Examen de contrôle continu, module «Mécanique du Solide» 19 octobre h30-16h00 avec calculatrice 1 page de document autorisé

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1 Examen de contrôle continu, module «Mécanique du Solide» 19 octobre h30-16h00 avec calculatrice 1 page de document autorisé Partie 1 : Question de cours [2pt] Qu est ce que le coefficient de Poisson? Dans quel régime rhéologique s applique-t-il? Quelles valeurs bornent le coefficient de Poisson? Voir cours. Partie 2 : Essai mécanique [6pt] Un échantillon cylindrique de longueur L=4 cm et de diamètre d=2.5 cm est testé en compression. Il n y a pas de confinement. a) Compléter le tableau ci-dessous [2pt] ε z = dl [µm] 10 6 / (L[cm ] 10-2 ) σ z =F[kN] 10 3 /(π (d[cm] 10-2 ) 2 /4) t=temps (s) dl=raccourcissement (µm) F=Force axiale (kn) ε z σ z (MPa) b) En déduire la vitesse de déformation de l échantillon dε z /dt [1pt] La déformation évolue linéairement avec le temps (plus ou moins, les valeurs données sont des valeurs arrondies de données expérimentales réelles avec un bruit non négligeable). La pente est de dε z /dt= /s. Un résultat similaire peut être obtenu par dε z /dt Δε z /Δt, si possible en t=300s

2 c) Tracer les points expérimentaux dans le diagramme contrainte axiale (axial stress, σ z ) déformation (axial strain ε z ) ci-dessous [1pt] d) Reste-t-on toujours dans le domaine de l élasticité linéaire? Pourquoi? [1pt] Non, le dernier point expérimental s écarte de la droite en tiretés qui correspondait domaine de l élasticité linéaire et qui ajustait les premiers points expérimentaux e) Calculer le module d Young de l échantillon. [1pt] C est la pente de la droite en tiretés : E= [MPa/1]=29 GPa, ce qui est un ordre de grandeur raisonnable pour les roches. Partie 3 : Répliques [7pt] Un séisme perturbe durablement le champ de contraintes autour de lui. Ce chargement pourrait expliquer le phénomène de réplique d un séisme. Nous allons voir comment l ajout d une contrainte perturbe les directions principales de contraintes. Pour faire simple, nous allons seulement travailler en 2 dimensions. a) Prenons un carré disposé selon les directions principales de contraintes σ 1 0 et σ 3 0. Sur chaque face du carré (AB), (BC), (CD) et (DA), donner les contraintes normales et tangentielles. Reporter sur ces valeurs sur le diagramme de Mohr correspondant. Tracer le cercle de Mohr. [2pt] b) Un séisme charge le système. Il rajoute une contrainte cisaillante σ xy = τ (on la supposera positive avec nos conventions). Donner les nouvelles contraintes normales et tangentielles sur chaque face du carré. Dessiner le nouveau cercle de Mohr. [2pt] c) En déduire les valeurs des nouvelles contraintes principales σ 1 et σ 3. [1pt] d) Indiquer graphiquement comment retrouver les nouvelles directions principales de contraintes. [1pt] e) Une face glissera d autant plus facilement que sa contrainte normale est faible et que sa contrainte tangentielle est forte. Des faces (AB), (BC), (CD) et (DA), lesquelles sont les plus exposées à un glissement? [1pt] L exercice est directement tiré de la feuille de TD (Thème 2, exo 8). Il récompense les travailleurs studieux qui ont effectué un travail personnel sur les documents fournis

3 Partie 4 Module de cisaillement [8pt] Nous allons montrer dans cette partie que le module de cisaillement G peut s exprimer en fonction du module d Young E et du coefficient de Poisson ν. Pour cela, nous allons considérer un carré de côté de longueur 1 ci dessous, soumis à un cisaillement simple. On supposera que l angle γ est petit de sorte que γ tan γ sin γ. a) Rappeler la définition du module de cisaillement. Quel est son ordre de grandeur? G= σ xy /γ (= σ xy /2ε xy ) b) On rappelle que le carré est de côté 1 (un). Calculer la longueur initiale. C est du simple Pythagore : = = 2 c) Calculer la longueur finale +dl en fonction de et de γ. On rappelle que ( 1+ x) α 1+ α x. On applique encore Pythagore, en remarquant que la longueur selon x à prendre est 1+sinγ 1+ γ. La longueur à considérer est donc + dl = (1+γ) (1+ 2γ) = 2 1+γ 2 1+ γ. 2 d) En déduire que dl = γ 2. Exprimer alors dl/ en fonction de σ xy et G. On en déduit que dl=( +dl)- = 2 γ 2 = γ dl et donc = γ σ xy e) On applique un cisaillement simple. Le tenseur de contraintes vaut alors. σ xy 0 Tracer le cercle de Mohr correspondant (on pourra considérer les faces supérieure et gauche du carré ci-dessus). C est l exercice usuel, similaire à l exo 5 du thème 2 de la feuille d exo. Appliquant les conventions de signe relatives au tenseur des contraintes et aux contraintes appliquées sur un plan, on aboutit : - Pour la face supérieure : σ n = 0 τ= σ xy - 3 -

4 - Pour la face gauche : σ n = 0 τ= -σ xy Ces deux faces sont à 90 l une de l autre, donc dans un cercle de Mohr, elles seront décalées de 2x90 =180. Elles permettent de dessiner un diamètre du cercle, donc le cercle de Mohr complet. Le cercle de Mohr a pour rayon σ xy. f) En déduire que les directions principales de contraintes sont à 45 et -45. Justifier. Quelle est la valeur de contraintes principales σ 1 et σ 3. Il suffit de réutiliser nos conventions pour un cercle de Mohr. Si on l applique sur la face supérieure, on observe que la direction de σ 1, la contrainte principale maximale est incliné de 45 sur la droite par rapport à la verticale. La direction de σ 3 est à 90 de celle de σ 1. σ 1 =rayon du cercle de Mohr= σ xy. De même, σ 3 =-σ xy. g) En remarquant que dl/ = ε 3, donner une nouvelle formulation de dl/ en fonction de σ xy, du module d Young E et du coefficient de Poisson ν. Si on suppose σ xy >0, comme dans la figure ci-dessous, on observe que - on comprime à 45 à droite par rapport à la verticale (direction de σ 1 =σ xy ) - on étire à 45 à droite par rapport à la verticale (direction de σ 3 =- σ xy ) - 4 -

5 Or nous avons calculé le long de la diagonale inclinée de 45 à gauche par rapport à la verticale, donc dans la direction de σ 3. On en déduit que ε 3 = dl (1). Le signe «-» permet de respecter nos conventions de signe géophysiques. Comme le milieu est élastique, ε 3 peut aussi se calculer à partir des contraintes imposées : ε 3 = 1 E σ 3 ν E σ 3 = 1+ν E σ xy (2). On déduit des équations (1) et (2) que dl = 1+ν E σ xy. h) En comparant avec le résultat de la question d) en déduire queg = En d), nous avions montré que dl = γ 2. On déduit donc de la question précédente l égalité : γ 2 = 1+ν E σ xy. On peut calculer le rapport G = σ xy = γ CQFD. E 2( 1+ν). E 2( 1+ν)