Chapitre 2. La trigonométrie

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1 Chapitre 2 La trigonométrie

2 Activité 1 : Détermine la mesure de chaque angle et de chaque côté des triangles suivants

3 Mesure Réponse(cm) Mesure Réponse( ) AD AD AB AB DB A A B B C DB C AC AC CD CD CAD C A D BAD B A D

4 Mesure Réponse(cm) Mesure Réponse( ) AD 2.9 A 76 AD 4.4 A 76 AB 3.6 B 52 AB 5.5 B 52 DB 2.3 C 52 DB 3.4 C 52 AC 3.6 CAD 38 AC 5.5 C A D 38 CD 2.3 BAD 38 CD 3.4 B A D 38

5 Détermine s il s agit de triangles semblables Oui, car 2 angles aigus correspondants ont la même mesure et les rapports de 2 paires de côtés correspondants sont égaux. AB = DB 3.6 = AB DB

6 Effectue maintenant les rapports suivants (arrondis au dixième près) AD AB DB AB AD DB AD AB DB AB AD DB Fais les calculs suivants sur ta calculatrice : sin B= cos B= tan B= Que remarques-tu?

7 Effectue maintenant les rapports suivants (arrondis au dixième près) AD = 2.9 = 0.8 AD = 4.4 = 0.8 Fais les calculs AB 3.6 AB 5.5 suivants sur ta DB AB = 2.3 = DB = 3.4 = 0.6 AB 5.5 calculatrice : sin B= cos B= AD = 2.9 = 1.3 AD = 4.4 = 1.3 tan B= 1.3 DB 2.3 DB 3.4 Que remarques-tu?

8 Chapitre 2 : La trigonométrie Sections 2.1 et 2.4 :tangente, le sinus et le cosinus

9 La trigonométrie À l aide des rapports trigonométriques, il est possible de trouver les mesures manquantes dans des triangles RECTANGLES. Il est utile de bien connaître les définitions des rapports trigonométriques et de bien maîtriser les méthodes de résolution d équation (produit croisé, règle de 3, proportions, isoler la variable )

10 Soit le triangle rectangle suivant : Les côtés AC et BC sont les cathètes (ou a et b). Le côté AB (c) est l hypoténuse, soit le plus grand côté du triangle rectangle. B Le côté adjacent à un angle est le côté qui touche cet angle mais qui n est pas l hypoténuse. Dans ce cas -ci, le côté b est adjacent à l angle A Le côté opposé à un angle est le côté qui ne touche pas cet angle. Dans ce cas-ci, le côté a est opposé à l angle A. a C b c A

11 Les rapports trigonométriques Cette année, nous verrons 3 rapports trigonométriques qui existent à travers des propriétés des triangles semblables. Maintenant, nous savons que les rapports des côtés correspondants entre 2 triangles semblables est le même. Sin = côté opposé Cos = hypoténuse côté adjacent hypoténuse Tan = côté opposé côté adjacent TRUC : SOH CAH TOA

12 Lexique L angle d inclinaison est l angle aigu qu une droite ou un segment de droite forme avec l horizon. Angle d inclinaison du toit de la maison

13 Lexique Angle d élévation = Angle formé par la ligne de visée et la direction horizontale en un point d'observation lorsque l'objet observé est plus haut que l'observateur.

14 Lexique Angle de dépression= Angle formé par la ligne de visée et la direction horizontale en un point d'observation lorsque l'objet observé est plus bas que l'observateur.

15 Ex1: Détermine la mesure de G et celle de J, au dixième de degré près.

16 Exemple 1: solution

17 Exemple 2 Un avion se prépare à atterrir. L avion vole à une altitude de pi. Le radar de l avion montre qu il se trouve à pi de la piste d atterissage. Quel est l angle d élévation de l avion mesuré à partir de la cible, au degré près?

18 Exemple 2: solution C est l angle d élévation AX est l altitude CA est la distance entre la cible et l avion AX est CO et CA est l hypothénuse Une altitude est une mesure verticale. L angle d élévation de l avion est d environ 39

19 Devoir Sections 2.1 et 2.4 **Règle ta calculatrice en mode DEGRÉ!!** p #3ac,4ac,9,13,17,19 et 21 p #4, 6ac, 7ac, 8ac, 10 ac, 12, 13 et 14!

20 Section 2.2 et 2.5 Déterminer des mesures de longueur à l aide de la tangente, le sinus et le cosinus

21 Vrai ou faux? Avec la longueur d une cathète d un triangle rectangle et la mesure d un de ses angles aigus, tu peux construire ce triangle?

22 Vérification Vérifie s il est possible de tracé un triangle avec les données suivantes: ABC est un triangle rectangle B = 33 BC = 4,0 cm

23 Solution 1.Trouver la mesure de A. 2.Utiliser tan A ou tan B A= A=57 A pour trouver la mesure de l autre cathète. 3.Utiliser pythagore pour la mesure de l hypothénuse. 4,8 cm ,6 cm B 4,0 cm C tan B=CO/CA tan(33)=co/4,0 4*tan(33)=CO 2,6=CO 2,6 cm

24 ex1: question Détermine la longueur du côté DE, au dixième de centimètre près.

25 ex1: solution DE mesure environ 8,3cm

26 ex2: résolution de problème Un projecteur éclaire un nuage à la verticale. À une distance horizontale de 250 m du projecteur, l angle formé par le sol et la ligne de vision vers le nuage est de 75. Détermine la hauteur du nuage, au mètre près.

27 ex2: solution Le nuage se trouve à environ 933 m de hauteur (v).

28 ex3: résolution de problème Une arpenteuse-géomètre a pris les mesures indiquées dans le schéma. Comment peut-elle déterminer la distance qui sépare le théodolite de la mire, au centième de mètre près?

29 ex3: solution La distance qui sépare le théodolite de la mire est d environ 54,05 m

30 Devoir! Exercices p.82 #3ac-4ac-5ac p.101 #3ac,4ac,5ac, 6,9,10,12a

31 Section 2.6 Utiliser les rapports trigonométriques

32 Résoudre un triangle Résoudre un triangle consiste à trouver la mesure de tous les angles et la longueur de tous les côtés du triangle.

33 Ex1: résoudre un triangle à l aide des cathètes Résous le triangle rectangle XYZ. Indique les mesures au dixième près.

34 ex1: solution Donc, X = 90 - Z X = 59,0362 XZ mesure environ 11,7 cm X mesure environ 59,0 Z mesure environ 31,0

35 ex2: Résolution de problème Une petite table a la forme d un octogone régulier. La distance d un sommet de l octogone au sommet opposé, en passant par le centre, est d environ 30 cm. Une bande couvre tout le rebord de la table. Quelle est la longueur de cette bande, au centimètre près?

36 ex2: indices... Tu dois déterminer le périmètre de la table. Divise ton octogone en parties triangulaires. Ces parties triangulaires sont quelles sortes de triangles?

37 ex2: solution

38 ex2: solution et réponse finale Pour trouver le côté BD en entier, tu dois multiplier par deux La bande a environ 92 cm de longueur

39 Devoir! Exercices p.111 #4ac, 6a 7, 8, 10, 11, 12, 13,14, 15 et 16

40 Section 2.7 Résoudre des problèmes avec plus d un triangle

41 ex1: déterminer la longueur avec plusieurs triangles Détermine la longueur de CD, au dixième de centimètre près.

42 ex1: solution Étape 1: Trouver les mesures du triangle ABD Tu dois utiliser le rapport sinus:

43 ex1: solution Étape 2: Trouver les mesures du triangle BCD Tu dois utiliser le rapport cosinus: CD mesure environ 5,2 cm

44 ex2: résolution de problème Depuis le toit d un édifice de 20 m de hauteur, une arpenteuse-géomètre a mesuré l angle d élévation du toit d un autre édifice ainsi que l angle de dépression de la base de cet édifice. Détermine la hauteur de l édifice le plus élevé, au dixième de mètre près. L angle de dépression se trouve sous l horizontale.

45 ex2: indice... La hauteur de l édifice est représentée par PR. Alors, PR = PS + SR!

46 ex2: solution Utilise le rapport tangente pour le triangle QRS Résous l équation pour isoler QS

47 ex2: solution Utilise le rapport tangente pour le triangle PQS Résous l équation pour isoler PS

48 ex2: réponse finale L édifice le plus élevé mesure environ 63,1 m de hauteur

49 Devoir! Exercices p.118 #3(ac),4(ac),5(ac), 6,8,9,10,12,13,16,17

50 PC11: La loi des sinus

51 Les triangles obliques La trigonométrie des triangles rectangles permet de résoudre des problèmes comportant des triangles rectangles. Cependant, beaucoup de situations intéressantes sont liées à des triangles obliques. Triangle oblique = Triangle ne possédant pas d angle droit.

52 La loi des sinus Relation entre les mesures des côtés et des angles d un triangle quelconque. Soit le ABC, un triangle quelconque où a, b et c sont les longueurs des côtés opposés à A, B et C respectivement. Ainsi :

53 Exemple 1 Pudluck et son ami possèdent chacun un chalet le long de la rivière Kalit, au Nunavut. Ils veulent déterminer la distance qui sépare le chalet de Pudluck du magasin situé à l entrée du village. Ils savent que leurs chalets sont 1,8 km l un de l autre. À l aide d un théodolite, ils estiment la mesure des angles formés par leurs chalets et la tour de télécommunications qui est à côté du magasin. Ces angles sont indiqués dans le schéma. Détermine la distance qui sépare le chalet de Pudluck du magasin au dixième de kilomètre près.

54 Exemple 2 Dans le PQR, P = 36, p = 24,8 m et q = 23,4m. Détermine la mesure de R, au degré près.

55 DEVOIR loi des sinus Partie #1: Résous le problème de l exemple #1 en utilisant les rapports trigonométriques de base. Partie #2 : Manuel pré-calcul 11: p.108 #1(bd), 2, 3, 4(bd) et 5.

56 PC 11: La loi des cosinus

57 La loi du cosinus Cette loi décrit la relation qui existe entre le cosinus d un angle et la longueur des trois côtés d un triangle quelconque. Pour tout ABC, où a, b et c sont les longueurs des côtés opposés à A, B et C respectivement, la loi du cosinus stipule que :! Cette formule peut prendre différentes formes pour déterminer la longueur d autres côtés du triangle :

58 Les côtés d un triangle mesurent 14m, 19m et 12,2m. Détermine la mesure de l angle opposé au côté de 14 m, au degré près. Exemple 1

59 Exemple 2 Résous le ABC, C = 20, a = 11 cm et b = 5 cm. Fais un schéma et détermine les mesures manquantes au dixième près.

60 Devoir : loi du cosinus Manuel pré-calcul 11: p.119 #1(ac), 2(ac), 3, 4(ace), 5, 6, 7, 11, 13, 15, et 20

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