INEGALITES - INEQUATIONS

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1 INEGALITES - INEQUATIONS I- Comparaison de relatifs: 1) Rappel des règles de comparaison vues en cinquième: Un nombre positif et d'un nombre négatif Le positif est supérieur au négatif. Deux positifs Le plus grand est celui qui a la plus grande partie numérique Deux négatifs: Le plus grand est celui qui a la plus petite partie numérique - 7 < > > < > < ) Classer des dans l'ordre croissant ou dans l'ordre décroissant: Classer Classer -5, +2, -9, +1, -6 dans l'ordre croissant -4, -2, +16, +7, -8 dans l'ordre décroissant -9 < -6 < -5 < +1 < > +7 > -2 > -4 > -8 II-Les signes "supérieur ou égal" et "inférieur ou égal" : 1) On dit que a est supérieur ou égal à b si on a soit a > b soit a = b. Notation : a b 8-9 vrai car 8 > x vrai car 2 x 3 = ) On dit que a est inférieur ou égal à b si on a soit a < b soit a = b. Notation : a b 5 7 vrai car 5 < vrai car 4 = III- Ordre et opérations: 1) Addition et soustraction: a) Découverte: Soient les - 7 < - 5 < - 1 < 3 < 4, classés dans l'ordre croissant. Si on ajoute 2 à chacun de ces on obtient: - 5 < - 3 < 1 < 5 < 6, et ces sont aussi classés dans l'ordre croissant. Si on soustrait 6 à chacun de ces on obtient: - 13 < - 11 < - 7 < - 3 < - 2, et ces sont aussi classés dans l'ordre croissant Si on ajoute -5 à chacun de ces on obtient: -12 < - 10 < - 6 < - 2 < - 1, et ces Si on soustrait - 3 à chacun de ces sont aussi classés dans l'ordre croissant on obtient: - 4 < - 2 < 2 < 5 < 6, et ces sont aussi classés dans l'ordre croissant. 2) A retenir: On ne change pas l'ordre dans lequel des sont écrits si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à chacun d'eux. 1

2 3) Utilisation: Soient a et b deux tels que a < b. Que peut-on dire de a) a + 8 et b + 8? a + 8 < b + 8 b) a - 9 et b - 9? a - 9 < b - 9 On sait que 5 < t < 6 (cette double inégalité s'appelle un encadrement de t) En déduire un encadrement: a) de t < t + 2 < 6 + 2, donc 7 < t + 2 < 8 b) de t < t - 10 < 6-10, donc - 5 < t-10 < -4 2) Multiplication et division par un nombre strictement positif: a) Découverte: Soient les - 7 < - 5 < - 1 < 3 < 4, classés dans l'ordre croissant. Si on multiplie chacun de ces on obtient: - 35 < - 25 < - 5 < 15 < 20, et ces par 5 Si on divise chacun de ces par 2 sont aussi classés dans l'ordre croissant. on obtient: -3,5 < -2,5 < -0,5 < 1,5 < 2, et ces sont aussi classés dans l'ordre croissant 2) A retenir: On ne change pas l'ordre dans lequel des sont écrits si on multiplie ou si on divise chacun d'eux par un un même nombre strictement positif (c'est-à-dire un nombre positif différent de 0). 3) Utilisation: Soient z et t deux tels que z > t. Que peut-on dire de a) 4z et 4t? 4z > 4t b) z/7 et t/7? z/7 > t/7 On sait que 8 < y < 9 En déduire un encadrement: a) de 3y 3 x 8 < 3y < 3 x 9, donc 24< 3y < 27 b) de y/5 8/5< y/5 < 9/5, donc 1,6 < y/5 < 1,8 2

3 IV- Encadrements: 1) Amplitude d'un encadrement: Soit la double inégalité a < y < b. Cette double inégalité s'appelle un encadrement de y (on dit que y est encadré entre a et b). L'amplitude de cet encadrement est b - a Exemple: 4,2 < z < 4,3 est un encadrement du nombre z. L'amplitude de cet encadrement est 4,3-4,2 = 0,1 2) Addition d'encadrements "membre à membre": Si a < x < b et c < y < d, alors a + c < x + y < b + d. (On a additionné l'un avec l'autre les deux de gauche, les deux du milieu, les deux de droite. On dit qu'on a additionné les deux encadrements "membre à membre") 3) Multiplication d'encadrements "membre à membre": Si a < x < b et c < y < d et si tous ces sont positifs, alors ac < xy < bd. (On a multiplié l'un par l'autre les deux de gauche, les deux du milieu, les deux de droite. On dit qu'on a multiplié les deux encadrements "membre à membre") 4) Exemples d'exercices: a) Exprimer, en fonction de π, le périmètre (en cm) et l'aire (en cm 2 ) d'un disque de rayon 3 cm (donner les valeurs exactes) b) En utilisant l'encadrement 3,14 < π < 3,15, donner un encadrement de ce périmètre et de cette aire. a) P = 2 x π x 3 = 6 π A= π x 3 2 = 9 π b) 6 x 3,14 < 6 x π < 6 x 3,15, donc: 18,84 cm < P < 18,90 cm 9 x 3,14 < 9 x π < 9 x 3,15, donc: 28,26 cm 2 < A< 28,35 cm 2 La longueur L et la largeur l d'un rectangle sont telles que 5,1 cm < L < 5,2 cm et 2,3 cm < l < 2,4 cm. Donner un encadrement du périmètre P (en cm) et de l'aire A (en cm 2 ) de ce rectangle. 2 x 5,1 < 2 x L < 2 x 5,2, donc 10,2 < 2L < 10,4 2 x 2,3 < 2 x L < 2 x 2,4, donc 4,6 < 2l < 4,8 Donc: 10,2 + 4,6 < 2L + 2l < 10,4 + 4,8, d'où: 14,8 cm < P < 15,2 cm 5,1 x 2, 3 < L x l < 5,2 x 2,4 donc: 11,73 cm 2 < A< 12,48 cm 2 V- Représentations graphiques d'inégalités: 1) Ordre sur une droite graduée: Sur une droite graduée, les sont rangés dans l'ordre croissant quand on va de la gauche vers la droite. 2) Représentations graphiques d'inégalités: 3

4 VI - Inéquations: 1) Exemple et définition: Un rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur a (cm) a) Exprimer en fonction de a le périmètre P (en cm) de ce rectangle. P = 2 x x a = a (ou 2a + 14) b) On veut que ce périmètre soit inférieur à 20 cm. Exprimer cette condition par une inégalité. 2a + 14 < 20 Cette inégalité, où se trouve un nombre inconnu, remplacé par une lettre, s'appelle une inéquation 2a + 14 (partie à gauche de l'égalité) s'appelle le premier membre 20 (partie à droite de l'égalité) s'appelle le deuxième membre c) En déduire la condition que doit vérifier a pour que le périmètre soit inférieur à 20 cm. 2a < a < 6 a < 6/2 a < 3 Ce calcul s'appelle la résolution de l'inéquation L'inégalité trouvée (a < 3) s'appelle la solution de l'inéquation 2) Exemples de résolution: Résoudre les inéquations suivantes, et représenter graphiquement les solutions. 4

5 3) Tester si un nombre est solution d'une inéquation: Soit l'inéquation 5t - 2 < 2t + 10 Vérifier (sans résoudre) que 2 est solution de cette inéquation. On calcule séparément la valeur de chaque membre pour t = 2 5t - 2 = 5 x 2-2 = 10-2 = 12 2t + 10 = 2 x = = 14 Lorsque t = 2, l'inégalité 5t - 2 < 2t + 10 est vraie. Donc 2 est solution de cette inéquation. Montrer que -2 n'est pas solution de l'inéquation y 2 + 5y + 5 < 3y - 1 Pour y = -2 y 2 + 5y + 5= (-2) x (-2) + 5 = = -1 3y - 1 = 3 x(-2) - 1 = -6-1 = - 7 Lorsque y = - 2 l'inégalité y 2 + 5y + 5 < 3y - 1 est fausse. Donc -2 n'est pas solution de cette inéquation 4) Utilisation pour la résolution de problèmes: Exemple: Un vidéo-club propose deux formules de location: Formule A: Pas d'abonnement, 5 euros par cassette louée. Formule B: Abonnement annuel de 20 euros, puis 3,5 euros par cassette louée. a) Exprimer, en fonction du nombre n de cassettes louées dans l'année, le coût pour chacune des deux formules b) Jusqu'à combien de cassettes louées dans l'année la formule A est-elle avantageuse? a) Formule A: 5 x n = 5n Formule B: ,5 x n = 3,5n + 20 b) La formule A est avantageuse si le coût de location avec la formule A est inférieur au coût de la location avec la formule B. On obtient donc l'inéquation: 5n < 3,5n n - 3,5n < 20 1,5n < 20 n < 20/1,5 Or 20/1,5 = 13,33..., donc le plus grand entier vérifiant cette condition est 13. La formule A est avantageuse jusqu'à 13 cassettes louées dans l'année. VII- Exercices: Exercice 1: Soient m et n deux tels que m > n. Que peut-on dire de a) m + 11 et n + 11? b) m - 6 et n - 6? c) 5m et 5n? d) m/3 et n/3? Exercice 2: On sait que 1,7 < k < 1,8. En déduire un encadrement: a) de k + 2,9 b) de k - 3,1 c) de 4k d) de k/2 5

6 Exercice3: Exercice 4: La grande diagonale D et la petite diagonale d d'un losange sont telles que 3,6 cm < D < 3,7 cm et 2,1 cm < d < 2,2 cm. Donner un encadrement de l'aire A (en cm 2 ) de ce losange. Rappel: L'aire d'un losange se calcule par la formule: A = (D x d)/2 Exercice 5: Résoudre les inéquations suivantes, et représenter graphiquement les solutions: Exercice 6: Un triangle a pour base 4, 8 cm. a) Exprimer son aire A (en cm 2 ) en fonction de sa hauteur h b) Quelle condition doit vérifier h pour que cette aire soit supérieure à 8,4 cm 2? Exercice 7: a) 7 est-il solution de l'inéquation 3k - 5 > 2k + 1? b) 3 est-il solution de l'inéquation t 2 + 4t - 15 > 0? 6

7 INEGALITES - INEQUATIONS CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: a) m + 11 > n + 11 b) m - 6 > n - 6 c) 5m > 5n d) m/3 > n/3 Exercice 2: a) 1,7 + 2,9 < k + 2,9 < 1,8 + 2,9, donc 4,6 < k + 2,9 < 4,7 b) 1,7-3,1 < k - 3, 1 < 1,8-3,1, donc -1,4 < k -3,1< -1,3 c) 4 x 1,7 < 4k < 4 x 1,8, donc 6,8 < 4k < 7,2 d) 1,7/2 < k/2 < 1,8/2, donc 0,85 < k/2 < 0,9 Exercice 3: Exercice 4: 3,6 x 2,1 < D x d < 3,7 x 2,2 7,56 < D x d < 8,14 7,56/2 < (D x d)/2 < 8,14/2 donc: 3,78 cm 2 < A< 4,07 cm 2 Exercice 5: Exercice 6: a) A = (base x hauteur) / 2 = 4,8 x h / 2 = 2,4 h b) On doit avoir: 2,4h > 8,4 h > 8,4 / 2,4 h > 3,5 cm Exercice 7: Pour k = - 7: 3k - 5 = 3 x (-7) - 5 = = -26 2k + 1 = 2 x (-7) + 1 = = -13 Pour k = -7, l'inégalité 3k - 5 > 2k + 1 est fausse. Donc -7 n'est pas solution de cette inéquation. Pour t = 3: t 2 + 2t - 15 = x 3-15 = = 6 Pour t = 3, l'égalité t 2 + 4t - 15 > 0 est vraie. Donc 3 est solution de cette inéquation. 7