5 ème Cours : proportionnalité

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1 I) Proportionnalité. a) Tableau de proportionnalité. S il existe un opérateur multiplicatif entre deux suites de nombres, ces deux suites sont dites proportionnelles. J achète des fruits à, le kilogramme., Poids en Kg 2 5 Prix en., 2,6 6,5, est le coefficient de proportionnalité. Les poids et les prix sont proportionnels. b) Grandeurs proportionnelles Deux grandeurs sont proportionnelles si l on peut calculer la valeur de l une en multipliant la valeur de l autre par un nombre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité. Exemples : La quantité de sucre dans un gâteau et le nombre de personnes pour lequel il est prévu le prix payé pour un plein d essence et la quantité d essence achetée. la masse de viande d une qualité donnée et le prix à payer. c) Compléter un tableau de proportionnalité Une hirondelle se déplace d un mouvement uniforme. Compléter le tableau ci-dessous : Durée du vol (en s) 7 5 Distance parcourue (en m) 6 ère méthode : En utilisant le coefficient de proportionnalité. Quelle est la distance parcourue en s? Durée du vol (en s) Distance parcourue (en m) 6? x2 On calcule le coefficient : 6 = 2 On calcule pour s : x 2 = 8 La distance parcourue est donc 8 m.

2 2 ème méthode : En utilisant le «produit en croix» appelé aussi «la quatrième proportionnelle» Quelle est la distance parcourue en s? Durée du vol (en s) Distance parcourue (en m) 6 x Le nombre x est appelé une quatrième proportionnelle. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : x = 6 x = 252 = 8 La distance parcourue est donc 8 m. ème méthode : En additionnant ou en soustrayant deux «colonnes» du tableau Quelle est la distance parcourue en 7 s? Durée du vol (en s) 7 Distance parcourue (en m) 6 8? On connaît la distance parcourue en s et en s. Comme + = 7, on additionne les distances parcourues en s et s : = 7 La distance parcourue en 7 s est donc 7 m. ème méthode : En multipliant ou en divisant une «colonne» par un nombre (non nul) Quelle est la distance parcourue en 5 s? Durée du vol (en s) 5 Distance parcourue (en m) 6? On connaît la distance parcourue en s. Comme 5= 5, on multiplie la distance parcourue en s par 5 : 6 5 = 5 La distance parcourue en 5 s est donc 5 m

3 d) Graphique. Reprenons l exemple de l hirondelle. On représente sur l axe des abscisses la durée du vol exprimée en secondes. On représente sur l axe des ordonnées la distance parcourue en mètre. La courbe obtenue est une demi-droite passant par l origine. On est donc dans une situation de proportionnalité. Distance parcourue (en m) en fonction de la durée de vol (en s) m s e) Conversion des unités de temps Conversions à connaître : h = 60 min 0, h = 6 min min = h 0,5 h = 0 min 0,25 h = 5 min 60 h = 600 s 0,75 h = 5 min Convertir en minutes ou en secondes Convertir h 7 min en minutes. On écrit les heures en minutes : h = 80 min ( x 60 = 80) h 7 min = 97 min ( = 97) On trouve donc 97 min. Convertir en heures Convertir en heures h 2 min. On convertit les 2 minutes en nombre décimal. On sait que min = 60 h. 2 Donc 2 min = h = 0, h et h 2 min =, h 60

4 II) Exemples de situation de proportionnalité. a) Pourcentages. Dans une classe, 0% des élèves portent des lunettes signifie 0 des élèves portent des lunettes. dans une classe de 0 élèves : Nombre total d élèves 0 Nombre d élèves portant des lunettes 0 x x = 0 0 = donc trois élèves portent des lunettes dans cette classe. b) Echelles. Lorsque les dimensions du dessin d un objet et les dimensions réelles de cet objet sont proportionnelles, on appelle échelle (notée e) le quotient d une longueur sur le dessin par la longueur réelle correspondante, exprimée avec la même unité : longueur _ sur _ le _ des sin e = longueur _ réelle Une échelle est souvent représentée par une fraction avec un dénominateur ou un numérateur égal à. Exemples : Echelle (ou /) ; échelle (ou /5 000) 5000 Echelle en réduction Si l échelle est un nombre inférieur à, le dessin est une réduction. A partir d un plan à l échelle, on multiplie par 250 pour obtenir les distances réelles. 250 Autrement dit cm sur le plan représente 250 cm en réalité. Distance sur le plan en cm 2 Distance réelle en cm Echelle en agrandissement Si l échelle est un nombre supérieur à, le dessin est un agrandissement. Une échelle de 2/ signifie que : «2 cm sur le dessin représente cm en réalité» Une échelle de 2/ se note aussi : «2» ou «x 2» c) Mouvement uniforme. Lorsque la durée d un parcours effectué par un véhicule, une personne est proportionnelle à la distance parcourue, on dit que le mouvement est uniforme. Une voiture roule à allure régulière. Elle parcourt 20 mètres chaque seconde. Temps en seconde Distance en mètres

5 Le temps et la distance sont proportionnels. On dit que le mouvement de la voiture est uniforme. Le coefficient de proportionnalité, qui est obtenu en calculant le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours, est appelé vitesse moyenne. Dans cet exemple, la vitesse moyenne est de 20 m/s ou de 72 km/h. 5