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1 BAC BLANC DE MATHEMATIQUES DU LYCEE SAINT SERNIN Terminale S Durée : 4 heures février 01 Sujet : mathématiques L utilisation d une calculatrice est autorisée. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Les trois premiers exercices sont communs aux spécialistes et non-spécialistes. Exercice 1 : 4 points Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel : * les ingénieurs ; * les opérateurs de production ; * les agents de maintenance. Il y a 8 % d'ingénieurs et 8 % d'opérateurs de production. Les femmes représentent 50 % des ingénieurs, 5 % des agents de maintenance et 60 % des opérateurs de production. Partie A Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise. On note : M l'événement : «le personnel interrogé est un agent de maintenance» ; O l'événement : «le personnel interrogé est un opérateur de production» ; I l'événement : «le personnel interrogé est un ingénieur» ; F l'événement : «le personnel interrogé est une femme». 1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.. Calculer la probabilité d'interroger : a. un agent de maintenance ; b. une femme agent de maintenance ; c. une femme. Partie B Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue. Des études ont montré que sur une journée : la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,00 ; la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ; la probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04. On note : A l'événement : «l'alarme se déclenche» ; B l'événement : «une panne se produit». 1. Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,037.. Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche. 3. Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche. Bac Blanc de mathématiques du lycée Saint Sernin Page 1

2 Exercice : 5 points Partie A On considère la fonction g définie sur [ 0 ; + [ par g(x) = e x x 1. 1) Étudier les variations de la fonction g. ) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. 3) En déduire que pour tout x de [ 0 ; + [, e x x > 0. Partie B On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f( x ) x e 1 = x e x. La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormal est donnée dans l annexe page 5. On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1]. 1) Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f(x) [0 ; 1]. ) Soit (D) la droite d équation y = x. a) Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f( x ) x = ( 1 x ) g( x ) b) Etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ) sur [0 ; 1]. e x x. Partie C 1 u0 = On considère la suite (u n ) définie par : un + 1 = f u ( ) n, pour tout entier naturel n. 1) Construire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite (u n )? 1 ) Montrer que pour tout entier naturel n, un un ) En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite. Bac Blanc de mathématiques du lycée Saint Sernin Page

3 Exercice 3 : 6 points Les parties A et B sont indépendantes Partie A Restitution organisée de connaissances Prérequis : On sait que si z et z sont deux nombres complexes non nuls, alors arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) à près. Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : arg z = arg(z) arg(z ) à près. z' Partie B Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O ; u, v). Proposition 1 : Si A est le point d affixe 5i et B le point d affixe 7 3i, alors le triangle OAB est rectangle isocèle. Proposition : Si (C) est l ensemble des points M d affixe z telle que z i = z + i, alors (C) est une droite parallèle à l axe des réels. Proposition 3 : Si z = 3 + i 3, alors pour tout entier naturel n non nul, z 3n est imaginaire pur. Proposition 4 : Si z est un nombre complexe non nul d argument π alors i + z = 1 + z. 1 Proposition 5 : Si z est un nombre complexe de module égal à 1 alors z + z est un nombre réel. Bac Blanc de mathématiques du lycée Saint Sernin Page 3

4 Exercice 4 (Obligatoire) : 5 points Partie A : Conjecture On considère une droite d munie d un repère ( O ; i ). Soit (A n ) la suite de points de la droite d ainsi définie : * A 0 est le point O ; * A 1 est le point d abscisse 1 ; * pour tout entier naturel n, le point A n+ est le milieu du segment [A n A n+1 ] ; * Pour tout entier naturel n, on note a n l abscisse du point A n 1) Placer sur un dessin la droite d, les points A 0, A 1, A, A 3, A 4, A 5 et A 6. On prendra 10 cm comme unité graphique. Que pouvez-vous conjecturer quant à la monotonie de cette suite? Sa convergence? ) On considère l algorithme suivant : Entrées : Saisir N Initialisation : U prend la valeur 0 V prend la valeur 1 Traitement : Pour I variant de 1 à N 1 C prend la valeur (U+V) / U prend la valeur V V prend la valeur C Fin du pour Sortie : Afficher C a. Faire fonctionner cet algorithme pour N = 5 : on fera apparaître les différentes étapes du déroulement de l algorithme dans un tableau comme ci-dessous à reproduire sur la copie. Valeur de C Valeur de U Initialisation 0 1 Etape 1 Etape Valeur de V Affichage b. A quoi correspond la valeur de C affichée par cet algorithme pour N = 5? c. Quel est le rôle de cet algorithme lorsque N est quelconque? d. Retrouvez-vous les conjectures faites au 1.? Partie B : Validation 1) Pour tout entier naturel n, justifier l égalité : a + a + + = n n 1 n ) Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, + = 1 an 1 an ) Soit (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v = a n n 3. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique de raison a 1. 4) Déterminer la limite de la suite (v n ), puis celle de la suite (a n ).. Bac Blanc de mathématiques du lycée Saint Sernin Page 4

5 Exercice 4 : (Spécialité) 5 points 1. On considère l équation (E) : 11x 7y = 5, où x et y sont des entiers relatifs. a. Justifier, en énonçant un théorème, qu il existe un couple d entiers relatifs (u ; v) tels que 11u 7v = 1. Trouver un tel couple. b. En déduire une solution particulière de l équation (E). c. Résoudre l équation (E). d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j), on considère la droite (D) d équation cartésienne 11x 7y 5 = 0. On note C l ensemble des points M(x ; y) du plan tels que 0 x 50 et 0 y 50. Déterminer le nombre de points de la droite (D) appartenant à l ensemble C et dont les coordonnées sont des nombres entiers.. On considère l équation (F) : 11x²-7y² = 5 où x et y sont des entiers relatifs. a. Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x² y² [mod5]. b. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants : Modulo 5, x est congru à Modulo 5, x est congru à Modulo 5, y est congru à Modulo 5, y est congru à Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x et de y par 5? c. En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l équation (F)? Bac Blanc de mathématiques du lycée Saint Sernin Page 5

6 ANNEXE A RENDRE AVEC VOTRE COPIE Numéro d anonymat :.. Bac Blanc de mathématiques du lycée Saint Sernin Page 6