Espaces vectoriels et applications linéaires

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1 Chapitre 1 Espaces vectoriels et applications linéaires Dans ce chapitre, nous rappelons, souvent sans démonstration, les définitions et résultats importants du cours de première année. Dans tout le chapitre, K désigne soit R, soit C. 1.1 Espaces vectoriels Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels Définition (espace vectoriel) Un K-espace vectoriel est un ensemble E non vide muni d une opération interne, notée +, et d une opération externe, notée : K E E, vérifiant : l opération + est associative l opération + possède un élément neutre, noté 0 E (ou plus simplement 0) l opération + est commutative : pour tous x, y E, on a x + y = y + x chaque élément x E possède un opposé pour l opération +, i.e. un élément y vérifiant x + y = 0 E. Cet élément est noté x (on dit que (E, +) est un groupe commutatif ), ainsi que pour tout x E, 1 K x = x pour tous λ, µ K et x E, (λµ) x = λ (µ x) pour tous λ K et x, y E, λ (x + y) = λ x + λ y pour tous λ, µ K et x E, (λ + µ) x = λ x + µ x. Dans la pratique, on note λx au lieu de λ x, et 0 au lieu de 0 E (c est le vecteur nul de E). Exemple 1. Pour tout entier n, K n est un K-espace vectoriel ; le vecteur nul est le n-uplet (0,..., 0). Exemple 2. Si I est un ensemble (par exemple un intervalle de R), l ensemble F (I, R) des fonctions définies sur I à valeurs dans R est un R-espace vectoriel ; le vecteur nul est la fonction nulle. Il résulte des définitions que, pour tout (λ, x) K E, on a 0 x = 0 E λ 0 E = 0 E ( 1) x = x λ x = 0 E = (λ = 0 ou x = 0 E ). Définition (sous-espace vectoriel) Soit E un K-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel de E est une partie F de E telle que F est non vide x, y F, x + y F λ K, x F, λx F. Un sous-espace vectoriel de E est encore un espace vectoriel. C est en général en l identifiant comme sous-espace vectoriel d un espace vectoriel connu que l on montre qu un ensemble est un espace vectoriel. 1

2 2 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires Exemple. L ensemble C (R, R) des fonctions de classe C de R dans R est un R-espace vectoriel car c est un sous-espace vectoriel de F (R, R). Remarque 1. Un sous-espace vectoriel de E contient toujours le vecteur nul 0 E de E! C est en général en vérifiant que 0 E appartient à F que l on montre que F est non vide. L intersection de deux (ou d une famille de) sous-espaces vectoriels de E est encore un sous-espace vectoriel de E. Définition (combinaison linéaire, cas fini) Soit E un K-espace vectoriel et x 1,..., x n des vecteurs de E. Une combinaison linéaire des vecteurs x 1,..., x n est un vecteur de la forme où λ 1,..., λ n sont des scalaires. x = λ 1 x λ n x n, Définition (combinaison linéaire, cas infini) Soit E un K-espace vectoriel et (x i ) i I une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E. Une combinaison linéaire des vecteurs x i est un vecteur de la forme x = λ i x i, i I où (λ i ) i I est une famille à support fini (i.e. que les λ i non nuls sont en nombre fini) de scalaires. Il revient au même de choisir un nombre fini x 1,..., x p de vecteurs de la famille infinie (x i ) i I et d en faire une combinaison linéaire. Exemple 4. Une combinaison linéaire de la famille (X k ) k N de polynômes est un vecteur de la forme P = k N λ kx k, où seul un nombre fini de λ k sont non nuls (i.e. un polynôme). Si (x i ) i I est une famille (finie ou non) de vecteurs de E, l ensemble F des combinaisons linéaires de ces vecteurs est un sous-espace vectoriel de E. Définition (espace vectoriel engendré) Le sous-espace vectoriel F de la proposition précédente est appelé sous-espace vectoriel engendré par la famille (x i ) i I ; on le note Vect ( (x i ) i I ). On dit encore que la famille (xi ) i I engendre l espace F, ou que c en est une famille génératrice. Remarque 2. Dans le cas particulier où la famille ne contient aucun vecteur, on convient que le sous-espace vectoriel engendré par cette famille est l espace nul {0 E } Bases Définition (famille libre, cas fini) Soit (x 1,..., x n ) une famille de vecteurs de E. On dit que la famille est libre si, et seulement si, l unique famille (λ 1,..., λ n ) de scalaires vérifiant λ 1 x λ n x n = 0 E est la famille nulle (λ 1,..., λ n ) = (0,..., 0). Dans le cas contraire, la famille est dite liée.

3 1.1. Espaces vectoriels Pour démontrer qu une famille est libre, on doit impérativement rédiger comme suit : «Soient λ 1,..., λ n K tels que λ 1 x λ n x n = 0.» Puis on se débrouille pour démontrer que les λ i sont tous nuls. Exemple 1. Dans le R-espace vectoriel E = F (R, R), considérons les fonctions f 1 : x 1, f 2 = cos et f = sin et démontrons que cette famille est libre. Soient λ 1, λ 2, λ trois réels tels que λ 1 f 1 + λ 2 f 2 + λ f = 0 E (fonction nulle). Alors, pour tout réel x, on a λ 1 + λ 2 cos x + λ sin x = 0 (le réel 0). C est vrai en particulier pour x = 0, x = π 2 et x = π. On en déduit les trois équations λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 + λ = 0, λ 1 λ 2 = 0 d où l on tire immédiatement λ 1 = λ 2 = λ. Définition (famille libre, cas infini) Soit (x i ) i I une famille de vecteurs de E. On dit que la famille est libre si, et seulement si, l unique famille (λ i ) i I à support fini vérifiant λ i x i = 0 E est la famille nulle ( i I, λ i = 0). Dans le cas contraire, la famille est dite liée. i I Il revient au même de dire que toute sous-famille finie de la famille (x i ) i I est libre. Exemple 2. Dans le R-espace vectoriel E = F (R, R), considérons la famille (f i ) i N de fonctions définies par : i N, f i : x x i et démontrons que cette famille est libre. Pour cela, choisissons une famille (λ i ) i N à support fini telle que i I λ if i = 0 (fonction nulle). La famille étant à support fini, il existe un entier n tel que, pour tout i > n, on ait λ i = 0. L égalité précédente s écrit alors λ 0 f λ n f n = 0, i.e. x R, λ 0 + λ 1 x + + λ n x n = 0. Le polynôme P = λ 0 + λ 1 X + + λ n X n admet une infinité de racines, donc c est le polynôme nul, donc les λ i sont tous nuls. Remarque 1. Une famille formée par un seul vecteur est libre si, et seulement si, ce vecteur est non nul formée par deux vecteurs est libre si, et seulement si, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires contenant le vecteur nul est toujours liée libre ne contient pas le vecteur nul extraite d une famille libre est encore libre. Remarque 2. On convient qu une famille ne contenant aucun vecteur est une famille libre. Définition (base) Une base d un K-espace vectoriel E est une famille libre et génératrice de E. Exemple. Dans K n, notons, pour tout i [[1, n]], e i le vecteur e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (où l unique coefficient 1 est placé en position i). La famille (e 1,..., e n ) est une base de K n (dite base canonique).

4 4 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires Exemple 4. La famille (1, X,..., X n ) est une base de K n [X] (base canonique) ; la famille (X n ) n N est une base de K[X] (base canonique). Soit (e i ) i I une base du K-espace vectoriel E. Pour tout vecteur x E, il existe une unique famille à support fini (λ i ) i I telle que x = i I λ ie i. Définition (coordonnées) Sous les hypothèses de la proposition précédente, la famille (λ i ) i I est appelée la famille des coordonnées du vecteur x dans la base (e i ) i I. Attention! On parle toujours de coordonnées d un vecteur relativement à une base ; les coordonnées ne sont jamais définies dans l absolu! Remarque. Dans le cas des vecteurs de K n, on utilise en général la base canonique pour exprimer les coordonnées des vecteurs. Mais ce n est pas toujours le cas! De même, les coordonnées d un polynôme sont en général exprimées dans la base canonique de l espace des polynômes, mais il y a d autres choix possibles Produit, sommes et sommes directes a) Produit Définition Soient E 1,..., E n des K-espaces vectoriels. Le produit des espaces E i est l ensemble n E 1 E n = E i = {(x 1,..., x n ) x 1 E 1,..., x n E n }. i=1 En termes d ensembles, c est donc le produit cartésien des ensembles E i. Il est intéressant de noter que, chacun de ces ensembles E i étant muni d une addition et d une multiplication externe, on peut munir ce produit d une addition et d une multiplication externe, de la façon suivante : pour tous x = (x 1,..., x n ) et y = (y 1,..., y n ) appartenant à E 1 E n, on pose x + y déf = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) et λx déf = (λx 1,..., λx n ). L ensemble E 1 E n, muni de ces deux opérations, est un K-espace vectoriel. Démonstration. Cette nouvelle opération + est associative et commutative car chacune des opérations +, sur les espaces E i, l est déjà ; le n-uplet (0,..., 0) (noté 0) est élément neutre pour cette nouvelle addition, et le vecteur (x 1,..., x n ) admet ( x 1,..., x n ) pour opposé. Les propriétés des la multiplication externe sont aussi toutes vérifiées car elles le sont déjà pour chacun des E i. Remarque 1. forme Noter que chaque vecteur x = (x 1,..., x n ) de E 1 E n peut se décomposer sous la x = (x 1, 0,..., 0) + (0, x 2,..., 0) + + (0,..., 0, x n ). Dans le cas où l on connaît une base finie de chacun des espaces E i, on en connaît naturellement une pour l espace produit. Pour cela, examinons le cas où n = 2 et où les espaces sont de dimensions et 2 respectivement (ce qui ne nuit en rien à la généralité du propos, mais permet d éviter d introduire des notations lourdes qui masquent l idée). Choisissons une base B 1 = (e 1, e 2, e ) de E 1 et une base

5 1.1. Espaces vectoriels 5 B 2 = (ε 1, ε 2 ) de E 2. Soit maintenant x = (x 1, x 2 ) un vecteur de E = E 1 E 2. Les vecteurs x 1 et x 2 appartenant à E 1 et E 2 respectivement, on peut les écrire sous la forme On a donc x 1 = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ e et x 2 = µ 1 ε 1 + µ 2 ε 2. x = (x 1, x 2 ) = (x 1, 0) + (0, x 2 ) = (λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ e, 0) + (0, µ 1 ε 1 + µ 2 ε 2 ) = λ 1 (e 1, 0) + λ 2 (e 2, 0) + λ (e, 0) + µ 1 (0, ε 1 ) + µ 2 (0, ε 2 ) Ainsi la famille des 5 = + 2 vecteurs (e 1, 0), (e 2, 0), (e, 0), (0, ε 1 ), (0, ε 2 ) est-elle génératrice de E. Elle est aussi libre : en effet, choisissons λ 1, λ 2, λ, µ 1, µ 2 tels que λ 1 (e 1, 0) + λ 2 (e 2, 0) + λ (e, 0) + µ 1 (0, ε 1 ) + µ 2 (0, ε 2 ) = 0 (ce vecteur nul désignant bien sûr le couple (0, 0)). L égalité s écrit encore ( λ1 e 1 + λ 2 e 2 + λ e, µ 1 ε 1 + µ 2 ε 2 ) = (0, 0), d où l on tire puis λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ e = 0 et µ 1 ε 1 + µ 2 ε 2 = 0, λ 1 = λ 2 = λ = 0 et µ 1 = µ 2 = 0 car les familles (e 1, e 2, e ) et (ε 1, ε 2 ) sont libres. Précisons maintenant le cas général. On suppose que les espaces E 1,..., E n sont de dimensions finies respectives d 1,..., d n. On choisit une base (e 1,1,..., e 1,d1 ) de E 1,..., une base (e n,1,..., e n,dn ) de E n. On forme ensuite une famille de d d n vecteurs de E = E 1 E n de la façon suivante : les d 1 premiers vecteurs sont les (e 1,j, 0,..., 0) pour 1 j d 1 ; les d 2 suivants sont les (0, e 2,j, 0,..., 0) pour 1 j d 2 ;. les d n derniers sont les (0,..., 0, e n,j ) pour 1 j d n. La famille des vecteurs construite ci-dessus est une base de l espace E 1 E n. b) Somme Examinons maintenant le cas particulier où tous les espaces E i sont des sous-espaces vectoriels d un même espace vectoriel E. On peut alors former un nouvel espace vectoriel : Soient E 1,..., E n des sous-espaces vectoriels de E. L ensemble E E n = n E i = { } x x n, x 1 E 1,..., x n E n i=1 est un sous-espace vectoriel de E. = { x E (x 1,..., x n ) E 1 E n, x = x x n } Démonstration. Il est clair que le vecteur nul appartient à cet ensemble (on peut l écrire sous la forme 0 = ) et que, si x et y appartiennent à cet ensemble, il en est de même de x + λy pour tout λ : en effet, on peut écrire les vecteurs x et y sous la forme x = x x n et y = y y n

6 6 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires (avec x i, y i E i ), d où l écriture (avec x i + λy i E i pour tout i [[1, n]]). x + λy = (x 1 + λy 1 ) + + (x n + λy n ) Définition L espace vectoriel E E n est appelé somme des E i. C est aussi l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs des E i. La définition de la somme montre la L application E 1 E n E E n (x 1,..., x n ) x x n est surjective. Attention! La loi n est pas distributive sur la loi + : si F, G, H sont trois sous-espaces vectoriels de E, la propriété F (G + H) = (F G) + (F H) est en général fausse! Penser par exemple, dans E = R 2, aux droites F d équation y = x, G d équation x = 0 et H d équation y = 0 : on a G + H = R 2, donc F (G + H) = F, alors que F G = F H = {0} (donc (F G) + (F H) = {0}). De même, la propriété F + (G H) = (F + G) (F + H) est également fausse (même contre-exemple). G F H Si, pour tout i [[1, n]], la famille G i engendre le sous-espace F i, alors la famille G = G 1 G n engendre le sous-espace vectoriel F F n. c) Somme directe Définition (somme directe) La somme i F i est dite directe si, et seulement si, chaque vecteur x i F i s écrit de façon unique sous la forme x = x x n, x 1 F 1,..., x n F n. On note alors l espace vectoriel i F i. n i=1 F i C est-à-dire si, et seulement si, pour tout x i F i, il existe un unique n-uplet (x 1,..., x n ) F 1 F n tel que x = x x n. Exemple 1. Dans l espace E = R n, notons F i le sous-espace vectoriel formé par les vecteurs dont toutes les coordonnées, sauf peut-être la i ème, sont nulles (i.e. le sous-espace vectoriel engendré par le i ème vecteur de la base canonique de R n ). Alors R n = n i=1 F i. En effet, considérons un vecteur x = (x 1,..., x n ) R n.

7 1.1. Espaces vectoriels 7 Ce vecteur peut s écrire sous la forme x = (x 1, 0,..., 0) + (0, x 2, 0,..., 0) + + (0,..., 0, x n ), donc on peut l écrire comme somme de vecteurs des F i. Une telle décomposition est unique : en effet, si x = u u n est une autre décomposition de ce vecteur x comme somme de vecteurs des F i, alors chaque vecteur u i est de la forme u i = (0,..., 0, λ i, 0,..., 0) et l égalité x = u u n fournit x = (λ 1,..., λ n ), d où l on tire que pour tout i, on a λ i = x i, donc que le vecteur u i est en fait le vecteur (0,..., 0, x i,..., 0). La somme n i=1 E i est une somme directe si, et seulement si, l application est un isomorphisme. E 1 E n E E n (x 1,..., x n ) x x n Démonstration. Il est clair que cette application est linéaire. Nous avons déjà dit qu elle était, dans tous les cas, surjective. L unicité de la décomposition exigée dans la définition de la somme directe traduit exactement le fait que cette application est injective. On en déduit un moyen simple de vérifier qu une somme est directe : Pour qu une somme n i=1 E i soit directe, il suffit que l unique n-uplet (x 1,..., x n ) E 1 E n vérifiant x x n = 0 soit le n-uplet (0,..., 0). Démonstration. Si cette condition vérifiée, le noyau de l application de la proposition précédente est réduit à l espace nul, donc celle-ci est injective, donc bijective (car elle est toujours surjective). La somme est donc directe. Définition Si deux sous-espaces vectoriels E 1 et E 2 de E vérifient E = E 1 E 2, on dit que E 1 et E 2 sont supplémentaires dans E. On dit encore que E 2 est un supplémentaire de E 1 dans E (ou que E 1 est un supplémentaire de E 2 dans E). Attention! On dit un supplémentaire et non le supplémentaire car il n y pas pas unicité d un tel supplémentaire. Par ailleurs, supplémentaire ne signifie par complémentaire (le complémentaire d un sous-espace vectoriel de E ne peut jamais être un sous-espace vectoriel de E car il ne contient pas le vecteur nul). Exemple 2. Dans R, considérons le plan vectoriel P d équation x 1 + x 2 + x = 0 et la droite vectorielle D = Vect(u), où u = (1, 1, 1). Démontrons la relation R = P D. Il s agit de démontrer que tout vecteur x = (x 1, x 2, x ) R se décompose de façon unique sous la forme x = x P + x D, avec x P P, x D D. Unicité : si une telle décomposition existe, le vecteur x P s écrit sous la forme x P = (a, b, c) avec a, b, c R et a + b + c = 0 et le vecteur x D s écrit sous la forme x D = (λ, λ, λ) (λ R). L égalité x = x P + x D fournit le système (on écrit les inconnues à gauche, une colonne par inconnue, et les données à droite) : a + λ = x b + λ = y, c + λ = z a + b + c = 0

8 8 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires qui fournit facilement a = 2x y z, b = x+2y z, c = x y+2z et λ = x+y+z. Si une telle décomposition existe, elle est unique. Existence : posons donc x P = ( 2x y z, x+2y z, x y+2z ) et x D = ( x+y+z, x+y+z, x+y+z ). Il est immédiat de vérifier que l on a bien x P P, x D D et x P + x D = x : le vecteur x peut se décomposer sous la forme d un vecteur de P et d un vecteur de D. On a donc bien R = P D. Exemple. Dans E = K[X], considérons un polynôme B de degré n + 1 et F = BK[X] l ensemble des multiples de B (c est bien un sous-espace vectoriel de E). On a l égalité K[X] = K n [X] BK[X]. En effet, soit P K[X] un polynôme. Écrivons la division euclidienne du polynôme P par le polynôme B : P = BQ + R, avec deg(r) n. On a obtenu une décomposition du polynôme P comme la somme d un polynôme de BK[X] et d un polynôme de K n [X]. Par ailleurs, l unicité de la division euclidienne des polynômes prouve l unicité d une telle décomposition. Soient E 1, E 2 deux sous-espaces vectoriels de E. La somme E 1 + E 2 est directe si, et seulement si, E 1 E 2 = {0 E }. Attention! Cette caractérisation n est vraie que pour la somme directe de deux espaces! Dès que n, on peut très bien avoir E i E j = {0 E } pour tous i j sans que la somme i E i soit directe (penser à trois droites vectorielles deux à deux distinctes dans un plan...). En revanche, si la somme i E i est directe, on a nécessairement E i E j = {0 E } dès que i j : sinon, un vecteur x non nul de E i E j admettrait deux décompositions distinctes sur la somme i E i : x = }{{} }{{} x = }{{} x + + }{{} E i E j E i E j Théorème Soient E 1,..., E n des sous-espaces vectoriels de E tels que E = n i=1 E i. Soit également, pour tout i [[1, n]], (e i,1,..., e i,di ) une base de E i. Alors la famille (e 1,1,..., e 1,d1, e 2,1,..., e 2,d2,..., e n,1,..., e n,dn ) obtenue par concaténation des bases des E i, est une base de E. Démonstration. Démontrons que la famille est libre. Pour cela, choisissons des scalaires λ 1,1,..., λ n,dn tels que λ 1,1 e 1,1 + + λ n,dn e n,dn = 0. Alors on a trouvé deux décompositions du vecteur nul comme somme de vecteurs appartenant aux E i : 0 = = λ 1,1 e 1,1 + + λ 1,d1 e 1,d1 + + λ n,1e n,1 + + λ n,dne n,dn }{{}}{{} E 1 E n Comme la somme des E i est directe, on en déduit que λ 1,1 e 1,1 + + λ 1,d1 e 1,d1 = = λ n,1 e n,1 + + λ n,dn e n,dn = 0. On utilise ensuite les fait que, pour tout i [[1, n]], la famille (e i,1,..., e i,di ) est une base de E i, donc libre, pour en déduire que tous les coefficients λ i,j sont nuls. Démontrons maintenant qu elle est génératrice. Pour cela, considérons un vecteur x de E. Commençons par décomposer ce vecteur sous la forme x = x 1 + +x n (x i E i ). Chaque vecteur x i appartenant à E i, on peut l exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs e i,j (1 j d i ), donc on peut exprimer le vecteur x comme combinaison linéaire des vecteurs (e 1,n1,..., e n,dn ).

9 1.2. Applications linéaires 9 Définition (base adaptée) Si E = n i=1 E i, une base obtenue par concaténation de bases des E i comme dans le théorème précédent est dite adaptée à la décomposition en somme directe E = n i=1 E i. Exemple 4. Dans le cas de deux sous-espaces supplémentaires E = E 1 E 2, une base adaptée à cette décomposition est obtenue en concaténant une base de E 1 et une base de E Applications linéaires Applications linéaires, noyau Définition (application linéaire) Soient E, F deux K-espaces vectoriels. Une application f : E F est dite K-linéaire (ou linéaire) si, et seulement si : pour tous x 1, x 2 E, f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) ; pour tout x E et tout λ K, f(λx) = λf(x). Remarque 1. Si f : E F est une application linéaire, elle vérifie f(0 E ) = 0 F. On note L(E, F ) l ensemble des applications linéaires de E dans F ; c est un espace vectoriel. Si f : E F est une application linéaire bijective, sa bijection réciproque est encore linéaire. On parle alors d isomorphisme. Dans le cas où F = E, on parle d endomorphisme ; on note L(E) au lieu de L(E, E). La composée de deux applications linéaires étant encore linéaire, on vérifie que L(E) est un anneau (non commutatif) pour l addition et la composition des endomorphismes. Enfin, l ensemble des endomorphismes bijectifs de E est noté GL(E) : c est un groupe pour la loi (groupe linéaire de E). Définition (forme linéaire) Une forme linéaire sur l espace vectoriel E est une application linéaire f : E K. C est donc une application linéaire qui, à chaque vecteur x E, associe un nombre f(x) K. Exemple 1. linéaire. Sur l espace E = R, l application f définie par f(x 1, x 2, x ) = x 1 7x est une forme Exemple 2. Sur l espace E = C ([0, 1], C), l application Φ définie par Φ(f) = 1 f est une forme linéaire. 0 Exemple. Sur l espace E = K[X], l application Φ définie par Φ(P ) = P (1) est une forme linéaire. (recollement d applications linéaires) Soit E = n i=1 E i une décomposition de E en somme directe et, pour tout i [[1, n]], une application linéaire f i : E i F. Alors il existe une unique application linéaire f : E F telle que i [[1, n]], f Ei = f i. Démonstration. Commençons par démontrer l unicité. Si une telle application f existe, alors, pour tout vecteur x E, elle doit vérifier f(x) = f(x x n ) = f(x 1 ) + + f(x n ) = f 1 (x 1 ) + + f n (x n ), où x = x x n est la décomposition du vecteur x sur la somme directe E = n i=1 E i. Existence : considérons l application f : E F définie de la façon suivante : pour tout vecteur x E, posons f(x) = f 1 (x 1 ) + + f n (x n )

10 10 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires où x = x x n est la décomposition du vecteur x sur la somme directe E = n i=1 E i. Démontrons que f est solution au problème posé, i.e. qu elle est linéaire et que, pour tout i [[1, n]], on a f Ei = f i. Soient x, y E et λ K. Soient x = x x n et y = y y n les décompositions des vecteurs x et y sur la somme directe E = n i=1 E i. Alors l écriture x + y = (x 1 + y 1 ) + + (x n + y n ) est la décomposition du vecteur x + y sur la somme directe E = n i=1 E i, donc on a f(x + y) = f 1 (x 1 + y 1 ) + + f n (x n + y n ) = ( f 1 (x 1 ) + f 1 (y 1 ) ) + + ( f n (x n ) + f n (y n ) ) = ( f 1 (x 1 ) + + f n (x n ) ) + ( f 1 (y 1 ) + + f n (y n ) ) = f(x) + f(y) et, sur le même principe, f(λx) = λf(x), donc f est linéaire. Considérons maintenant un entier i [[1, n]]. Si x est un vecteur de E i, sa décomposition sur la somme directe est x = x + + 0, donc il vérifie f(x) = f 1 (0) + + f i (x) + + f n (0) = f i (x), ce qui prouve que f Ei = f i. Définition Soit f : E F une application linéaire. Le noyau de f est l ensemble Ker(f) = {x E f(x) = 0 F }. C est un sous-espace vectoriel de E. Théorème Soit f : E F une application linéaire et b un vecteur de F. L application f est injective si, et seulement si, Ker(f) = {0 E }. Si le vecteur b appartient à l image de f, alors l ensemble des solutions de l équation linéaire f(x) = b est a + Ker(f) = {a + x, x Ker(f)} où a est un vecteur quelconque vérifiant f(a) = b. Si b n appartient pas à l image de f, l équation n a évidemment aucune solution. Exemple 4. Dans l ensemble E = C (R, R), considérons l application T : C (R, R) C (R, R) f f f et b le vecteur (i.e. la fonction) b : t t. Le noyau de l application T est l ensemble des fonctions vérifiant f f = 0 (fonction nulle), i.e. l ensemble des solutions de l équation différentielle f (t) = f(t). Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions t λe t, où λ est une constante. De plus, la fonction a : t t+1 vérifie a (t) a(t) = t pour tout t, i.e. T (a) = b. L ensemble des fonctions vérifiant f f = b (i.e. l ensemble des solutions de l équation différentielle f (t) f(t) = t) est l ensemble { t t λe t, λ R }. Théorème Soit f : E F une application linéaire et E 1 un supplémentaire de Ker(f) dans E. Alors f induit un isomorphisme de E 1 dans Im(f). C est-à-dire : l application f 1 = f Im f E 1 est un isomorphisme.

11 1.2. Applications linéaires 11 Démonstration. Cette application est bien linéaire. Elle est injective. En effet, soit x un vecteur de Ker(f 1 ). Il appartient à E 1 et vérifie f 1 (x) = 0, i.e. f(x) = 0, donc x Ker(f). Comme E 1 est un supplémentaire de Ker(f), on a E 1 Ker(f) = {0 E }, donc x = 0 et f 1 est injective. Elle est surjective. En effet, soit y un vecteur de Im f. Choisissons un vecteur x E tel que y = f(x) et décomposons ce vecteur sur la somme directe E = E 1 + Ker(f) sous la forme x = x 1 + x K. On a alors ce qui prouve que y admet un antécédent par f 1. y = f(x) = f(x 1 ) + f(x K ) = f 1 (x 1 ) + 0 = f 1 (x 1 ), Projecteurs, symétries a) Projecteurs Soit E un K-espace vectoriel de F, G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. L application p : E E qui, à chaque vecteur x, associe le vecteur x F de la décomposition x = x F + x G du vecteur x comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G, est linéaire. Démonstration. Soient x, y deux vecteurs de E et λ K un scalaire. Considérons les décompositions x = x F + x G et y = y F +y G des vecteurs x et y sur la somme directe E = F G. Alors les décompositions des vecteurs x + y et λx sont x + y = (x F + y F ) + (x G + y G ) et λx = (λx F ) + (λx G ), d où l on tire p(x + y) = x F + x G = p(x) + p(y) et p(λx) = λx F = λp(x). Définition (projecteur) L application p de la proposition précédente est appelée projecteur sur F parallèlement à G. Remarque 1. Avec les mêmes notations, l application q = Id E p est le projecteur sur G parallèlement à F. Soit E = F G une décomposition de E en somme directe et p le projecteur sur F parallèlement à G. Alors p p = p F = Im(p) = {x E p(x) = x} G = Ker(p). Démonstration. La première propriété est évidente car, pour tout x E, la décomposition du vecteur p(x) sur la somme directe E = F G est p(x) = p(x) + 0. Soit y un vecteur de Im(p). Choisissons x E tel que y = p(x)(= x F ) : on a y F. Réciproquement, si y appartient à F, sa décomposition sur la somme directe E = F G est y = y + 0, donc p(y) = y, donc y Im(p). On a donc F = Im(p). Si un vecteur x appartient à F, on vient de voir qu il vérifiait p(x) = x. Réciproquement, soit x E un vecteur vérifiant p(x) = x. Alors x appartient à Im(p) = F. On a donc aussi F = {x E p(x) = x}. Si un vecteur x appartient à G, sa décomposition est x = 0 + x, donc on a p(x) = 0 : x appartient à Ker(p). Réciproquement, supposons que x appartient à Ker(p) et écrivons x = x F +x G la décomposition de x. La propriété p(x) = 0 donne x F = 0, donc x = x G : x appartient à G. On a donc Ker(p) = G.

12 12 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires Théorème (caractérisation des projecteurs) Soit p : E E une application linéaire telle que p p = p. Notons F = Im(p) et G = Ker(p). Alors E = F G p est le projecteur sur F parallèlement à G. Démonstration. Il s agit de démontrer que tout vecteur x E admet une unique décomposition sous la forme x = x F + x G, où x F F et x G G. Soit donc x un vecteur de E. Unicité : si une telle décomposition existe, choisissons t E tel que x F = p(t). L égalité x = x F + x G donne p(x) = p(x F ) + p(x G ) = p(p(t)) + 0 = p(t) = x F donc x F = p(x) (d où x G = x p(x)). Existence : posons x F = p(x) et x G = x p(x). Le vecteur x F appartient à F, et x G à G car p(x G ) = p(p(x)) p(x) = p(x) p(x) = 0. De plus, on a bien x = x F + x G. On a donc E = F G. De plus, pour tout x E, le vecteur x F de la décomposition de x sous la forme x = x F + x G est p(x), ce qui prouve que p est le projecteur sur F parallèlement à G. Exemple 1. Soit B un polynôme de degré n et p : K[X] K[X] l application qui, à chaque polynôme P, associe son reste dans la division euclidienne par B. Cette application est linéaire et vérifie p p = p. C est le projecteur sur K n 1 [X] parallèlement à BK[X] (rappel : on a K[X] = K n 1 [X] BK[X]). b) Symétries Définition (symétrie) Soit E = F G une décomposition de E en somme directe. La symétrie par rapport à l espace F parallèlement à l espace G est l application s : E E qui, à chaque vecteur x se décomposant sous la forme x = x F + x G, associe le vecteur s(x) = x F x G. Théorème Soit E = F G une décomposition de E en somme directe et s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Alors s s = Id E F = {x E s(x) = x} = Ker(s Id E ) G = {x E s(x) = x} = Ker(s + Id E ). Démonstration. La première propriété est évidente. Démontrons que F = {x E s(x) = x}. Soit pour cela x un vecteur de E et x = x F + x G sa décomposition sur la somme directe E = F G. Si x appartient à F, alors x G = 0, donc s(x) = x F = x. Réciproquement, si s(x) = x, alors x F x G = x F + x G, donc x G = 0, donc x appartient à F. L égalité G = {x s(x) = x} se prouve de la même façon. Théorème (caractérisation des symétries) Soit s un endomorphisme de E vérifiant s 2 = Id E. Notons F = Ker(s Id E ) et G = Ker(s + Id E ). Alors E = F G s est la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Démonstration. Il s agit, pour le premier point, de démontrer que tout vecteur x E se décompose de façon unique comme la somme d un vecteur de F et d un vecteur de G. Soit donc x un vecteur de E ; on cherche x F F, x G G tels que x = x F + x G.

13 1.. Espaces vectoriels de dimension finie 1 Unicité : si un tel couple existe, on a s(x) = s(x F ) + s(x G ) = x F x G d où l on déduit, par somme et différence, que x F = 1 2( x + s(x) ) et xg = 1 2( x s(x) ). Existence : posons x F = 1 2( x + s(x) ) et xg = 1 2( x s(x) ). On a bien xf + x G = x. De plus, s(x F ) = 1 2 s( x + s(x) ) = 1 ( s(x) + s 2 (x) ) = 1 ( ) s(x) + x = xf, 2 2 ce qui prouve que x F appartient à F. On démontre de la même façon que x G appartient à G. On a donc prouvé l égalité E = F G, ce qui permet de parler de la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Pour tout vecteur x, de décomposition x = x F + x G, on a alors s(x) = s(x F ) + s(x G ) = x F x G, ce qui prouve que s est bien la symétrie par rapport à F parallèlement à G. 1. Espaces vectoriels de dimension finie 1..1 Dimension Définition (espace de dimension finie) Un K-espace vectoriel est dit de dimension finie si, et seulement si, il admet une base formée d un nombre fini de vecteurs. Dans le cas contraire, il est de dimension infinie. Remarque 1. Rappelons que l espace nul admet une base finie, ne comportant aucun vecteur ; il est donc de dimension finie. Remarque 2. Il revient au même de dire que l espace E admet une famille génératrice finie ; on peut alors en extraire une base finie. Si E est un espace de dimension finie, toutes les bases de E ont même cardinal. Définition (dimension d un espace vectoriel) La dimension d un espace vectoriel E de dimension finie est le cardinal commun à toutes les bases de E. Exemple 1. L espace K n est de dimension n. Exemple 2. L espace K n [X] est de dimension n + 1. Définition (hyperplan) Un hyperplan d un espace vectoriel E de dimension finie n est un sous-espace vectoriel de E de dimension n 1. Si dim(e) = 2, un hyperplan de E est une droite ; si dim(e) =, un hyperplan de E est un plan. La propriété suivante caractérise les bases : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B une famille de vecteurs de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. B est une base de E 2. B engendre E et Card(B) = n. B est libre et Card(B) = n. Exemple. Dans K n [X], considérons une famille (P 0,..., P n ) de polynômes vérifiant deg(p i ) = i pour tout i [[0, n]]. La famille est libre (car échelonnée en degré) et de bon cardinal, donc c est une base de K n [X].

14 14 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires 1..2 Dimension d un produit, d une somme Le produit d espaces de dimension finie est encore de dimension finie : Si les espaces E 1,..., E n sont de dimension finie, alors l espace produit l est aussi, et on a dim(e 1 E n ) = dim(e 1 ) + + dim(e n ). Démonstration. On a expliqué précédemment comment, à partir de bases des espaces E i, former une base du produit ; la formule en découle immédiatement. (formule de Grassman) Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E. Alors F + G est de dimension finie et dim(f + G) = dim F + dim G dim F G. En particulier, on a toujours dim(f +G) dim F +dim G. Cette formule se généralise immédiatement par récurrence : Soient F 1,..., F n des sous-espaces vectoriels de dimension finie de E. Alors F F n est de dimension finie et dim(f F n ) dim F dim F n. Dans le cas particulier de deux sous-espaces, le fait que la somme soit directe se caractérise par la propriété F 1 F 2 = {0}. On en déduit immédiatement le Corollaire Soient F 1, F 2 deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E et F = F 1 + F 2. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. F = F 1 F 2 2. dim F = dim F 1 + dim F 2. Cette propriété se généralise à la somme d une famille de sous-espaces vectoriels : Soit (F i ) 1 i n une famille de sous-espaces vectoriels de dimension finie de E de F = F F n. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. F = F 1 F n 2. dim F = dim F dim F n. Démonstration. Choisissons, pour chaque i, une base B i = (e i,1,..., e i,di ) de F i et notons B la famille obtenue par concaténation des B i. Supposons F = F 1 F n. Alors la famille B est une base de F. Son cardinal est la somme des cardinaux des bases B i, ce qui prouve que dim F = dim F dim F n. Réciproquement, supposons que dim F = dim F dim F n et démontrons que la somme est directe. Commençons par remarquer que, la famille B étant génératrice de F et de cardinal égal à sa dimension, c est une base de F. Considérons des vecteurs x 1,..., x n (x i F i ) tels que x x n = 0. Décomposons chaque vecteur x i F i sur la base B i : il s écrit sous la forme x i = d i j=1 λ i,je i,j. En sommant, on obtient n d i λ i,j e i,j = 0. i=1 j=1

15 1.. Espaces vectoriels de dimension finie 15 La famille B étant libre, les λ i,j sont tous nuls, donc les vecteurs x i sont tous nuls, ce qui prouve que la somme est directe. 1.. Applications linéaires en dimension finie Théorème (formule du rang) Soit f : E F une application linéaire. On suppose E de dimension finie. Alors Im(f) est de dimension finie et dim(e) = dim(ker f) + rg(f). Démonstration. En effet, en choisissant un supplémentaire H de Ker f dans E, on sait que f induit un isomorphisme de H dans Im f. Ces deux espaces ont donc même dimension. On conclut en remarquant que dim E = dim H + dim(ker f). Corollaire Soit f : E F une application linéaire, où E et F sont deux espaces de même dimension finie n. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. f est un isomorphisme 2. f est injective. f est surjective 4. rg f = n. 5. il existe une application linéaire g : F E telle que g f = Id E 6. il existe une application linéaire g : F E telle que f g = Id F. En effet, si la propriété 5) est vérifiée, alors f est injective (car Id E l est). De même, si la propriété 6) est vérifiée, alors f est surjective. Sous l une de ces deux hypothèses, l application g est alors f 1. Exemple 1. Soient a 0,..., a n des scalaires deux à deux distincts. Considérons l application linéaire f : K n [X] K n+1 P ( P (a 0 ),..., P (a n ) ). Cette application est injective : en effet, si un polynôme P appartient à son noyau, il admet n + 1 racines deux à deux distinctes. Étant de degré inférieur ou égal à n, c est le polynôme nul. Comme les espaces de départ et d arrivée sont de même dimension (finie! c est essentiel) n + 1, f est un isomorphisme. Pour tout n + 1-uplet (b 0,..., b n ) de scalaires, il existe donc un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que k [[0, n]], P (a k ) = b k. Ce polynôme est appelé polynôme d interpolation de Lagrange associé à ces deux listes de scalaires. (caractérisation des hyperplans) Soit F un sous-espace d un espace vectoriel E de dimension finie n. Alors F est un hyperplan de E si, et seulement si, c est le noyau d une forme linéaire non nulle. Démonstration. Si F est le noyau d une forme linéaire non nulle f, on a rg(f) = 1, donc dim(f ) = n 1. Réciproquement, supposons dim(f ) = n 1. Choisissons une base (e 1,..., e n 1 ) de F, que l on complète en une base B = (e 1,..., e n ) de E. L application f qui, à chaque vecteur x = x 1 e x n e n associe sa coordonnée x n est clairement une forme linéaire qui vérifie Ker(f) = F. Exemple 2. {(x 1, x 2, x, x 4 ) R 4 x 1 + 2x 2 x = 0} est un hyperplan de R 4 (il est de dimension ). Exemple. {P C n [X] P ( 2) = 0} est un hyperplan de C n [X] (il est de dimension n). Exemple 4. {M M n (K) Tr(M) = 0} est un hyperplan de M n (K) (il est de dimension n 2 1).

16 16 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires 1.4 Test de compréhension du chapitre Questions 1. Soit (x, y) une famille liée d un K-espace vectoriel E. Existe-t-il un scalaire λ tel que y = λx? 2. Soit E = F G une décomposition de E en somme directe, et x un vecteur de E n appartenant pas à F. Que peut-on dire de x?. Soit E = F G une décomposition de E en somme directe. A-t-on F G =? 4. Donner un exemple de deux sous-espaces vectoriels F et G d un espace E, qui sont en somme directe, mais qui ne sont pas supplémentaires. 5. Donner un exemple d une famille (E i ) i de sous-espaces vectoriels d un espace E, tels que pour i j, on ait E i E j = {0}, mais qui ne sont pas en somme directe. 6. Donner un exemple de trois vecteurs deux à deux non colinéaires, mais tels que la famille formée par ces trois vecteurs soit liée. 7. Si E = F G 1 = F G 2 sont deux décompositions de E en somme directe, peut-on en déduire que G 1 = G 2? 8. Si E = F G 1 = F G 2 sont deux décompositions de E en somme directe, avec G 1 G 2, peut-on en déduire que G 1 = G 2? L espace E n est pas supposé de dimension finie. 9. Soit f une homothétie vectorielle de l espace E. Est-il vrai que, pour tout endomorphisme g de E, on a g f = f g? 10. Donner plusieurs façons de définir une application linéaire. 11. Soit f : E F une application linéaire. Peut-on en général parler de l intersection Ker f Im f? 12. Soit f : E E un endomorphisme. A-t-on toujours l égalité E = Ker f Im f? Parmi les hypothèses suivantes, laquelle (ou lesquelles) permet(tent) de conclure à l égalité? a) E est de dimension finie b) E est de dimension finie et dim E = dim(ker f) + dim(im f) c) Ker f Im f = {0} d) E est de dimension finie et Ker f Im f = {0} 1. Soit f un endomorphisme de E et (e 1,..., e n ) une base de E. Que peut-on dire de la famille ( f(e 1 ),..., f(e n ) ) si f est injective? Surjective? 14. Soit f un endomorphisme de E. Comparer les espaces Ker f et Ker f 2, ainsi que Im f et Im f Soit f : E F une application linéaire et E 1 un sous-espace vectoriel de E. Déterminer le noyau de la restriction f E1 et donner une condition nécessaire et suffisante pour que celle-ci soit injective. 16. Soit f un endomorphisme de E et F un sous-espace vectoriel de E. Pourquoi l application f F n estelle pas un endomorphisme de F? Quelle hypothèse faut-il rajouter pour que l on puisse définir un endomorphisme de F? Comment le note-t-on et quelle est la différence avec f F? 17. Soient f, g deux endomorphismes de E. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que g f = 0. Donner un exemple où ni f ni g n est nul. 18. Soient E, F deux espaces vectoriels de dimension finie et f L(E, F ). Si f est injective, est-elle bijective? 19. Soit f un endomorphisme de E. Si f est injective, est-elle bijective? 20. Soit f L(K p, K n ). Quel est le rang maximal de f? 21. Soient f, g deux endomorphismes de E. Majorer le rang de g f en fonction de rg f et de rg g. 22. Soit f un endomorphisme de E et g un isomorphisme de E. Quel est le rang de g f g 1? 2. Soit f un endomorphisme de E. On suppose trouvé un endomorphisme g de E tel que g f = Id E. Peut-on en déduire que f est injective? Surjective? Bijective? 24. Quelle est la dimension de l espace {P R 4 [X] 1 0 P = 0}? 25. Soient a 0,..., a n des réels deux à deux distincts, ainsi que b 0,..., b n, c 0,..., c n des réels quelconques. Justifier l existence et l unicité d un polynôme P R 2n+1 [X] tel que P (a 0 ) = b 0,..., P (a n ) = b n et P (a 0 ) = c 0,..., P (a n ) = c n.

17 1.4. Test de compréhension du chapitre Réponses 1. Pas forcément : si x = 0, la famille est liée ; si y 0, un tel λ ne peut exister. En revanche, si on sait que x 0, il existe un tel λ (d ailleurs unique). 2. Écrire E = F G ne signifie pas que E est la réunion de F et de G ; un vecteur quelconque de E n est en général ni dans F, ni dans G... En particulier, le fait que x ne soit pas dans F ne prouve pas que x soit dans G. En revanche, x se décompose de façon unique sous la forme x = x F + x G (x F F, x G G). Le vecteur x G est nécessairement non nul (sinon, on aurait x F ).. Non : F G = {0}. 4. Dans E = R, on prend F = Vect(e 1 ) et G = Vect(e 2 ). 5. Dans E = R 2, on prend E 1 = Vect(e 1 ), E 2 = Vect(e 2 ) et E = Vect(e 1 + e 2 ). 6. Dans E = R 2, on prend u = e 1, v = e 2 et w = e 1 + e En général non : on ne parle pas du supplémentaire d un espace vectoriel, mais d un supplémentaire, car il y en a en général beaucoup. Par exemple, dans R 2, on prend F = Vect(e 1 ) ; toutes les droites G distinctes de F vérifient E = F G. 8. Oui. Il suffit de montrer que G 2 G 1. Pour cela, soit x un vecteur de G 2 et x = x F +x 1 sa décomposition sur la somme E = F G 1. Comme G 1 G 2, c est aussi une décomposition sur la somme E = F G 2. Mais x = 0 + x est aussi une décomposition sur cette somme. Par unicité de la décomposition, on obtient x = x 1, donc x G Oui. Si λ est le rapport de l homothétie, g f = f g = λg. 10. On peut la définir par des formules en donnant l image de chacun des vecteurs d une base de l espace de départ En donnant sa restriction à chacun des sous-espaces E i, où (E i ) i est une famille de sous-espaces vectoriels dont E est la somme directe (le cas précédent est en quelque sorte un cas particulier de celui-ci, en prenant E i = Vect(e i ), où (e i ) i est une base de E). 11. En général non : Ker f est un sous-espace vectoriel de E, alors que Im f est un sous-espace vectoriel de F. On peut en parler à condition que E = F (ou plus généralement que E et F soient tous deux des sous-espaces vectoriels d un même espace G). 12. En général non : n importe quel endomorphisme vérifiant f 2 = 0 vérifie Im f Ker f, donc la somme n est même pas directe. a) La dimension finie n apporte rien. b) Cette deuxième condition n apporte rien non plus : en dimension finie, elle est conséquence de la décomposition E = Ker f Im f. c) Cette condition n est toujours pas suffisante : par exemple, pour l opérateur de dérivation f : P XP de R[X], on a Ker(f) = {0} (donc Ker f Im f = {0}), mais la somme directe est égale à Im f, qui n est pas R[X] (tous les polynômes de l image vérifient P (0) = 0...). d) Cette fois-ci, les conditions sont suffisantes : la formule du rang et l hypothèse permettent de conclure. 1. Si f est injective, cette famille est libre ; si f est surjective, cette famille engendre E. 14. On a toujours Ker f Ker f 2 et Im f 2 Im f. 15. On vérifie facilement que Ker(f E1 ) = E 1 Ker f, donc cette application est injective si, et seulement si, E 1 Ker f = {0}. 16. Si l espace F n est pas stable par f, l image d un vecteur x F par f n appartient en général pas à f, donc ce n est évidemment pas un endomorphisme de F. Il est donc nécessaire que F soit stable par f pour pouvoir parler d un endomorphisme induit par f sur F. Celui-ci est quand même à distinguer de l application f F par son espace d arrivée : les deux applications sont f F : F E x f(x) et f F : F F. x f(x) 17. Cette condition équivaut à Im f Ker g. On peut par exemple prendre E = R 2 et f, g définies par f(x, y) = (x, 0), g(x, y) = (0, y).

18 18 Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires 18. Pas si dim(e) dim(f ) : il n existe aucun isomorphisme entre E et F. Par exemple, l application linéaire f : x (x, 0), de R dans R 2, est injective mais pas bijective. En revanche, si dim(e) = dim(f ), f est un isomorphisme. 19. Pas si E est de dimension infinie (par exemple, l endomorphisme P XP de R[X]). Si E est de dimension finie, f est un isomorphisme. 20. On a rg(f) n et rg(f) p, donc rg(f) min(n, p). 21. On a rg(g f) min(rg f, rg g). 22. Le rang est invariant par composition par un isomorphisme, donc rg(g f g 1 ) = rg f. 2. L application f est injective (un vecteur x Ker f vérifie x = Id E (x) = (g f)(x) = g(0) = 0), mais P P (0) pas nécessairement surjective (par exemple, f : P XP dans R[X] et g : P X ). Si E est de dimension finie, f est un isomorphisme (et g est nécessairement f 1 ). 24. L application P 1 0 P est une application linéaire de R 4[X] dans R, donc son image est de dimension 0 ou 1. Ce n est pas l application nulle, donc son image est de dimension 1, donc son noyau est de dimension 5 1 = L application linéaire f : R 2n+1 [X] R 2n+2 P ( P (a 0 ),..., P (a n ), P (a 0 ),..., P (a n ) ) est injective : en effet, un polynôme P appartenant à son noyau admet (au moins) a 0,..., a n pour racines doubles, ce qui lui fait au moins 2n + 2 racines (comptées avec multiplicité). Comme il est de degré inférieur ou égal à 2n + 1, c est le polynôme nul. Les dimensions des espaces de départ et d arrivée étant identiques, f est un isomorphisme, ce qui justifie l existence et l unicité du polynôme cherché.