ESTP TP1 APPLICATION 7 : Energie 1

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1 ESTP TP PPITION 7 : Energie EXERIE On considère un portique en béton encastré en, de hauteur = et de largeur =0,5, dont la section résistante est rectangulaire, de dimensions 0,x,0m. e portique est soumis sur son montant à une charge de vent uniforme d intensité et en à une charge ponctuelle verticale d intensité F. Questions : 0,5 ) Déterminer et tracer les sollicitations N, T et M dans le portique. ) Déterminer l énergie interne emmagasinée par la structure. On négligera l énergie potentielle due à N et à T. ) Par application du théorème de astigliano, déterminer le déplacement vertical du point. pplication numérique. ) Par application du théorème de df, déterminer le déplacement horizontal du point. pplication numérique. 5) Quelle doit être la relation entre, et F pour que le déplacement vertical en soit nul? ) Par application du théorème de df, déterminer la rotation au point. pplication numérique. 7) Quel couple en doit-on appliquer pour annuler le déplacement vertical de? pplication numérique. 0,m F m Pour les applications numériques, on prendra : = 000 dan/ml F = 5 tonnes = 0 m E = MPa On négligera le poids propre du béton. Page sur

2 ESTP TP PPITION 7 : Energie REPONSES Question Sollicitations dans le tronçon : on passe par les forces de droite, origine des x au point N = 0 T(x) = - F M(x) = F(0,5-x) M = 0 ; M + = +0,5F x N M T 0,5 F Sollicitations dans le tronçon : on passe par les forces de droite, origine des x au point N = -F T(x) = + (-x) M(x) = +0,5F - ( x)² T = ; T - = 0 0,5 F M = 0,5F 0,5² ; M + = +0,5F T M N x pplication numérique : T + = -50 kn ; M + = 50 kn.m N = - 50 kn ; T = 00 kn ; T - = 0; M = -50 kn.m; M - = 50 kn.m Pour le tracé de M, noter la tangente horizontale en - car T - = 0 Page sur

3 ESTP TP PPITION 7 : Energie T = - 50 kn N = -50 kn T = 00 kn M + = 50 kn.m M - = 50 kn.m M = -50 kn.m Question énergie potentielle ammagasinée par la structure est donnée par : Soir struct M ds 0,5 + (0,5F 0,5q( l x)²)² dx ( F(0,5 x))² dx (0,5) 0,5F ² 0,5qF + 0,5q² + F² 5 Page sur

4 ESTP TP PPITION 7 : Energie 7 F² + 0 q² 5 qf Question D après le théorème de astigliano, = v U F 7 = F q.n. v c =,5 cm. e résultat est positif, cela signifie que le déplacement se fait dans le sens de la force F, c'est-à-dire vers le haut. Question Pour calculer le déplacement horizontal de, il faut appliquer une force ponctuelle F= en, dans la direction horizontale. m(x) = 0 dans et m(x) = -(-x) dans. On déduit alors : u = struct Mm ds = 0 [0,5F 0,5q( l x)²]( x ) dx = F + q 8 = 8 { F + q } F = m(x) = -(-x) - m = - N : u = 0 comme le montre la déformée ci-contre Question 5 D après la question, U F 7 = F q = v v c = 0 pour F = q 7 Question Pour calculer la rotation du point, il faut appliquer un couple unitaire au point : lors m (x) = 0 dans la barre et m (x) = - dans la barre. Page sur

5 ESTP TP PPITION 7 : Energie D après le théorème de df, θ = struct Mm' ds = 0 [0,5F 0,5q( l x)²]( ) dx = F + q = { F + q } = - m (x) = - m = -.N. θ = -,7.0 - rad. On obtient ici une valeur négative, ce qui signifie la rotation se fait dans le sens opposé au couple unitaire appliqué ; ie la rotation se fait donc dans le sens trigo. Question 7 Si on applique en un couple, le moment reste inchangé dans la barre et a pour expression dans la barre : M(x) = +0,5F - ( x)² +, où est ici supposé orienté dans le sens trigo. alculons le déplacement vertical v c dans ce dernier cas. Pour cela, on applique df en appliquant une charge verticale unitaire en. + m (x) = (0,5-x) m = 0,5 F = + Page 5 sur

6 ESTP TP PPITION 7 : Energie On peut déterminer le déplacement vertical en dressant un tableau : RRE M(x) m (x) Mmdx i F(0,5-x) (0,5-x) F + 0,5F -0,5(-x)² 0,5 7F Soit v c = [ + ] (0,5) F = F + Remarque : en prenant = 0, on retrouve bien l expression du déplacement vertical calculé en question par dérivation directe de l énergie potentielle. lors v c = 0 pour = 7F N : = -5 kn.m ; <0 signifie que le couple est à appliquer dans le sens contraire à celui que l on a supposé (sens trigo), ie on doit l appliquer dans le sens horaire, ce qui était prévisible au vu de la déformée présentée plus haut. Page sur