Simulation de la croissance de grains

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1 Simulation de la croissance de grains Benoit Serre, Claire Maurice et Roland Fortunier Centre SMS UMR CNRS 5146 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.1/26

2 Introduction Structure simulée représentative de la microstructure d un matériau granulaire ( joue le rôle de VER ) Structure 3D hors équilibre évolution vers des joints courbes Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.2/26

3 Introduction (bis) La taille des grains influence certaines propriétés macroscopiques des matériaux granulaires (exemple de la limite à la rupture). On souhaite contrôler cette évolution (ajout de particules «dures») pour obtenir des propriétés prédéterminées. Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.3/26

4 Introduction (bis) La taille des grains influence certaines propriétés macroscopiques des matériaux granulaires (exemple de la limite à la rupture). On souhaite contrôler cette évolution (ajout de particules «dures») pour obtenir des propriétés prédéterminées. Développer et d intégrer un modèle de croissance de grains dans un code éléments finis : ZeBuLoN. - Péréniser les résultats - Traiter des problèmes de grandes tailles - Enrichir le modèle de croissance cristalline Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.3/26

5 Plan 1. Base des modèles éléments finis (a) Dynamique du joint de grains (b) Modélisation éléments finis 2. Modélisation par vitesse normale 3. Modélisation avec 3 degrés de libertés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.4/26

6 Plan 1. Base des modèles éléments finis 2. Modélisation par vitesse normale (a) Hypothèse simplificatrice (b) Quantités élémentaires (c) Etude d un cas test 3. Modélisation avec 3 degrés de libertés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.4/26

7 Plan 1. Base des modèles éléments finis 2. Modélisation par vitesse normale 3. Modélisation avec 3 degrés de libertés (a) Les Hypothèses spécifiques (b) Réduction du problème par des relations linéaires (c) Quantités élémentaires (d) 2 cas tests étudiés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.4/26

8 Partie 1 Base des modèles éléments finis Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.5/26

9 Dynamique du joint de grain 3 réseaux avec des orientations cristallographiques différentes : - excès d énergie - mouvement du joint avec une vitesse normale - freinage des atomes lors du réarrangement cristallographique traduit par une force de frottement Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.6/26

10 Dynamique du joint de grain 3 réseaux avec des orientations cristallographiques différentes : - excès d énergie - mouvement du joint avec une vitesse normale - freinage des atomes lors du réarrangement cristallographique traduit par une force de frottement Equation du mouvement (Turnbull, 1951) : v n = mγκ κ : somme des courbures principales m : mobilité du joint γ : énergie libre surfacique Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.6/26

11 Formulation variationnelle Modèle de Kawasaki (1989) Energie libre du joint : L = S γds Potentiel Dissipatif : D = S v 2 n 2m ds Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.7/26

12 Formulation variationnelle Modèle de Kawasaki (1989) Energie libre du joint : L = S γds Potentiel Dissipatif : D = S v 2 n 2m ds Formulation variationnelle de l équation de Lagrange pour un joint maillé avec n v noeuds : n v i=1 ( D + L ).δv i = 0 v i x i δv i C.A. Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.7/26

13 Approximations éléments finis Vitesse dans un élément composé de k noeuds : v e = k N i v i i=1 L et D comme sommes de quantités élémentaires : L = D = n elt e=1 L e = n elt D e = e=1 n elt e=1 γ e S e n elt Se (vn) e 2 2m e dse e=1 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.8/26

14 Système matriciel Ecriture de notre formulation variationnelle sous forme d un système matriciel : [A]{V } = {F } Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.9/26

15 Système matriciel Ecriture de notre formulation variationnelle sous forme d un système matriciel : [A]{V } = {F } {F } vecteur force extérieure assemblé à partir des forces élémentaires : f e i = Le x i [A] matrice de viscosité assemblée à partir des dérivées élémentaires du potentiel de dissipation : [A e ]{V e } = De v i Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.9/26

16 Résolution du système Programme principal de ZeBuLoN Résolution directe de : [A]{V } = {F } Contrôle automatique du pas de temps Intégration explicite dans le temps t < t final Temps t Calcul des grandeurs géométriques Assemblage de [A(t)] et {F(t)} Résolution: [A(t)]{V } = {F(t)} Mise à jour de la géométrie t = t + t Retour au programme principal de ZeBuLoN Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.10/26

17 Partie 2 Modélisation par vitesse normale Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.11/26

18 Hypothèse simplificatrice Mouvement d un joint seul suivant sa normale : noeud un joint v i = v ni n i Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.12/26

19 Hypothèse simplificatrice Mouvement d un joint seul suivant sa normale : noeud un joint v i = v ni n i Nouvelle formulation variationnelle : n v i=1 ( D.n i + L ).n i δv ni = 0 v i x i δv ni C.A. Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.12/26

20 Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : On pose v e n = { k N i v ni n i.n e i=0 Bi e=n in i.n e a e ij = S B e 1 e i m B e e j dse Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.13/26

21 Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : D où D e v i.n i = k j=0 a e ijv nj Force normale élémentaire : f e n i = f e i.n i = γ e Se x i.n i Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.13/26

22 Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : D où D e v i.n i = k j=0 a e ijv nj Force normale élémentaire : f e n i = γe 2 [(x i+ x i ) n e ].n i 1 ddl par noeud : sa vitesse normale ({V } contient l ensemble de ces vitesses) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.13/26

23 Cas test : joint sphérique Equation particulière du mouvement dans le cas d un joint sphérique : t V (t) = mγ 2 R(t) équation différentielle du 1 er ordre R(t) R(t+dt) V(t) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.14/26

24 Cas test : joint sphérique Equation particulière du mouvement dans le cas d un joint sphérique : t V (t) = mγ 2 R(t) équation différentielle du 1 er ordre Evolution de la surface dans le temps : R(t) R(t+dt) V(t) t S(t) = 4πR 2 (t) = 4π(R 2 0 4mγt) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.14/26

25 Cas test : joint sphérique Equation particulière du mouvement dans le cas d un joint sphérique : t V (t) = mγ 2 R(t) équation différentielle du 1 er ordre Evolution de la surface dans le temps : R(t) R(t+dt) V(t) t S(t) = 4πR 2 (t) = 4π(R 2 0 4mγt) Maillage d un 8 ième de sphère composé de 64 éléments triangulaires linéaires Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.14/26

26 Résultats Décroissance uniforme de la sphère z z z z x y x y x y x y Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.15/26

27 ËÙÖ Ñ ¾ µ Résultats Décroissance uniforme de la sphère Evolution de la surface de la sphère ¼ Ò ÐÝØ ÕÙ ÙÖ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÖ ¾ ¾¼ ½ ½¼ ¼ ¼ ¼¼¼ ½¼¼¼¼ ½ ¼¼¼ ¾¼¼¼¼ Ì ÑÔ µ Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.15/26

28 Partie 3 Modélisation avec 3 degrés de libertés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.16/26

29 Les Hypothèses spécifiques Le modèle précédent valable pour les joints isolés : v i = v ni n i Cas d un noeud appartenant à une ligne triple : v i.t i = 0 Cas d un noeud qui est un point quadruple : v i est quelconque ligne triple Joint 3 Joint 2 Joint 1 Joint 6 Joint 5 point quadruple Joint 4 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.17/26

30 Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26

31 Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Cas du noeud appartenant à un joint isolé : Soit k tq v = v n n n k = max l [x,y,z] n l 2 relations linéaires : j k v j = n j n k v k Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26

32 Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Cas du noeud appartenant à une ligne triple : Soit k tq v.t = 0 t k = max l [x,y,z] t l 1 relation linéaire : v k = j k t j t k v j Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26

33 Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Pour résumer : type de noeuds nbre DDL nbre RL isolé 1 2 ligne triple 2 1 point quadruple 3 0 Gestion automatique de ces relations linéaires Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26

34 Conditions périodiques La continuité des déplacements impose des conditions de périodicité sur le VER A B V A = V B Algorithme automatique de détection des noeuds périodiques - détection des joints périodiques (surface, nombre d éléments) - détection des éléments périodiques (surface, normale) - détection des noeuds périodiques (comparaison avec les barycentres) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.19/26

35 Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : { B e i On pose =N in e a e ij = 1 S e m B e e i Be j dse D où Force élémentaire : D e v i = k j=0 a e ijv j f e i = γe 2 [(x i+ x i ) n e ] Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.20/26

36 Nouvel algorithme Programme principal de ZeBuLoN Temps t Calcul des grandeurs géométriques Assemblage de [A(t)] et {F(t)} t < t final Résolution [A(t)]{ U} = t.{f(t)} Mise à jour de la géométrie Calcul du pas de temps t t = t + t Retour au programme principal de ZeBuLoN Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.21/26

37 Cas tests Dans le cas d un joints sphérique, on obtient des résultats identiques Nouveau cas test : ligne triple y y z x z x maillage initial résultat simulation Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.22/26

38 Cas tests Dans le cas d un joints sphérique, on obtient des résultats identiques Nouveau cas test : ligne triple Une autre ligne triple y z x Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.22/26

39 Autres exemples Exemple de calcul avec des conditions périodiques y z x Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.23/26

40 Ò Ö Ð Ö Autres exemples Exemple de calcul avec des conditions périodiques ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð³ Ò Ö Ð Ö ¾ Ð Ò ØÖ ÔÐ Ô Ö Ó ÕÙ º Ò Ö Ð Ö ØÓØ Ð Ù Ý Ø Ñ º º º º º º¾ º½ ¼ ¾¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ½¼¼¼¼ ½¾¼¼¼ Ì ÑÔ µ Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.23/26

41 Autres exemples (2) Calcul sur une structure plus réelle Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.24/26

42 Conclusions et perspectives Développement d un modèle de croissance de grains capable de gérer la connectivité des noeuds et les conditions périodiques Ce modèle a été vérifié dans le cas de géométries simples. Pour passer à des structures réelles : - Amélioration du temps de calcul, parallélisation - Prévoir les transformations topologiques - Enrichir la physique du problème : particules de seconde phase, énergie volumique, mobilité tensorielle, etc... Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.25/26

43 Exemple de fichier INP ÄÄ Ä Å ÆÌ º ¹¼¾ ÜÔÐ Ø Ö Ò ÖÓÛØ ÐÙÐ ÓÒ Ø Ø Ð Ö Ò ÖÓÛØ Ñ Ð Ò Ñ ÓÒ Ø ¾¼º Ó Ð Ø ÄÄ Ä Å ÆÌ ÔÖ ÙÖ Ø Ñ ¹½º ¼º ½º ½¼ Ú ÐÙ ¼º ½º ½º Ø ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ½ ½ ½º Ñ Ø Ö Ð ÓÙØÔÙØ ¾¼º ÒÔ Ö ÕÙ ÒÝ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÒÖ Ñ ÒØ ÙØÓÑ Ø Ø Ñ Ö Ò Ò Ü ÓÙØÔÙØ ½º¾ ÙÖÚ Ö ºÓÙØ ÙÖ ØÝ ÐÓ Ð Ö Ò Ö Ý Ñ Ü Ø Ñ ¼¼¼º Ö Ø Ø Ñ ½¼º ÐØ Ú Ö ÙÖ Ø Ö ØÙÖÒ ¼º ½¼¼ Ñ Ò ÒÖ ÕÙ Ò ½ Ú ÓÖ Ö Ò ÖÓÛØ ÑÓ Ð Ó Ø Ñ ½¼¼¼¼¼º ÑÓ Ð ØÝ ½º¼ ¹ Ö Ú Ò ÐÓ Ö ØÙÖÒ Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.26/26