Moyens de fabriquer un champ à partir d'un autre champ

Transcription

1 Moyens de fabriquer un champ à partir d'un autre champ

2 à l'aide d'opérateurs locaux - Gradient : - Divergence : - Rotationnel : grad div rot Qui interviennent dans les équations de bilan sous forme locale (ou différentielle)

3 Définitions Interprétations tations physiques Propriétés

4 Gradient

5 Gradient Quels que soient : - Les coordonnées, - Le repère On définit, d le gradient AU POINT M du CHAMP SCALAIRE f par : df = grad f. dom Aussi noté f CHAMP VECTORIEL

6 Gradient Quels que soient : - Les coordonnées, - Le repère On définit, d le gradient AU POINT M du CHAMP SCALAIRE f par : df / dh = (grad f). h si dom = (dh) h

7 Gradient Comment le calculer? Cartésiennes Cylindriques Sphériques

8 Direction et sens du gradient P dh M Direction du gradient? h O Direction h Autres directions

9 Direction et sens du gradient P dh Sens de la croissance la plus rapide de f M h O Direction h Le gradient d'une fonction est dirigé suivant la direction de variation la plus RAPIDE de f, dans le sens des valeurs croissantes de f.

10 Direction et sens du gradient M Le gradient d'une fonction est NORMAL aux iso-f ISO-f

11 Circulation d'un champ de gradient - Un champ scalaire f(m) V ( M ) = grad f ( M ) V(M 1 ) V(M 2 ) M 2 e t (M 2 ) B A M 1 e t (M 1 )

12 Circulation d'un champ de gradient Circulatio n = grad f ( M ) dom Circulation = df Circulation = f ( B) f ( A) Le résultat r ne dépend d pas du chemin suivi

13 Circulation d'un champ de gradient f(b) - f(a) = chute de potentiel Le résultat r ne dépend d pas du chemin suivi Caractéristique ristique des champs conservatifs

14 A retenir Il y a en fait équivalence entre : - Le champ V est conservatif. - Le champ V dérive d d'un potentiel. - Il existe un champ f tel que V = grad f. - V(M).d(OM) est une différentielle exacte (qui vaut df). - La circulation de V d'un point A à un point B ne dépend d que de A et de B. - La circulation de V sur TOUT contour fermé vaut 0.

15 Divergence et rotationnel

16 Divergence et rotationnel - Un champ vectoriel V (M ) V (M ) V (M ) DIVERGENCE ROTATIONNEL

17 La divergence

18 Expressions de la divergence : cartésiennes cylindriques sphériques Relation utile : div ( λv ) = λdiv( V ) + grad( λ) V

19 Interprétation tation physique? Formule de la divergence (Ostrogradsky( Ostrogradsky) ) : Σ V dσ = div ( V ) dω Ω Σ UN FLUX Φ Ω

20 Interprétation tation physique? Masse volumique : M Ω ρ( Ω)= M Ω ρ( P)= dm dω Généralisation à tout Ψ: ρ Ψ Ψ ( P)= lim Ω 0 en P ( ) ( ) Ω = Ω ρ Ψ ΨΩ ( ) Ω P dω dω dm Grandeur extensive P Ressemble à l'intégrale de Green-Ostrogradsky

21 Interprétation tation physique! Densité d'un scalaire ρ Ψ ( M)= lim Ω 0 en M ΨΩ ( ) Ω ( ) Φ( Σ) Divergence Divergence div V M = lim Ω 0 en M (Cette limite n'existe pas toujours) Ω La divergence d'un champ vectoriel est au flux vectoriel ce que la densité est à un champ scalaire

22 Conséquence sur les équations de bilan Équations locales Ψ ρ Ψ Densité de flux Φ? Densit DIVERGENCE La divergence intervient chaque fois qu'on exprime la conservation d'une grandeur dans un milieu continu (cf. la suite du cours).

23 Illustrations possibles (EN LOCAL) div( A ) > 0 source X M div( A ) < 0 puits M X div( A ) = 0 X M

24 Le rotationnel

25 Expression du rotationnel en coordonn Expression du rotationnel en coordonnées cart es cartésiennes : siennes : = y V x V x V z V z V y V rotv x y z x y z cartésiennes cylindriques sphériques

26 Relations utiles rot ( λv ) = λrot( V ) + grad( λ) V Formule du rotationnel (Stokes) V Φ = Γ V dom = rot( V ) dσ Σ M Σ Γ

27 Justification de la terminologie Champ V div(v ) rot(v ) Uniforme 0 0 Divergent V ρ = Cste Tournant V ϕ = Cste V ρ ρ > 0 0 Vϕ e ρ 0 z

28 Champs à divergence nulle

29 Champs à divergence nulle Si V est tel que div(v)=0 (en tout point), dans ce cas, il existe un champ Ψ tel que : V=rot(Ψ) div(rot)=0 Potentiel vecteur

30 Champs 2D à divergence nulle (1/4) Si V est un champ 2D, on peut montrer que : Donc V grad(ψ) Et comme grad(ψ) iso-ψ V =grad(ψ) k V // iso-ψ Les lignes de courant/champ d un d champ à divergence nulle sont données par : Ψ = cste Ψ est appelée e fonction de courant

31 Champs 2D à divergence nulle (2/4) Conséquence A Ψ=Ψ A =cste dh V B n Ψ=Ψ B =cste B Φ= V. n dh A =Ψ B Ψ A = cste entre 2 LdC

32 Champs 2D à divergence nulle (3/4) Les champs à divergence nulle sont dits : Champs à flux conservatif

33 Champs 2D à divergence nulle (4/4) 2D plan Cartésien U = Ψ y V = Ψ x 2D plan Cylindrique U ρ = 1 Ψ ρ ϕ U ϕ = Ψ ρ 2D axisym. Cylindrique U ρ = 1 Ψ z U ρ ρ ρ Ψ z = 1 Exercice : vérifier que ces champs sont bien à divergence nulle

34 Extension : champs 3D à divergence nulle Flux Φ Même flux Φ Flux conservé le long d un d tube de courant Flux net au travers de l enveloppe l d un d tube de courant = 0

35 Champs à divergence nulle On montre en outre : Ω = rot ( V ) = ΔΨk Pour un champ irrotationnel et à divergence nulle, la fonction de courant s'obtient en résolvantr L'EQUATION de LAPLACE : ΔΨ=0

36 Champs à rotationnel nul ou, autrement dit Champs irrotationnels

37 Champs à rotationnel nul (1/2) Si V est tel que rot(v)=0 (en tout point), dans ce cas, il existe un champ Φ tel que : V=grad(Φ) Fonction "potentiel" rot(grad grad)=0 Les champs à rotationnel nul sont donc : des champs conservatifs

38 Champs à rotationnel nul (2/2) Ligne de courant V M ISO-Φ

39 Champs 2D, permanents tels que div(v)=0 et rot(v)=0 V=grad(Φ) V=rot(Ψ) Iso-potentielles Φ=cste Lignes de courant Ψ=cste