Chapitre 4 : Modélisation 3D

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1 Chapitre 4 : Modélisation 3D Modélisation 3D et Synthèse Fabrice Aubert fabrice.aubert@lifl.fr Master Informatique F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

2 1 Introduction F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

3 Critères à considérer Prendre un modèle pertinent : déterminer les opérations/propriétés nécessaires et suffisantes (exemple : ne pas représenter explicitement l intérieur d un volume si inutile). Généricité, Interactivité (intuition et/ou performance), Visualisation, Représentation et conversion entre modèles,... Avoir conscience des problèmes éventuels d ambiguités. Exemple : F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

4 2 Représentation polygonale F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

5 Approximation d une surface Représenter une surface par un ensemble de polygones (appelés facettes ou faces) reliés par leurs arêtes : («maillage» ). Représentation par «soupe de polygones» : liste de polygones, et chaque polygone est une liste de points 3D. Exemple : 2 triangles ((S1 x,s1 y,s1 z ),(S2 x,s2 y,s2 z ),(S3 x,s3 y,s3 z )), ((S4 x,s4 y,s4 z ),(S5 x,s5 y,s5 z ),(S6 x,s6 y,s6 z )) Aucune structuration (difficile de retrouver la notion de surface...). Retrouver la structuration (2 faces adjacentes par exemple) par égalité numérique des coordonnées est à proscrire : problème numérique lors des tests d égalité. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

6 Par liste d indices Un tableau de sommets : s[0] = (s 0x,s 0y,s 0z ), s[1] = (s 1x,s 1y,s 1z ), etc Un tableau de facettes, dont chaque facette est représentée par la liste des indices (ou références) de ses sommets : f[0] = (0,1,2), f[1] = (2,1,3). Evite la redondance des coordonnées, et permet de retrouver les adjacences de façon robuste et cohérente (tests sur les indices plutôt que sur les coordonnées). Très souvent utilisé par les outils de visualisation, ou échanges de données (.obj par exemple). Les parcours peuvent être cependant lourds. Ex : toutes les faces incidentes à s 0? Notion d arête commune à 2 faces lourd à gérer. Ex : quelles sont les faces incidentes à [s 0,s 1 ]? ([s 0,s 1 ] est elle une arête?) Construction : insérer/supprimer un sommet/une face/une arête? F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

7 Structurer les polygones On se retrouve rapidement confronté à traduire plus finement la structure des polygones (structure = topologie) qui forment la surface : Exemples de problèmes : trouver les faces incidentes à un sommet ; les arêtes d une face ; recherche d un chemin entre 2 sommets de la surface ; construction ;... Necéssité de formaliser pour les problèmes de généricité/ambiguité : qu est ce qu une surface? F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

8 Conditions «Bonne» surface = 2-variétés combinatoires : Toute arête réunit 2 sommets et seulement 2 sommets. Toute arête est incidente à une face et à au plus deux faces. Une arête incidente à une seule face est dite arête du bord de la surface. Si toute arête est incidente à exactement deux faces, la surface est dite fermée. (géométrique) : toute face est plane (pas toujours requis ; elle peut être imposée en prenant des triangles). (géométrique) : la surface ne s auto-intersecte pas. Arête isolée? 3 faces liées par une arête? F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

9 Structure avec redondance Maillage avec structuration fortement redondante (i.e. fortement introspective) : Table des sommets, table d arêtes (chaque entrée = 2 sommets), table de facettes (chaque entrée = liste de sommets). A chaque sommet : liste des arêtes et listes des facettes auxquelles il appartient. A chaque arête : liste des facettes auxquelles elle appartient. Avantages-Inconvénients : Les parcours sont aisés : chaque entité connait ses entités adjacentes. Peut s avérer très lourd à construire, et surtout à maintenir en cas de modification (un sommet influence beaucoup de données). trouver un «bon» compromis selon l application souhaitée. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

10 Représentation basée arête Exemple : «winged-edges» = arêtes ailées. 3 tables : Une table des sommets : chaque entrée s i contient (outre ses attributs : coordonnées, etc) la référence à une seule arête e j à laquelle il appartient. Une table des facettes : chaque entrée f i contient la référence à une seule des arêtes e j qui la composent. Une table des arêtes : chaque entrée e i contient... 8 références. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

11 Winged Edges (1/2) E2 n E3 Extérieur volume F2 F1 E6 E1 E4 P E5 Table des facettes Identifiant facette Arête incidente (arbitraire) F1 E6 F2 E4 Tables des sommets Identifiant sommet Arête incidente (arbitraire) p E4 n E3 F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

12 Winged Edges (2/2) E2 n E3 Extérieur volume F2 F1 E6 E1 E4 P E5 Tables des arêtes : Identifiant Sommets Facettes Gauche Droite début fin face face pred succ pred succ gauche droite E1 p n F2 F1 E4 E2 E3 E5 E2... F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

13 Exercice Parcourir toutes les faces qui contiennent un sommet donné (faces incidentes à un sommet)? Tous les sommets d une face donnée? Où stocker les autres attributs éventuels (normales, coordonnées de textures,...)? F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

14 3 Représentation par Bord F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

15 B-rep 1/2 Un volume est défini par son intérieur, son extérieur et sa frontière (ou bord). Le bord d un volume est une surface fermée (à comparer à la représentation d une nappe, d un drapeau,...). Très souvent (réalité vituelle, infographie, CAO), seule la frontière suffit pour représenter complêtement l objet volumique. Boundary Representation (ou B-Rep). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

16 B-Rep 2/2 Le bord d un volume est une surface fermée (sans bords). Remarque : le bord d une surface ouverte (exemple : drapeau, nappe,...) est une (ou plusieurs) courbe. Représentation d un volume par une surface (Bézier, B-spline, Nurbs, Surfaces implicites) et les problèmes qui vont avec (raccordement et construction). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

17 4 Constructions F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

18 Extrusion Construire un objet 3D à partir d un profil 2D le long d un chemin. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

19 Surface à subdivision (exemple : Catmull-Clark) F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

20 Construction de Catmull-Clark C est un processus de raffinement récursif d un maillage initial. Exemple : Catmull-Clark : Pour chaque face, insérer un sommet, isobarycentre de la face : les sommets insérés s appellent sommets de faces. Pour chaque arête, insérer un sommet, isobarycentre des sommets de l arête et des 2 sommets de faces adjacents : les sommets insérés s appellent sommets d arêtes. Relier par une arête les sommets de faces avec ses sommets d arêtes (i.e. les arêtes de la face). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

21 Catmull-Clark suite Pour chaque sommet initial P : Prendre l isobarycentre A des milieux des segments incidents à P. Prendre l isobarycentre B des points de faces incidentes à P. Calculez la nouvelle position de P = 2A+B+(n 3)P n (moyenne pondérée empirique pour obtenir un résultat esthétique). Relier les nouveaux P à chaque sommet d arête adjacents (i.e. les sommets obtenus à partir des arêtes initiales incidentes à P). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

22 5 Arbres CSG F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

23 Opérations booléennes Si on dispose déjà d objets (quelque soit leur représentation) une manière naturelle de les combiner est d utiliser les opérations dites booléennes : intersection (and), réunion (or) et différence (sub). Exemple : A une sphère et B un cône. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

24 Arbre de construction Des objets complexes peuvent être obtenus par opération booléennes de primitives simples. Représentation arborescente d un objet. CSG (constructive solid geometry). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

25 Définition d un CSG C est un arbre binaire. Chaque noeud contient une matrice de passage M pere noeud (positionnement du noeud par rapport au père). Les feuilles sont constituées de primitives géométriques. Les noeuds internes contiennent un opérateur booléen (and, or, sub). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

26 Avantages-Inconvénients La conception s avère naturelle. La manipulation de la structure est aisée. Des primitives simples (cubes, sphères, cônes) peuvent donner des objets très complexes. La visualisation peut se faire sans construire explicitement l objet résultant (lancer de rayons, rendu projectif). Si l objet résultant doit être construit explicitement (conversion en B-Reps par exemple) : peut s avérer très délicat. Peut nécessiter des opérateurs dits régularisés (assurer qu on obtient toujours un volume). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

27 6 Représentation explicite du volume F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

28 Subdivision volumique Des applications plus complexes nécessitent d avoir une approximation de l intérieur du volume (décomposition en tétraèdres ou héxaèdre). Exemple : simulation des corps déformables (éléments finis). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

29 Représentation voxels Des applications doivent manipuler des représentations discrètes d un objet. Exemple : les IRM ou scanner donnent une grille régulière de voxels (éléments de volume par analogie avec les pixels de l écran). Un voxel «allumé» contient de la matière, un voxel «éteint» n en contient pas. Scanner Un tore en «discret» F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

30 Représentations octree Permet de «compresser» une représentation voxels. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

31 7 BSP F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

32 Droite M décrit la droite D = (A,u) si AM = λu (λ IR). Comme AM = M A on a M D M = A + λu avec M = (x,y,z), A = (A x,a y,a z ) et u = (u x,u y,u z ) : x = A x + λu x M = y = A y + λu y z = A z + λu z F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

33 Segment Remarques : M [AB] AM = λ AB M = (1 λ)a + λb (avec λ [0,1]) pour λ donné, M est le barycentre de (A,1 λ) et (B,λ). λ = AM AB F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

34 Plan M décrit le plan P = (A,n) (n=normale donnée au plan) si AM n = 0 ( AM est orthogonal à n). M P M n A n = 0 En développant si M = (x,y,z), n = (a,b,c) et A = (A x,a y,a z ) : ax + by + cz + d = 0 avec d = A n = (aa x + ba y + ca z ) F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

35 Plan (2) M décrit le plan P = (A,u,v) (u et v appartiennent au plan et sont non colinéaires) si AM = αu + βv avec (α,β) IR 2 M P M = A + αu + βv Si M = (x,y,z), A = (A x,a y,a z ), u = (u x,u y,u z ) et v = (v x,v y,v z ) x = A x + αu x + βv x M = y = A y + αu y + βv y z = A z + αu z + βv z F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

36 Exercices Intersection d une droite (A,u) avec un plan (P,n)? Distance d un point M à un plan (P,n)? Distance d un point M à une droite (A,u)? Distance d un point M à un segment (A,B)? (étude de cas). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

37 Espaces positif et négatif Soit un polygone (ou facette) f et une normale arbitraire n. Le plan porteur du polygone partage l espace en deux sous espaces : le «coté» de la normale est appelé sous espace positif (l autre est le sous espace négatif). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

38 Points positif et négatif Un point P est dit positif par rapport à f s il est dans le demi-espace positif de f. remarque : Si f est définie par sa normale n et un point A alors P = (X,Y,Z) est positif ssi AP n >= 0 (négatif sinon). remarque : le cas où P appartient au plan est inclus dans le cas positif. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

39 Localisation d une face Soit 2 faces f 1 et f 2. f 2 est dite positive par rapport à f 1 si tous les points de f 2 sont positifs (si tous les points sont négatifs, elle est dite négative). Remarque : il suffit de considérer le signe des sommets de f 2 par rapport à f 1. Remarque : f 2 peut être ni positive, ni négative par rapport à f 1. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

40 Binary Space Partition Séparer tous les polygones de la scène par rapport à un polygone pivot liste des polygones positifs et négatifs. Processus récursif pour les deux listes. optimisation pour des algorithmes d occultations, de collisions, de localisations. La découpe est nécessaire. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

41 Arbre BSP Chaque noeud est identifié à une facette f. Chaque noeud f possède au plus deux sous-arbres (arbre binaire) : Un sous arbre positif dont tous les noeuds (i.e. toutes les facettes) sont positifs par rapport à f. Un sous arbre négatif dont tous les noeuds sont négatifs par rapport à f. F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

42 Construction Soit une scène constituée d une liste L de facettes. Prendre une facette f arbitraire de L. Construire la liste L+ des facettes positives à f et construire la liste L des facettes négatives. Construre le BSP B+ de L+ et le BSP B de L (récursivement). Le BSP de L est (f,b,b+). Remarques : Pour toute facette f i ni positive, ni négative : il faut couper f i par le plan porteur de f. On obtient alors des f i + (à inclure dans L+) et des f i (à inclure dans L ). F2 F2 F1 F1 F2+ F2 F3 F3 F2+ F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

43 Exemple : algorithme du peintre Elimination des parties cachées : tracer tous les polygones du plus loin au plus proche. Afficher(B) { Si B non vide alors Si f(observateur)<0 alors Afficher(Positif); Afficher(f); Afficher(Negatif); Sinon Afficher(Negatif); Afficher(f); Afficher(Positif); Fin Si } F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44

44 Remarques sur les BSP On peut faire l analogie avec le tri par quick sort (pivot f, couper en deux listes «plus petit», «plus grand» ), mais, ici, on garde explicitement tout l arbre de construction (la notion d ordre change à chaque noeud). Le choix du pivot peut être plus judicieux pour «tenter» d obtenir l arbre équilibré. L arbre est indépendant de la position de l observateur (pas de reconstruction à faire lorsque l observateur se déplace dans une scène statique). Par contre : si des objets sont en mouvement il faut refaire l arbre (ou «tenter» de traiter à part les objets mobiles et immobiles). F. Aubert (MS2) M3DS/ 4 - Modélisation 3D / 44