ECO Microéconomie PC 5 - Biens publics et externalités - Correction

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1 ECO Microéconomie PC - Biens publics et externalités - Correction Exercice 1 : Biens publics et règle de Samuelson Considérons une économie composée de trois ménages avec pour dotation initiale de richesse m 1, m 2 et m 3. Nous faisons l hypothèse que les dotations initiales sont suffisamment larges (possibilité de produire la quantité optimale de bien public). L économie a deux biens : un bien privé x qui est le numéraire (prix égal à 1) et un bien public pur g. Le bien public est produit à partir du numéraire avec une technologie linéaire (coût marginal constant c). 1. Calculer le niveau optimal de bien public lorsque les préférences des ménages sont données par u 1 (x 1, g) = x 1 + ln g, u 2 (x 2, g) = x ln g, u 3 (x 3, g) = x 3 + ln g et que c = 2. Commenter. Rappel : Règle de Samuelson : la quantité optimale de bien public est telle que la somme des dispositions marginales à payer pour le bien public g est égale au coût marginal de production du bien public ou H h=1 U h (x h,g) G U h (x h,g) h = c (G). Dans cette question les préférences sont quasi-linéaires ( uh = 1 pour tout h) : toutes les allocations h optimales au sens de Pareto donne le même niveau de bien public qui est par la règle de Samuelson ( 1 g + 2 g + g = 2) d où g = Nous faisons maintenant l hypothèse que m 1 + m 2 + m 3 = 120 et que c = 10. Calculer le niveau optimal de bien public lorsque les préférences des ménages sont données par u 1 (x 1, g) = ln x 1 + ln g, u 2 (x 2, g) = 2 ln x 2 +2 ln g et u 3 (x 3, g) = 3 ln x 3 +3 ln g. Commenter. La règle de Samuelson nous donne : x1 +x 2 +x 3 g = 10 car T MSgh h = xh g, h. La contrainte budgétaire de l économie est x1 +x 2 +x 3 +10g = 120. En combinant les deux on obtient : g = 6 pour toutes les allocations Pareto-efficaces (même TMS pour tous les ménages). Considérons une économie composée de deux ménages avec pour dotation initiale telle que m 1 + m 2 = 100 et c = Calculer le niveau optimal de bien public lorsque les préférences des ménages sont données par u 1 (x 1, g) = x 1 + ln g, u 2 (x 2, g) = x 2 g. Commenter. La règle de Samuelson nous donne 1+x2 g = 1 car T MSg1 1 = 1 g et T MSg2 2 = x2 g. La contrainte budgétaire de l économie est x1 + x 2 + g = 100. Exemples d allocations efficaces au sens de Pareto : (x 1, x 2, g) : (9, 4, 46) ou (1, 24, 2). Discuter : quantité de g n est plus unique (les TMS ne sont pas identiques pour tous les ménages). 1

2 Exercice 2 : Biens publics, prix de Lindahl (Lindhal, 1919 ; Johansen, 1963) et contribution volontaire Dans cet exercice nous étudions la possibilité de décentraliser la quantité de bien public optimale par un mécanisme de marché : est-il possible qu une économie où les agents poursuivent leur intérêt arrive à une allocation efficace? 1. Expliquer intuitivement pourquoi l équilibre concurrentiel dans le cadre de référence n est pas Paretoefficace avec bien public? Intuitivement l équilibre concurrentiel dans le cadre de référence n est pas Paretoefficace avec bien public car on ne peut pas demander aux consommateurs de payer le même prix pour un bien qu il apprécie différemment. Nous allons maintenant introduire le concept de prix personnalisés. Considérons une économie composée de trois ménages avec pour dotations initiales ω 1, ω 2 et ω 3. Nous faisons l hypothèse que les dotations initiales sont suffisamment larges (possibilité de produire la quantité optimale de bien public). L économie a deux biens : un bien privé x qui est le numéraire (prix égal à 1) et un bien public pur g. Le bien public est produit à partir du numéraire avec une technologie linéaire (coût marginal constant c). Notons τ h la part du coût de provision du bien public à la charge du ménage h avec h τ h = 1. Nous allons utiliser ces prix afin que la demande de bien public soit la même pour tous : bien privé : même prix pour tous mais quantités consommées différentes ; bien public : même quantité pour tous mais prix différents. La demande de bien public pour un ménage h est g h = L h (τ h, ω h ) obtenu par la maximisation de U h (x h, g h ) sous la contrainte x h + τ h cg h = ω h avec g h la quantité de bien public que le ménage h souhaiterait voir produite lorsqu il fait face à sa contrainte de budget. Soit cg h le coût total de production du bien public et τ h la part du coût payée par le ménage h. 2. Donner le résultat du problème du ménage. La condition du premier ordre nous donne : U h g h U h x h = τ h c. (1) La résolution de cette équation en g h nous donne g h = L h (τ h ; ω h ) la fonction de réaction de Lindhal qui décrit comment la demande de bien public d un ménage varie en fonction de la part du coût payée et la dotation initiale. L h (τ h ; ω h ) est une fonction décroissante en τ h. Définition. Un équilibre de Lindhal est un triplet {ˆτ 1, ˆτ 2, ˆτ 3 } tel que ˆτ 1 + ˆτ 2 + ˆτ 3 = 1 L h (ˆτ h ; ω h ) = G 0, h = 1, 2, Montrer que l équilibre de Lindhal est efficace au sens de Pareto. Interprétation. Si on somme les CPOs des ménages (1) nous obtenons la règle de Samuelson avec ˆτ 1 + ˆτ 2 + ˆτ 3 = 1 qui assure la faisabilité de l allocation. Les prix de Lindhal sont une forme de benefit taxation : les individus avec une plus grande disposition à payer vont payer plus pour la fourniture du bien. 4. Dans le cas de point 1 de l Exercice 1 montrer que les prix de Lindhal sont indépendant des dotations initiales. Puis en supposant que m 1 = 20, m 2 = 40, m 3 = 60, calculer les prix de Lindhal dans le cas de point 2 de l Exercice 1. Point 1 : ˆτ 1 = 1/8, ˆτ 2 = 2/8, ˆτ 3 = /8 (indépendamment des dotations initiales). Point 2 : ˆτ 1 = 1/6, ˆτ 2 = 2/6, ˆτ 3 = 3/6. L analyse ci-dessus est valide sous l hypothèse que les ménages sont honnêtes lorsqu ils révèlent leur quantité souhaitée en fonction de la part du coût qu ils doivent supporter : ils maximisent leur utilité en prenant comme fixe leur part du coût.. Montrer que les ménages ont intérêt à manipuler leur réponse. Interprétation. L équilibre obtenu avec des prix de Lindahl a un énorme problème : l équilibre de Lindahl ne satisfait pas les contraintes d incitations. Dessiner un graphique avec des fausses annonces : par exemple (p116 du livre Hindriks et Myles (MIT Press, 2006) Questions subsidiaires : Considérons maintenant la fourniture privée d un bien public pour H ménages avec dotation ω h unités du numéraire. Les ménages jouent de manière simultané et non-coopérative : 2

3 stratégie g h [0, ωh c ], utilité U h (x h, G) = U h (ω h cg h, g h + Ḡh ), (2) avec G = H i=1 gi et Ḡh = G g h = H k h gk. Nous cherchons l équilibre de Nash du jeu où chaque ménage est sur sa fonction de meilleur réponse ψ h (Ḡh ). Question subsidiaire : Calculer ψ h (Ḡh ) par la maximisation de (2) par rapport à g h (avec Ḡh comme donnée). Comparer le résultat obtenu avec celui du cas de Lindahl (équation (1)). Cela nous donne, lorsque g h > 0, U h G U h x h = c. (3) Comparer le résultat obtenu avec celui du cas de Lindahl (équation (1)). Équilibre de Nash : profil de stratégies {ĝ h } avec ĝ h [0, ωh c ] tel que pour tout h ĝh = ψ h (Ḡh ), with Ḡh = k h ĝk. Question subsidiaire : Supposer que nous sommes dans le cas de l Exercice 1 point 2 avec m 1 = 20, m 2 = 40, m 3 = 60. Calculer les fonctions ψ 1 (g 2 + g 3 ), ψ 2 (g 1 + g 3 ) et ψ 3 (g 1 + g 2 ). Quel est l équilibre de Nash du jeu de contribution? Commenter. ψ 1 (g 2 + g 3 ) = max{0, (g2 + g 3 )}, ψ 2 (g 1 + g 3 ) = max{0, (g1 + g 3 )}, ψ 3 (g 1 + g 2 ) = max{0, (g1 + g 2 )}, tel que ĝ 1 = 0, ĝ 2 = 2/3, ĝ 3 = 8/3. À l équilibre de Nash nous avons les ménages 2 et 3 qui contribuent et la quantité totale de bien public est 10 3 < g = 6. 3

4 Exercice 3 : Contribution volontaire de bien public et intervention du gouvernement Supposons que le gouvernement décide de produire quelques unités de bien public G P et que deux ménages jouent le jeu de contribution volontaire. Soit u 1 (x 1, g 1 + g 2 + G P ) = 1 3 ln(x1 ) ln(g1 + g 2 + G P ) et u 2 (x 2, g 1 + g 2 + G P ) = 1 2 ln(x2 ) ln(g1 + g 2 + G P ), avec c = 1, et dotation initiale ω 1 et ω 2 tel que la solution du jeu est intérieure (4ω 1 ω ω1 ). 1. Quelles sont les fonctions de réaction des ménages lorsque G P = 0? Quel est l équilibre de Nash du jeu? ψ 1 (g 2 ) = max{0, 2ω1 3 g2 3 } ψ 2 (g 1 ) = max{0, ω2 2 g1 2 } tel que ĝ 1 = 4ω1 ω 2, ĝ 2 = 3ω2 2ω 1, Ĝ = 2(ω1 +ω 2 ). 2. Supposons que le gouvernement choisit de produire G P de bien public et que chaque ménage paie une taxe forfaitaire (lump-sum) GP 2 pour couvrir le coût de provision de G P. Quel est le niveau fourni par les ménages maintenant? Quelle est la quantité de bien public produite à l équilibre de Nash? Commenter. ψ 1 (g 2, G P ) = max{0, 2ω1 3 g2 3 2GP 3 } ψ 2 (g 1, G P ) = max{0, ω2 2 g1 2 3GP 4 } Ĝ = 2(ω1 +ω 2 ) G P tel que Ĝ + GP = 2(ω1 +ω 2 ) Nous obtenons un effet total d éviction : baisse de la fourniture privé qui est provoquée par une hausse de la provision publique. Attention mauvaise intervention du gouvernement. Dans ce type de jeu ce résultat est robuste tant que la solution est intérieure pour tous les ménages. Article original : Bergstrom, T., Blume, L., et Varian, H. (1986).On the private provision of public goods. Journal of Public Economics 29(1) :

5 Exercice 4 : Externalités I. Considérons le cas d une externalité négative de production. Soit la demande inverse p d (q) = 10 q et l offre inverse p s (q) = q = MC pr (q). Le coût total de l externalité est donné par CE(q) = q 2 /2 (coût marginal de l externalité MCE(q) = q). 1. Quel est l équilibre de marché (q, p)? L équilibre est tel que demande = offre d où q = et p =. 2. Quel est l optimum de Pareto? tel que q = 10/3 < (avec l équilibre de marché). 10 q = MC so (q) = MC pr (q) + MCE(q) = q + q 3. Le gouvernement pense introduire une taxe unitaire t sur la production d acier (taxe pigouvienne). Quel est le niveau de la taxe qui permet de décentraliser l optimum à l équilibre de marché? Commenter. Avec une taxe unitaire, t l équilibre de marché est tel que p d (q) = p s (q)+t. Soit q +t = 10 q implique q = 10 t 2. Comme q = 10/3 alors t = 10 3 = MCE(q ) et donc q = q = Remarque : p d = 20 3 > > p s = 10 3 les consommateurs payent un prix plus élevé et le prix des producteurs à diminuer par rapport à l équilibre de marché : le poids de la taxe est partagé entre les deux côtés du marché. II. Considérons le cas d une externalité de production avec deux firmes. Un producteur d acier s qui pollue et un pêcheur qui produit f et qui est affecté par la pollution. Les fonctions de coût sont telles que c s (s, x), où s l output et x la pollution produite avec cs(s,x) < 0 si x < x et cs(s, x) = 0. c f (f, x), où f est output et c f (s,x) > 0. Les secteurs de l acier et de la pêche sont concurrentiel avec prix p s et p f. 1. Quel est l équilibre de marché dans les deux secteurs? Commenter. Soit s e, f e, x e les quantités d équilibre La maximisation du profit de la firme s : CPOs max s,x Π s = p s s c s (s, x) p s = c s(s e, x e ) s c s (s e, x e ) = 0 D où x e = x : le producteur d acier ne prend pas en compte sont impact sur le pêcheur f augmentation de la pollution tant que cela réduit ses coûts. La maximisation du profit pour la firme f donne CPO max f Π f = p f f c f (f, x) p f = c f (f e, x e ) f 2. Quel est l équilibre efficace au sens de Pareto? Soit s, f, x les quantités à l équilibre efficace au sens de Pareto. Si les deux firmes sont la propriété de la même firme pas d externalité La maximisation du profit joint donne : max s,x,f Π s + Π f = p s s c s (s, x) + p f f c f (f, x) CPOs p s = c s(s, x ) s p f = c f (f, x ) f

6 c s (s, x ) + c f (f, x ) = 0 D où x < x e = x : l équilibre de marché implique un niveau trop élevé de pollution. Intuition : efficacité de Pareto prise en compte de l effet de la pollution sur le coût marginal des deux firmes. 3. Introduisons des droits à l eau propre pour le pêcheur r. Ces droits peuvent être vendu à l entreprise d acier au prix de x afin d autoriser la pollution. Quel est la demande de droits à polluer de l entreprise s et l offre de l entreprise f? Quel est l équilibre de marché de droit? Commenter. L entreprise d acier va maintenant : max s,x Π s = p s s rx c s (s, x) La demande de x est telle que L offre de droits du pêcheur L offre est telle que r = c s(s, x) max f,x Π f = p f f + rx c f (f, x) r = c f (f, x) L équilibre du marché de x le prix ajuste l offre à la demande c s(s, x) = c f (f, x) ou c s (s, x) + c f (f, x) = 0 ce qui correspond à la condition d optimalité de Pareto. Commentaire : lorsqu il y a un marché de droit à polluer pour x, l efficacité est restaurée Le marché demande moins d information que la taxe pigouvienne mais s appuie sur des hypothèses fortes : par ex. l offre est représentée. Remarque : le même résultat peut être atteint si les droits sont données à s droits à polluer jusqu à x maximum et le pêcheur doit payer pour réduite la pollution Profit de s : Π s = p s s+r( x x) c s (s, x) Profit de f : Π f = p f f r( x x) c f (f, x) La maximisation du profit même condition que précédemment même résultat Conclusion : théorème de Coase : l allocation des droits de propriété ne change rien à l efficacité de l allocation. Par contre implications différentes en termes d équité. Question subsidiaire : Montrer quel est l effet de l introduction d une taxe pigouvienne sur la pollution? L optimum de Pareto peut être atteint avec une taxe pigouvienne : t = c f (f, x ). La solution du programme de maximisation du profit de la firme s nous donne directement ce résultat : CPOs max s,x Π s = p s s c s (s, x) tx p s = c s(s, x ) s t = c s(s, x ) ce qui satisfait la condition d efficacité de Pareto pour t = c f (f,x ). 6