TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2. Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices donnés en annexe

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1 TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2 Revoir les définitions, propriétés, théorèmes. de cours Retravailler les DS, TD, fiche d exercices à l aide des corrigés Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices donnés en annexe Dans la semaine de la rentrée, vous aurez un devoir surveillé avec des questions de cours et des exercices similaires à ceux ciblés ci-dessous Exercice 1 (TD 3) : Soit la matrice A = et A = B + 2I Calculer B puis montrer que pour tout entier naturel n, A n = 2 n I + n2 n 1 B. 2. Retrouver l expression de A n à l aide de la formule du binôme de Newton. Exercice 2 (TD 3) : Soit A = 3 2, I = et J = Soit n un entier naturel au moins égal à 1. Conjecturer puis démontrer une expression de J n en fonction de n et de la matrice J. 2. Exprimer A, A 2 et A 3 en fonction des matrices I et J. 3. Vérifier que pour tout entier naturel n 1, on a : Exercice 3 (TD 4) : Soit u la suite définie par A n = I + 5 n 1 J. 2 u 0 = 3 (u n IN u n+1 = n ) 2 2 u n 1 1. Montrer, que pour tout n IN, u n 1 2. Etudier la monotonie de la suite u 3. En déduire qu elle converge et déterminer sa limite. 4. Ecrire un programme permettant de déterminer le plus petit entier naturel n tel que : u n

2 Exercice 4 (TD 4) : Soit u la suite définie par u 0 > 0 n IN u n+1 = u n + 1 u n 1. Montrer, que pour tout n IN, u n > 0 2. Etudier la monotonie de la suite u 3. Montrer, que pour tout n IN, (u n ) 2 2n + (u 0 ) 2 puis déterminer lim n + u n 4. On pose u 0 = 2. Ecrire un algorithme qui détermine le rang à partir duquel u n 10 3 Exercice 5 (TD 4) : Soit u la suite définie par u 0 0 n IN u n+1 = 2 (u n) u n 1. Montrer que : n IN u n 0 2. Etudier la monotonie de la suite u. 3. La suite est-elle convergente? Calculer sa limite. 4. Montrer que : n IN u n+1 2 u n 5 Puis que n IN u n ( 2 5 )n u 0 5. Retrouver ainsi le résultat de la question 3 Exercice 6 (TD 5) : On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 2 u 1 = 1 u 2 = -1 n IN u n + 3 = 2 u n u n u n On considère les matrices A = et P = Montrer que P est inversible et calculer P -1. Que vaut P -1 A P? 2. On pose D = P -1 A P. Calculer D. En déduire D n. 3. Montrer que : n IN D n = P -1 A n P. En déduire les coefficients de A n. 4. Pour tout n de IN on pose X n = u n + 2 u n + 1 u n a. Vérifier que : n IN X n + 1 = A X n b. En déduire X n en fonction de A n et de X 0 c. Déterminer la valeur de u n en fonction de n.

3 Exercice 7 (TD 5) : On considère les fonctions f et g définies sur ]0 ; + [ par : f(x) = 2x + 3 lnx x 2 et g(x) = 2x 3 6 lnx Etude du signe de g a. Calculer g (x) lorsque x ]0 ; + [ b. Vérifier que l équation g (x) = 0 admet une unique solution p que l on précisera et construire le tableau de variations de g. c. Calculer g(p) puis donner le signe de g(x) lorsque x ]0 ; + [. 2. Etude asymptotique de f a. Déterminer les limites de f en 0 et en + f(x) b. On note a = lim x + x Calculer a et b. et b = lim [ f(x) ax ] x + c. On dit que la droite d équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de + lorsque lim [ f(x) (ax + b)] = 0. x + Déterminer l équation de l asymptote à la courbe de f au voisinage de + et étudier la position de cette asymptote par rapport à la courbe de f. 3. Représentation graphique de f a. Démontrer que : x > 0 f (x) = g(x) x 3 b. Dresser le tableau de variations de f c. Tracer une allure de la représentation graphique de f. Exercice 8 (TD 6) : On donne la matrice suivante : A = Calculer A 2 et déterminer deux réels a et b tels que A 2 = aa + bi 3 2. Montrer que pour tout n IN, il existe un réel a n tel que A n = ( 1 3 a n)a + ( a n)i 3 3. Vérifier que la suite (a n ) est géométrique 4. En déduire les expressions de a n puis de A n en fonction de n.

4 Exercice 9 (TD 6) : On considère la matrice A = Calculer A 2. Expliciter deux réels a et b tels que A 2 = a.a + b.i. 2. Montrer que, pour tout n, il existe deux réels a n et b n tels que A n = a n.a + b n.i. 3. Montrer que : n IN a n + 1 = 6 a n + b n et b n + 1 = - 5 a n 4. Montrer que (a n ) est une suite récurrente linéaire d ordre 2, puis expliciter a n en fonction de n. 5. En déduire l expression de b n en fonction de n et déterminer tous les coefficients de la matrice A n. Exercice 10 (TD 7) : Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = xe x 1. Dresser le tableau de variations de f. 2. Donner, suivant la valeur du réel a fixé, le nombre de solution de l équation f(x) = a. 3. Montrer que l équation f(x) = 1 n (n 2) admet une unique solution positive u n. 4. Montrer que la suite (u n ) est décroissante. Que peut-on en déduire? 5. Montrer que : n 2 0 < u n < 1 n Déterminer alors la limite de (u n ). Exercice 11 (TD 8) : On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par 1 f (x) = exp [ (1 + ) ln x] x f (0) = 0 On désigne par C la courbe représentative de f. 1. Montrer que f est continue sur [0 ; + [. 2. On admet que f est dérivable sur [0 ; + [. a. Montrer que : x > 0 ln x x + 1 Aide : on considèrera la fonction définie sur ]0 ; + [ par g(x) = ln x (x + 1) b. Calculer f (x) pour tout x > 0 et dresser le tableau de variations de f. 3. a. Déterminer la limite de f en +

5 b. Déterminer la limite de exp ( ln x x ) 1 ln x x c. Etudier la nature de la branche infinie de C en + quand x tend vers + 4. Déterminer l équation de la tangente à C au point d abscisse 1. Exercice 12 (TD 9) : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x 2 1 e -2x si x 0 0 si x = 0 1. Montrer que f est continue sur IR et de classe C 1 sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; + [ 2. Montrer que x 0 f (x) = 2x 1 e -2x 2 e -2x ( x 1 e -2x ) 2 3. En déduire que f est de classe C 1 sur IR Exercice 13 (TD 9) : Soit f la fonction définie sur ]-1 ; + [ par f(x) = 1 + ln (x + 1) 1. Etudier les limites de f. 2. Dresser le tableau de variations de f. 3. On considère la fonction h définie sur [0 ; + [ par h(x) = f(x) x. Montrer que l équation h(x) = 0 admet une solution unique dans l intervalle [1 ; 3]. (On ne cherchera pas à calculer ). 4. On définit la suite u par : u 0 = 1 n IN u n + 1 = f (u n ) a. Montrer que : n IN u n [1 ; 3] b. Montrer que : x [1 ;3] f (x) 1 2 c. Démontrer que : n IN u n u n En déduire que : n IN u n ( 1 2 )n 1 d. En déduire que la suite u converge et calculer sa limite.

6 Exercice 14 (TD 10) : Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher. On appelle " épreuve " la séquence suivante : On tire une boule de l'urne, puis : Si la boule tirée est bleue, on la remet dans l'urne. Si la boule tirée est rouge, on ne la remet pas dans l'urne mais on met une boule bleue dans l'urne à sa place. 1. Introduire des événements adaptés à l'expérience. 2. On effectue une seule épreuve, et on note Y 1 la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges encore dans l'urne à l'issue de cette épreuve. Donner la loi dey 1 et préciser son espérance On effectue successivement deux épreuves et on note Y 2 la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges encore dans l'urne à l'issue des deux épreuves. Donner la loi de Y2 et préciser son espérance 5. On effectue maintenant une succession de n épreuves, avec n un entier supérieur ou égal à 2. On note Y n la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges encore dans l'urne à l'issue résultat? de ces n épreuves. a. Quelles sont les valeurs possibles de Y n? b. Décrire l'événement ( Y n = 2) puis calculer P ( Y n = 2). c. Décrire l'événement ( Y n = 1). k n d. Montrer que P( Y n = 1) = k0 3 3 e. En déduire la valeur de P( Y n = 1) puis celle de P( Y n = 0). Préciser la limite de P( Y n = 0) quand n tend vers + : aurait-on pu prévoir le nk Exercice 15 ( TD 12) : Soit n 2. Deux joueurs A et B disposent d une pièce pour laquelle la probabilité de faire «face» à chaque lancer est égale à 1. Chacun des joueurs lance la pièce n 2 fois. On désigne par X, Y, Z et T les variables aléatoires suivantes : X représente le nombre de «face» obtenus par le joueur A Y représente le nombre de «face» obtenus par le joueur B Z = X + Y T = X Y 1. Déterminer la loi de X et la loi de Y. 2. a) Déterminer la loi de Z

7 b) En déduire la probabilité de l événement [Z = 1] puis de l événement [Z = n] 3. a) Exprimer l événement [Z = n] à l aide des événements [X = j] et [Y = k] où k sera exprimé en fonction de j. b) En déduire la probabilité de [Z = n] n c) puis la valeur de la somme S = n j n n j j = 0 4. a) Exprimer l événement [T = 0] à l aide des événements [X = j] et [Y = k] où k sera exprimé en fonction de j. b) Déduire alors la probabilité de l événement [T = 0] (on utilisera 3.c.) 5. Les variables Z et T sont-elles indépendantes? Exercice 16 (TD 12) : Pour tout n entier naturel non nul, on pose : 1. Montrer que si t 1, alors 0 exp(-nt 2 ) exp(-nt) e n e -2n 2. En déduire que : 0 u n n 3. Étudier la convergence de la suite (u n ) Exercice 17 (TD 12) : 1. Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = xe -x + e -x - 1. a. Étudier le sens de variation de f sur IR. b. En déduire le signe de la fonction f. 2. Soit la fonction g définie sur l intervalle ]0 ; + [ par g(x) = 1 e-x x a. Démontrer que la fonction g est décroissante sur ]0 ; + [. b. Étudier son signe sur sur ]0 ; + [. 3. Soit la suite (J n ) définie pour tout entier naturel n non nul par : a. Comparer g(n), g(x) et g(n + 1) pour n x n + 1. b. En déduire un encadrement de J n. c. Démontrer que la suite (J n ) est décroissante. d. Déterminer la limite de la suite (J n ). a + 2b Exercice 18 (TD 13) : Soit E = { -b a b, (a, b) IR 2 } 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 3,1 (IR) 3 2. Le vecteur X = 1 est-il dans E? 1

8 3. Déterminer une base de E et en déduire sa dimension Montrer que la famille ( ) est une autre base de E. 1 Exercice 19 (TD 13) Soit A = et P = Première Partie 1. Déterminer les valeurs du réel pour lesquelles la matrice A - I n est pas inversible. 2. Montrer que l ensemble E = { X M 3,1 (IR) / A X = 2X } est un espace vectoriel. 3. Déterminer une base de E La famille ( 0, 1, 1 ) est-elle une base de M 3,1 (IR)? Deuxième Partie 1. Montrer que P est inversible et calculer P Déterminer T telle que P -1 A P = T. 3. Montrer que pour tout n IN *, il existe un réel n tel que T n = 2 n 0 0 n 2 n On donnera le réel 1 ainsi qu une relation entre n + 1 et n 4. Montrer que : n IN * n = n 2 n 1 5. En déduire l expression matricielle de A n en fonction de n Exercice 20 (TD 14) : On s intéresse dans cet exercice à l étude de trois jeux présents dans une fête foraine. Premier jeu Pour ce premier jeu de hasard, la mise pour chaque partie est de 1 euro. L observation montre qu une partie est gagnée avec la probabilité de 1 10, perdue avec la probabilité de Toute partie gagnée rapporte 3 euros. Les différentes parties sont indépendantes. Une personne décide de jouer N parties (N 2). On note X N la variable aléatoire représentant le nombre de parties gagnées et Y N la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. 1. Donner la loi de X N ainsi que la valeur de son espérance et de sa variance.

9 2. Exprimer Y N en fonction de X N. En déduire la valeur de son espérance. Commenter. 3. On suppose dans cette question que N = 50. Déterminer la probabilité que le joueur perde 20 euros. Deuxième jeu Deux joueurs A et B lancent indéfiniment une pièce non truquée. Le premier qui obtient pile a gagné. On s intéresse au temps d attente de ce premier pile et donc on introduit les variables X A (resp. X B ) égales au nombre de lancers nécessaires à l obtention du premier pile pour le joueur A (resp. le joueur B). Enfin soit Y = min (X A, X B ) où min (X A, X B ) est le plus petit des deux nombres X A, X B 1. Déterminer les lois de X A et X B et donner espérance et variance. 2. Calculer, pour tout k IN, P ( [X A > k] ) 3. Déterminer Y(Ω) puis montrer que : k IN P ( [Y > k] ) = (1/2) 2k 4. En remarquant que : k IN* [Y > k 1] = [Y = k] [Y > k], déterminer la loi de Y. Troisième jeu Pour ce dernier jeu, le participant effectue des tirages avec remise dans une urne contenant une proportion b de boules blanches et r de boules rouges avec 0 < b < 1, 0 < r < 1 et b + r = 1 Le gain étant fonction du nombre de lancers nécessaires à l obtention du second changement de couleur, on étudie les variables aléatoires X, égale au nombre de lancers nécessaires à l obtention du premier changement de couleur puis Y, égale au au nombre de lancers nécessaires à l obtention du second changement de couleur. 1. Préciser les valeurs possibles pour X et Y. 2. Montrer que : k IN\{0 ; 1} P ( [X = k] ) = b k 1 r + r k 1 b 3. Montrer que X admet une espérance et que E (X) = 1 r + 1 b 1 4. Pour tout k [2 ; + [ et j [3 ; + [, déterminer P ( [X = k] [Y = j] ). (on pensera à distinguer deux cas : j k et 2 k < j). 5. En utilisant la formule des probabilités totales appliquée au système complet d événement (X = k ) k 2, déterminer alors la loi de Y.

10 Exercice 21 (TD 14) : Soient les matrices A = D = et P = Soit C(D) = {M M 3 (IR), DM = MD} a. Montrer que C(D) est un espace vectoriel b. Déterminer une base de C(D) et sa dimension. 2. Montrer que P est inversible et que PD P -1 = A 3. On note C(A) = {N M 3 (IR), AN = NA} Montrer que N C(A) P -1 NP C(D) 4. En déduire une base et la dimension de C(A) Exercice 22 (chapitre sur les systèmes) : Résoudre les systèmes suivants par la méthode du pivot de Gauss y + z = 3 1. Résoudre dans IR 3 le système (S 1 ) : x + 2y + 3z = 8 x y + z = 0 2. Résoudre dans IR 3 le système (S 2 ) : 3. Résoudre dans IR 3 le système (S 3 ) : 4. Résoudre dans IR 3 le système (S 4 ) : 5. Résoudre dans IR 3 le système (S 5 ) : x y + 2z = 1 4 2x + y + z = 1 4x + 2y + 8z = 1 2v w = 1 2u 4v + 3w = 1 u + v 3w = 6 u + w = 1 v + w = 0 u + v = 1 2u + 5v + 3w = 3 2x y + z = 0 x + y 2z = 0 4x + y 3z = 0

11 Exercice 23 (Chapitre sur les VARD à densité) : 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x 2 si x 1 0 si x < 1 1. Montrer que f est une densité. 2. On considère une variable aléatoire X dont f est une densité. Montrer que X n admet pas d espérance. Exercice 24 (Chapitre sur les VARD à densité) : x si -1 x 1 On considère la fonction f définie par f(x) = 0 sinon 1. Montrer que f peut être considéré comme une densité d une variable aléatoire X. 2. Montrer que X admet une espérance et la déterminer. 3. Déterminer la fonction de répartition de X. Exercice 25 (Chapitre sur les VARD à densité) : Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition F est définie par : x IR F(x) = 0 si x < 0 1 exp(- x2 2 ) si x 0 1. Montrer que X est une variable à densité. 2. Déterminer une densité de X. Exercice 26 (Chapitre sur les intégrales généralisées) Etudier la nature des intégrales suivantes A = + x 0 (x 2 + 3) 2 dx B = 0 + t exp (-t 2 ) dt C = + dt e t lnt D = + lnx 1 x 2 dx E = 0 + u 3 exp (-u 2 ) du

12 F = + 2x x 2 + x + 1 dx G = + 2x (x 2 + x + 1) 2 dx H = + e -t dt - Exercice 27 (Chapitre sur l intégration sur un segment) Pour tout entier n 1 on pose : I n = 1 x n ln(1 + x 2 ) dx et J n = 0 1 x n x 2 dx 1 ) Etude de la suite (J n ) n 1 a) Calculer J 1 b) Montrer que pour tout entier n 1, 0 J n c) Etudier la convergence de la suite (J n ) n 1 1 n ) Etude de la suite (I n ) n 1 a) A l aide d une intégration par parties, montrer que pour tout entier n 1 : I n = ln2 n n + 1 J n + 2 b) Etudier la convergence de la suite (I n ) n 1 Exercice 28 (Chapitre sur l intégration sur un segment) Pour n IN * on pose : I n = 1 e x 2 (lnx) n dx 1 ) Calculer I 1 2 ) Montrer que I n+1 = e3 3 - n + 1 I 3 n 3 ) Montrer que la suite (I n ) est décroissante. e 3 4 ) Montrer que n + 4 I e 3 n n + 3 En déduire la limite de(i n ). Exercice 29 (Chapitre sur l intégration sur un segment) Montrer que les fonctions suivantes sont dérivables sur IR et calculer leurs dérivées : a) f(x) = 2 2x e -3t dt b) f(x) = x 2 ln(1 + t 2 ) t 4 dt

13 c) f(x) = -3x dt 2x 2 + t 2n

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