Éléments de la théorie de l échantillonnage

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1 Éléments de la théorie de l échantillonnage S. Robin robin@agroparistech.fr AgroParisTech, dépt. MMIP 28 septembre 2007 A lire : Chapitre 2 Éléments d échantillonnage du livre Statistique Inférentielle, Daudin, R., Vuillet (2001) 1

2 Objectif On étudie une population de grande taille. On souhaite estimer une caractéristique quantitative de cette population. Exemples Taux d endettement moyen des entreprises d une région Fréquence d un gène de prédisposition à une maladie dans une population humaine Production laitière moyenne des vaches d une race donnée Écart type de cette production laitière Proportion d électeurs ayant l intention de voter pour le candidat A lors de la prochaine élection 2

3 Échantillonnage Principe général La population P étant trop grande pour être recensée, on en extrait un échantillon E sur lequel on effectue les mesures. Plan d échantillonnage : P E Méthode selon laquelle E est tiré dans P. Inférence : E P Déduction ( transport ), à partir des observations faites sur l échantillon E, des caractéristique de la population P P E 3

4 Estimation d une moyenne On veut estimer la taille moyenne des individus de la population. Notations : N = taille de (i.e. nombre d individus dans) la population de la population P α = indice (numéro) des individus dans la population (α = 1,2,...N) y α = taille (i.e. mesure de la hauteur) de l individu α. µ = taille moyenne des individus de P : µ = 1 N N y α = α=1 Espérance de la taille d un individu pris au hasard uniforme dans P σ = écart type de la taille des individus de P : σ 2 = 1 N N (y α µ) 2 = α=1 Variance de la taille d un individu pris au hasard uniforme dans P 4

5 Exemple : Taille (en cm) des étudiants de l INAPG présents en N = 731 µ = 172.0cm σ = 9.0cm 5

6 Estimation de µ Échantillon E : On tire n individus dans P. Mesure : On note Y i la taille du i-ème individu de l échantillon (i = 1,2,...n). Y i est une variable aléatoire car l individu i est choisi au hasard Estimateur : On note la taille moyenne des individus de l échantillon. Y = 1 n n Y i = 1 n i=1 N ε α y α, en notant ε α = α=1 { 1 si α E 0 sinon Y est une variable aléatoire car c est une fonction des Y i ou des ε α. Estimation : Un fois l échantillon tiré et les mesures faites, on dispose des réalisations des Y i et donc d une réalisation y de Y y = moyenne observée sur l échantillon Inférence : Que peut-on dire de la valeur de la moyenne de la population µ à partir de l estimateur Y et de l estimation y? 6

7 Échantillonnage aléatoire simple Aussi appelée échantillonnage avec probabilités égales et sans remise (PESR). Définition. Un échantillonnage aléatoire simple est tel que les C n N échantillons possibles ont une probabilité égale d être tirés. Propriété de l échantillonnage aléatoire simple. Chaque individu de la population a une probabilité n/n d être pris dans l échantillon. Propriétés de l estimateur Y Espérance : Y est un estimateur sans biais de µ (Y ) = µ Variance : la variance de Y dépend de la taille n de l échantillon, du taux de sondage f = n/n, de la variance de la population σ 2. Î(Y ) = 1 N ( 1 n ) σ 2 nn 1 N 1 (1 f)σ2 n 7

8 Etudiants de l INAPG : Effet de la taille de l échantillon Tirage de 1000 échantillons de taille n = 10 Différentes tailles d échantillon n n = 10 n = 60 n = 120 Moyenne Ecart type

9 Choix de la taille de l échantillon Précision désirée On fixe une précision souhaitée σ Y = Î(Y ) Exemple : σ Y = 1cm. σ M Taille de l échantillon On choisit la valeur de n qui fournit cette précision. Exemple : n = n Variance de la population. La variance σ 2 intervient dans le calcul alors qu elle est inconnue. On recourt alors à l expertise. Exemple : σ 10cm n = 88. 9

10 Cas d une proportion Exemple. Estimer la proportion d individu porteur d un allèle particulier dans une population. Une proportion est une moyenne. On définit la variable x α = { 1 si l individu α porte l allèle 0 sinon En notant π la fréquence du gène dans la population : π = nombre d individus porteurs taille de la population = α x α N. Variance. La variance de la population est donnée par la proportion : σ 2 = π(1 π). 10

11 Échantillonnage stratifié L échantillonnage aléatoire simple tire les individus uniformément dans toute la population. Stratification La population P est souvent structurée en sous-population (strates P 1, P 2,...) liées à la variables d intérêt. P 1 P 2 P 3 P 4 E 4 P 5 Exemples : E 2 Taux d endettement et taille de l entreprise, E 1 Taille de l individu et sexe, E 3 Fréquence allélique et race de l animal, E 5 etc. Idée : Il est certainement judicieux de diviser l échantillon E en sous-échantillons (E 1, E 2,...) issus des différentes strates de la population. 11

12 Etudiants de l INAPG : Répartition de la taille selon le sexe Fem. µ F = 165.7cm σ F = 5.8cm, Masc. µ M = 178.5cm σ M = 6.7cm, Total µ = 172.0cm σ = 9.0cm 12

13 Répartition de l échantillon Notations : H = nombre de strates (numérotées pas h = 1, 2,...H), N h = taille de la strate P h : H h=1 N h = N, n h = taille du sous echantillons E h : H h=1 n h = n. L échantillonnage est caractérisé par le choix des effectifs n h. Echantillonnage proportionnel : Les effectifs n h respectent les proportions de la population : n h = n N h N. Echantillonnage dans les strates : Dans chaque strate, on effectue une échantillonnage aléatoire simple de n h individus parmi N h. 13

14 Estimation de la moyenne Notations pour chaque strate : µ h = moyenne dans la strate P h : µ h = 1 N h x α α P h σ h = écart type dans la strate P h : σh 2 = 1 (x α µ h ) 2 N h α P h Y h = moyenne de l échantillon E h : Y h = 1 X i n h i E h Estimation de µ = moyenne générale de la population : µ = 1 N H N h µ h Y = 1 N h=1 H N h Y h h=1 14

15 Propriété de l estimateur Y Propriétés de Y h. Ses propriétés sont données par l échantillonnage aléatoire simple de n h individus dans une population de taille N h. (Y h ) = µ h, Î(Y h ) = 1 n h N h N h 1 ( 1 n ) h σh 2 N h Propriété de l estimateur Y. Espérance : (Y ) = µ Variance : Î(Y ) = H h=1 ( ) 2 Nh N Î(Y h ) A taille d échantillon n égale, la variance de cet estimateur est toujours plus faible que celle obtenue avec l échantillonnage aléatoire simple : Î(Y stratif. ) Î(Y aléa. ) 15

16 Etudiants de l INAPG : Comparaison des deux méthodes Aléatoire simple Stratifié n = 10 n = 60 n = 120 Moyenne Ecart type n = 10 n = 60 n = 120 Moyenne Ecart type n 1 /n 2 5/5 31/29 62/58 Le gain de précision est d autant plus grand que les moyennes µ h des strates sont différentes (variabilité inter-strates forte). 16

17 Autres méthodes d échantillonnage Échantillonnage en grappes. Exemple : contrôle vétérinaire sur des aliments par lot. P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 On échantillonne quelques lots, dans lesquels on mesure toutes les unités. Hypothèse : les grappes sont homogènes entre elles. E 1 E 3 Échantillonnage à plusieurs degrés. Exemple : Population de grande taille, structurée en régions, communes. P 1 P 2 P 3 P 4 E 4 P 5 On échantillonne quelques régions, au sein desquelles quelques communes, au sein desquelles quelques individus. E 1 E 5 17

18 Et encore... Stratification optimal : en échantillonnage stratifié, la variance Î(M) est minimale quand on sur-sonde les strates les plus variables (n h proportionnel à N h σ h ). Méthode des quotas : stratification respectant les proportions marginales de différentes stratifications (sexe, âge, catégorie socio-professionnelle,...), mais pas les proportions croisées. Échantillonnage systématique : individus de la populations observés dans une ordre prédéfini et échantillonnage d un individu tous les n/n. Méthodes de redressement; stratification a posteriori : échantillonnage aléatoire simple, puis redressement de la moyenne en fonction des effectifs des strates dans l échantillon. Panels : suivi d un ensemble d individus choisis pour être représentatifs une fois pour toute. 18

19 Pratique des sondages Hypothèses : Les propriétés statistiques des estimateurs sont garanties par des hypothèses précises. En pratique, elles ne sont souvent pas respectées. Hypothèse Difficultés / Risques Taille de la population (et des sous populations) connue. Individus tirés avec probabilités égales. Mesures fiables (non entachées d erreur). Base de sondage incomplète ou absente Population visée mal connue Échantillonnage sous optimal ou partiel. Absence de base de sondage, difficulté d accès à certains individus, biais de sélection des sondeurs Probabilités de sélection inégales. Erreurs de mesures, biais de complaisance, incompréhension d un questionnaire, non réponses Variabilité plus grande, voire biais. 19

20 Biais dû à la formulation Enquête par questionnaire Pensez-vous que les Etats-Unis doivent autoriser les discours publics contre la démocratie? Pensez-vous que les Etats-Unis doivent interdire les discours publics contre la démocratie? Doivent autoriser : 21% Ne doivent pas interdire : 39% Ne doivent pas autoriser : 62% Doivent interdire : 46% Pas d opinion : 17% Pas d opinion : 15% 20

21 Biais dû à la présentation Question : Selon vous, quels sont aujourd hui les deux problèmes les plus graves dans la liste des items ci-dessous? Méthodes. La liste est proposée dans l ordre pour une partie de l échantillon et dans l ordre inverse pour l autre partie. Réponse ordre direct ordre inverse Chômage 34% 19% Terrorisme 8.5% 7% Faim dans le monde 21% 17% Guerres 15% 18% Racisme 5% 8% Non respect des droits de l homme 8% 10% Formation des jeunes 1% 6% Délinquance 1% 8% 21

22 Références Les sondages : principes et méthodes A.M. Dussaix, J-M. Grosbras, Que saisje? (701). PUF Sampling techniques W.G. Cochran, Wiley. Pratique et analyse des enquêtes par sondage M. Deroo, A.M. Dussaix, PUF 22