelle généralisée si Si β = λ c f ǫ = G ǫ /ǫ[f ǫ ] D F = log < N > logλ = 1 c Exemple : longueur d une courbe fractale Analyse fractale : le principe Longueur d une courbe fractale de dimension D mesurée à la résolution epsilon : Identifier les variables qui suivent une loi d échelle. L ǫ = L 0 ǫ 1 D Donner une expression de l opérateur d invariance G. 23 Ici, l opérateur G est très simple. L ǫ = ( ǫ ǫ )1 D L ǫ 24 De nombreuses propriétés découlent du comportement d invariance d échelle. Exemple : dans un amas de percolation, les modes de vibration sont localisés suivant une loi qu peut déduire de D.

7 Quelques domaines d application Physique : percolation, fractures de matériaux. 25 Prédiction : Traitement du signal : finance (pricing d options), trafic routier. segmentation d images, synthèse vocale. 26 NOTIONS DE DIMENSION crédits photos Michel Lapidus δ-recouvrement Mesure de Hausdorff Soit F un sous-ensemble de IR n, et s un réel positif ou nul. δ, δ δ < δ H s δ (F) Hs δ (F) 27 Soit δ un réel positif. Un δ-recouvrement de F est un ensemble dénombrable d ensembles U i de diamètre inférieur ou égal à δ tel que F U i. i = 1 On définit : H s δ (F) = inf U i s, {U i } est un δ-recouvrement de F i = 1 C est-à-dire qu on regarde tous les δ-recouvrements de F, et on cherche à minimiser la somme des puissance s-ième des diamètres. 28 Quand δ décroît, la classe des recouvrements admissibles diminue, et donc l infimum augmente précisément H s δ (F) est une fonction non croissante de δ, elle a donc une limite en δ = 0+ : H s (F) = δ lim 0 Hs δ (F) Cette limite existe, pour tout sous-ensemble F de IR n, dans IR + {+ }. H s (F) est appelé la mesure de Haussdorff s-dimensionnelle de F.

8 Exemple 1 Exemple 2 Dans IR n, F = {a 1, a 2,..., a k }. Quelle est la mesure de Hausdorff de dimension 0 d un ensemble discret? H 0 (F)? F = [a, b] IR Quelle est la mesure de Hausdorff de dimension 1 d un intervalle? H 1 ([a, b])? 29 On prend un recouvrement particulier : U i = {centré en a i, de rayon δ 2 } Quand δ 0 : Hδ(F) s = inf{...} i H s (F) = 0 si s > 0 H 0 (F) k si s = 0 U i s = kδ s 30 On considère le recouvrement par n intervalles, n b a pour b a : δ U i = [a + (i 1)δ, a + iδ] de taille δ, U n = [a + (n 1)δ, b] de taille < δ Alors U i s nδ s (b a)δ s 1. H Quand δ 0 : s (F) = 0 si s > 1 H 1 (F) (b a) si s = 1 Réciproquement, il faut toujours au moins k intervalles pour recouvrir F à partir du moment où δ < inf{d(a i, a j )}, donc H s δ (F) k Réciproquement, pour δ = b a, F est son propre δ-recouvrement. Pour tout δ b a, H 1 δ (F) (b a). Donc, quand δ 0 H 1 (F) (b a) H 0 (F) = k H 1 (F) = b a Propriété d échelle de la mesure de Hausdorff Propriétés des ensembles transformés F IR n, λ > 0 H s (λf) = λ s H s (F) Soit F IR n. Si f : F IR n, est Höldérienne, c est-à-dire C, α tel que : (x, y) f(x) f(y) C x y λf = {λx, x F } alors H s/α (f(f)) C s/α H s (F) en particulier, si α = 1, c est-à-dire si f est Lipschitzienne : 31 Soit {U i } un δ-recouvrement de F, alors {λu i } un λδ-recouvrement de λf 32 alors H s (f(f)) C s H s (F) δ λu i s λ s U i s Hλδ s (λf) λs Hδ s (F) δ 0, H s (λf) λ s H s (F) Le même raisonnement pour {1/λU i } conduit à l autre inégalité, d où le résultat. Si de plus C=1, f est une isométrie : alors H s (f(f)) = H s (F) Conservation de la mesure de Hausdorff par transformation par une isométrie.

9 Démonstration pour une fonction Höldérienne Comportement de la mesure de Hausdorff vis à vis de la dimension s Soit F IR n. Si f : F IR n, est Höldérienne, c est-à-dire C, α tel que : (x, y) f(x) f(y) C x y α Soit {U i } un δ-recouvrement de F, alors {f(u i )} un Cδ α -recouvrement de f(f) : Hδ(F) s = inf U i s, {U i } δ recouvrement de F i = 1 33 f(u i ) s C s U i sα i=1 i=1 34 Pour δ < 1, H s δ est une fonction non croissante de s, de même pour Hs : s < s, δ < 1 U i < 1 U i s U i s donc Hδ s (F) Hs δ (F) infimum : α > 0 δ 0 H s Cδ α(f(f)) Cs H sα δ (F) H s (f(f)) C s H sα (F) Soit t > s : U i t δ t s i i U i s donc : H t δ(f) δ t s H s δ(f) Si H s (F) <, alors H t (F) = 0 pour t > s, Si H t (F) <, alors H s (F) = Dimension de Hausdorff Mesure de Hausdorff H s (F) a donc l allure suivante : dim H F = inf{s H s (F) = 0} = sup{s H s (F) = } s H (F) donc : H s (F) = si s < dim H F H s (F) = 0 si s > dim H F pour s = dim H F, H s (F) peut valoir 0, ou une valeur finie. dim H F s Si s a une valeur finie, F est un s-ensemble : les objets usuels sont des s-ensembles. Exemple : F = disque unité dans IR 3. C est-à-dire qu il y a une valeur critique s telle que pour t < s, H t (F) =, et pour t > s, H t (F) = 0. Cette valeur critique est appelée dimension de Haussdorff de F. H 1 (F) = H 2 (F) = Π aire de F 4 H 3 (F) = 0 Ainsi dim H (F) = 2.

10 Propriétés de la dimension de Haussdorff Propriété si F < IR n est ouvert, alors dim H F = n (car F contient une boule de volume n-dimensionnel non nul). 2. si F est une variété différentiable de dimension m, dim H F = m. 3. si E < F, dim H E dim H F 38 dim H F i sup (dim H F k ) k (F k F i ) i = 1 1 i dim H F i sup (dim H F i ) i = 1 1 i 4. Soit F 1,... F j... un ensemble dénombrable de sous-ensembles de IR n, alors : dim H F i = sup (dim H F i ) i = 1 1 i 5. Si F est dénombrable, dim H F = 0. Soit s > dim H F i, i (on se place au dessus de la valeur de coupure) H S (F i ) = 0 H s ( F i ) H s (F i ) = 0 i = 1 (on se trouve donc aussi au dessus de la valeur de cou F i s dim H i = 1 sup (dim H F i ) 1 i Propriété 5 Dimensions des ensembles transformés F i = {x i } H 0 (F) = 1 dim H F i = 0 Si f est Höldérienne dim H [f(f)] 1 α dim H(F) 39 F i = {x 1,..., x n,...} = i = 1 F i 40 Si f est Lipschitzienne (α = 1) Si f est bi-lipschitzienne dim H [f(f)] dim H (F) dim H [f(f)] = dim H (F) D après 4 : dim H F = sup dim H F i = 0 Pour deux ensembles de dimensions différentes, il n existe pas de transformation bi-lipschit pour passer de l un à l autre.

11 Démonstration Ensemble de Cantor triadique Mesure de Hausdorff s > dim H F H s (F) = 0 H s/α [f(f)] = 0 H s/α [f(f)] c s/α H s (F) s α est au dessus de la valeur de coupure E 0 = [0, 1] [ E 1 = 0, 1 ] 3 [ E 2 = 0, 1 9 [ 2 ] ] 3, 1 [ 2 9, 1 3 ] [ 6 9, 7 ] [ ] 8 9 9, 1 41 dim H [f(f)] s α 42 E k contient 2 k intervalles de longueurs 3 k. dim H [f(f)] 1 α dim H(F) E = k = 0 E k E est composé d une infinité non dénombrable de points. x E, ε > 0, B ε (x) contient une infinité de points de E. Ensemble de Cantor triadique Variante bidimensionnelle de l ensemble de Cantor Caractérisation de E à l aide de la décomposition en base 3 : x E 0 : x = a a a x E 1 : a 1 = 0 ou 2 43 x E 2 : a 1 = 0 ou 2 et a 2 = 0 ou 2 44 E 0 E 1 E 2 etc... A chaque étape, on coupe chaque carré en 16 sous-carrés, dont on en conserve 4, comme illustr E = points dont le développement en base 3 ne contient pas 1. Alors 1 H 1 (F) 2 et donc : dim H F = 1

12 Démonstration Ensemble de Cantor triadique 1. On couvre E par 4 k carrés de taille 4 k donc de δ = 4 k 2 à l étape E k alors H 1 δ(e) 4 k δ 4 k 4 k 2 Quand k, δ 0 donc H 1 (E) Soit p la projection de E sur l axe des x. Alors dim H E = log2 log3 1 2 Hs (F) 1 On a : p(x) p(y) x y = p est Lipschitzienne. Or : p(e) = [0, 1] 1 = L[0, 1] = H 1 [0, 1] = H 1 (p(e)) H 1 (E) Démonstration Une autre dimension fractale : la dimension de boîtes E se divise en 2 parties E L [ 0, 1 3], ER [ 2 3, 1] Soit F < IR n borné non vide. 47 E L et E R sont identiques à E, avec 1 facteur d échelle de 1. De plus : 3 E = E L E R et E L E R Donc : parce que E L = 1 3 E, E R = 1 3 E. s, H s (E) = H s (E L ) + H s (E R ) = ( ) s ( ) s 1 1 H s (E) + H s (E) Soit N δ (F) le nombre minimum d ensembles de diamètres = δ pouvant couvrir F. La dimension inférieure de boîtes est : La dimension supérieure de boîtes est : dim B F = lim δ 0 dim B F = lim δ 0 log N δ (F) log δ logn δ (F) log δ Si H dim H(E) est finie, alors 1 = 2 ( 1 3) s = s = log 2/ log 3 Si ces 2 limites sont égales, la dimension de boîtes est : dim B (F) = lim δ 0 log N δ (F) log δ (La démonstration que H dim H(E) est finie est omise)

13 Rappel Définitions équivalentes lim x 0 f(x) = lim r 0 (sup{f(x), 0 < x < r}) Soit les hypercubes linéaires de taille δ (i.e. définis sur une grille) : [m 1 δ, (m 1 + 1)δ]... [m n δ, (m n + 1)δ] 49 f, limf et limf existent dans IR {, + }. Si lim x 0 f = lim x 0 f alors lim x 0 f existe. lim f x 0 50 On peut se restreindre à ces recouvrements, c est-à-dire : dim B (F) = lim δ 0 dim B (F) = lim δ 0 log N δ (F) log δ log N δ (F) log δ lim f x 0 avec N δ (F) = nombre d hypercubes de taille δ qui intersectent F. Définitions équivalentes Ensemble δ-parallèle On a en fait les équivalences suivantes : dim B = lim δ 0 log N δ (F) log δ dim B = lim δ 0 log N δ (F) log δ F δ est l ensemble des points qui se trouvent à une distance maximale δ de F : A δ = {x/ x y δ pour y A} 51 où N δ (F) est : Le + petit nombre de boules fermées de rayon δ qui couvrent F. Le + petit nombre de cubes de taille δ qui couvrent F. Le nombre de cubes de taille δ qui intersectent F. Le + petit nombre d ensembles de diamètre δ qui couvrent F. Le + grand nombre de boules disjointes de rayon δ qui ont leur centre sur F. 52 F δ F dim B F = n lim δ 0 log Vol n (F δ ) log δ dim B F = n lim δ 0 log Vol n (F δ ) log δ

14 Exemple : ensemble de Cantor Comportements aux fontières des ensembles Soit F la fermeture de F. dim B F = dim B F = log 2/ log 3 dim B F = dim B F dim B F = dim B F 53 Démonstration : On recouvre E k par 2 k intervalle de taille 3 k. N δ (F) 2 k si 3 k δ 3 k+1 54 Démonstration : dim B F = lim δ 0 log N δ (F) log δ lim k log 2 k log 2 = log 3k 1 log 3 Soit B 1,...,B 2, un ensemble de boules fermées de rayon δ. D autre part, tout intervalle de longueur δ, 3 k+1 δ 3 k, intersecte au plus un des intervalles de longueur 3 k de F. Il y a 2 k tels intervalles, donc il faut au moins 2 k intervalles de longueur δ pour couvrir F. k k Si B i recouvre F, comme B i est fermé, il recouvre aussi F. i 1 k = 1 Donc : N δ (F) 2 k = dim B (F) log 2/ log 3. Donc le plus petit nombre de boules de rayon δ qui recouvrent F est suffisant pour recouvrir F dim H et dim B diffèrent Si F est dense dans un ouvert de IR n, alors dim B F = n En particulier F = Q [0, 1] : 55 comme F = [0, 1], on a dim B F = 1 dim H F = 0 56 CALCUL PRATIQUE DES DIMENSIONS

15 Méthodes des boîtes Méthodes des couvertures On recouvre le plan par une grille de pas ε, ε grand. On compte le nombre de cases N(ε) qui intersectent la courbe. U f L On pose U(x, 0) = L(x, 0) = f(x) Et on définit récursivement U et L par : 57 Puis, on utilise une grille de résolution moitié, et on recalcule N = N( 2 ε).... Et ainsi de suite jusqu à la résolution du pixel. 58 x U(x, ε + 1) = max(u(x, ε) + 1, L(x, ε + 1) = min(l(x, ε) 1, max x 1<x <x+1 min x 1<x <x+1 Si la courbe est fractale, le graphe de Log(N(ε)) en fonction de Log( ε 1 ) est une droite de pente D. La couverture est la région comprise entre U et L, de surface S(ǫ). Cette fois, on s intéresse au rapport L(ε) = S(ε) 2ε. D est encore la pente de LogL versus Log( 1 ε ). Méthodes des variations Méthode morphologique C est un raffinement de la méthode précédente. 59 On appelle ε oscillation d une fonction f de C 0 [0, 1] la quantité : L ε-variation est définie par : V ε (x) = sup x ε<x <x+ε f(x ) inf x ε<x <x+ε f(x ) 60 Elle fonctionne sur le même principe que la méthode des couvertures, mais au lieu d utiliser U on définit la surface par des dilatations successives de la courbe. V (ε, f) = 1 0 v ε (x)dx D est la pente de (log 1 ε, log( 1 ε 2 V (ε, f))).

16 Méthode spectrale ENSEMBLES DE JULIA ET DE MANDELBROT 61 Quand la fractale peut être assimilée à un mouvement brownien, on montre que sa densité de puissance S(f) est proportionnelle à 1 f 2D+1 62 Pierre Fatou ( ) Gaston Julia ( ) Benoit Mandelbrot (192 Systèmes dynamiques Comportements chaotiques, lien avec la géométrie fractale Certains systèmes simples peuvent être modélisés comme une suite d états : Ce sont des phénomènes qui évoluent avec le temps. x 0, x 1 = f(x 0 ),..., x n+1 = f(x n ),... Exemple : en météorologie, en économie, en génétique des populations, en finance, sur internet,... On définit l orbite d un point x 0 par l ensemble des points de la suite précédente. 63 Il est parfois très difficile de faire des prévision sur ces systèmes. On a affaire à des comportements chaotiques, même pour des modèles très simples. 64 Orbite stable : si on change légèrement x 0 en x 0 + ǫ, l orbite résultante se comporte de façon s re à celle de x 0. L accumulation d erreurs d estimation ou de calcul rendent ces systèmes très sensibles aux conditions intiales : conditions initiales x 0 un comportement donné. conditions intiales x 0 + ǫ un comportement totalement différent. Les orbites instables correspondent à des comportements chaotiques. Très souvent l ensemble des x 0 ayant une orbite instable correspond à un ensemble fractal. On peut ainsi définir des ensembles fractals à l aide de systèmes dynamiques.

17 Systèmes dynamiques complexes Calcul de l ensemble de Julia Méthode directe : BSM = Boundary Scanning Method Représentation des points du plan par leur coordonnées complexes : z = x + iy C Principe : Pour chaque point de l image, on simule l orbite associée sur un certain nombre d tions. Si l orbite s échappe de l image, le point reste blanc, sinon il est coloré en noir. ouz = ρ(cosθ + isinθ) L ensemble de Julia est le contour des zones noires. 65 f(z) = z 2 + c f(x, y) = (x 2 y 2 + c x, 2xy + c y ) pour c = c x + ic y L ensemble de Julia associé à c est l ensemble des états initaux z 0 = x 0 + iy 0 pour lesquels le système est instable (= ensemble chaotique). 66 Exemple : Domaine : x et y < 2, 30 itérations du système, si f n (x + iy) > 3 le point est blanc, noir sinon. Les couleurs sont données par la vitesse de divergence dy système, mesurée par exemple par iy), ou par le numéro d itération auquel le système séchappe. Exemples Exemples 67 x i X X 2 + i

18 Ensemble des Julia généralisés Exemples On peut construire des ensembles de Julia à partir d autres fonctions complexes : quotients de polynômes : rational maps, 69 fonctions transcendentales : λe 2 λsinz = λ 1 2i (eiz e iz ) λcosz = λ 1 2 (eiz + e iz ) 70 z n+1 = Csin(z n ), C = i Fractale de Newton : z n+1 = z n P(z n )/P (z n ), P(z) = z 5 1 Ensemble de Mandelbrot Construction de l ensemble de Mandelbrot Si on considère l ensemble de Julia obtenu par BSM, K c, on peut distinguer 2 cas : K c est en un morceau (complètement connecté), K c est constitué d une infinité de points ( ensemble de Cantor). On démontre que l ensemble de Mandelbrot se définit aussi par : M = {c C tq c K c } = {c C tq (0, 0) K c } Benoît Mandelbrot a défini l ensemble fractal M = {c CK c est complètement connecté} Si l orbite z 0 = c, z 1 = c 2 + c,... (ou de façon équivalente z 0 = 0, z 1 = c, z 2 = c 2 + c,...) est alors c M Les méthodes de calcul de l ensemble de Mandelbrot son similaires à celles des ensembles de Ju Ensemble de Mandelbrot Zoom sur une frontière de M

19 L ensemble de Mandelbrot résume tous les ensembles de Julia Les mathématiciens étudient différentes caractéristiques de l ensemble de Mandelbrot Autres ensembles de Mandelbrot Zoom sur l ensemble de Mandelbrot Ensemble de Mandelbrot avec un polynôme de degré 4 : z 4 + c

20 77 Zoom sur l ensemble de Mandelbrot