TS spé Exercices sur le calcul matriciel

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1 TS spé Exercices sur le calcul matriciel ) A et 0 0 B 0 On pose A et B 0 Calculer A B On pose A et B 0 8 Déterminer la matrice X carrée d ordre telle que A X B Calculer les matrices : A ; B ; C ; D ; E ; 7 F On pose A et B Calculer le produit AB 6 On pose A et B 7 8 Calculer les produits AB et BA Que constate-t-on? 6 On pose A 0 Calculer A Proposer une formule pour A n où n est un entier naturel quelconque On ne cherchera pas à démontrer cette formule 0 7 On pose A Calculer A 9 On considère la matrice A Démontrer que A possède une matrice inverse que l on calculera 8 0 On pose A et B 8 ) Démontrer que A admet une matrice inverse et la calculer ) Déterminer la matrice carrée X d ordre telle que AX B ) Déterminer la matrice carrée Y d ordre telle que YA B 6 On pose A où x désigne un réel x ) Déterminer le réel x tel que A ) Déterminer le réel x tel que A ) Déterminer le réel x tel que A 0 00 x 00 x Déterminer x tel que x x x 0 0 On pose A et B 0 0 Calculer AB avec la calculatrice 0 On pose A À l aide de la calculatrice, calculer A et A 8 Dans chaque cas, démontrer que A admet B pour matrice inverse Calculer avec la calculatrice l inverse de chacune des matrices suivantes : ) ) A et B A et B 0 ) A ) A 0

2 A B 0 Calculons A + B A B Corrigé format ( ; ) et ( ; ) B 7 B 7 C 0 format ( ; ) et ( ; ) A 0 B 8 Déterminons la matrice X carrée d ordre telle que A + X = B () Il s agit d une équation matricielle () X = B A X 8 0 X 8 Calculs de produits matriciels Pour pouvoir effectuer le produit de deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième matrice 7 C 0 6 D 0 7 format ( ; ) et ( ; ) 7 D 6 E 0 7 format ( ; ) et ( ; ) On vérifie tous les calculs à la calculatrice Calculons les matrices : A formats ( ; ) et ( ; ) 7 7 E F 7 0 format ( ; ) et ( ; ) 8 F A 7 7 B

3 0 0 0 A B Calculons le produit AB Proposons une formule pour A n où n est un entier naturel quelconque On conjecture que A n n pour tout entier naturel n AB AB est la matrice nulle A 6 B 7 8 Calculons les produits AB et BA 6 9 AB BA Que constate-t-on? On constate que AB BA Le produit matriciel n est pas commutatif 6 A 0 Calculons A A A A A A A A Calculons A A A A A Toutes les puissances de A sont nulles à partir de l indice On dit que la matrice A est nilpotente Une matrice dont une puissance est égale à la matrice nulle est appelée nilpotente 8 Dans chaque cas, démontrons que A admet B pour matrice inverse A A A ) A 9 et B 9 A A A AB I 9 9 0

4 0 BA I Donc A est inversible et A B Remarque : Selon une propriété du cours (admise), on peut se contenter de vérifier que AB I pour affirmer que la matrice A est inversible C est ce que nous ferons dans les autres questions de l exercice ) A et 0 0 B AB 0 0 I Donc A est inversible et A B Calculons l inverse de A A On applique la propriété du cours sur l invisibilité d une matrice carrée a b A c d A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul Lorsque le déterminant de A est non nul, on a : A On peut vérifier le résultat à l aide de la calculatrice 0 d b det A c a ) A et 0 0 B 0 A 8 B AB 0 0 I 0 0 Donc A est inversible et A B 9 A Démontrons que A possède une matrice inverse ) Démontrons que A admet une matrice inverse et calculons son inverse det A det A 0 Donc A est inversible A ) Déterminons la matrice carrée X d ordre telle que AX = B () Il s agit d une équation matricielle Il existe des matrices non inversibles d où l intérêt des la question det A det A 0 Donc A est inversible

5 A AX A B () A A X A B I I X A B (par propriété du cours, on a : IX X ) X A B 8 X 8 8 X ) Déterminons la matrice carrée Y d ordre telle que YA = B () () YA A BA Y AA BA 6 x () 0 6 x x 0 x x ) Déterminons le réel x tel que A 0 6 x 0 0 () 0 6 x 0 6 x x 7 () YI I BA Y BA 8 Y 8 6 Y ) Déterminons le réel x tel que A x 0 0 () 0 6 x 0 6 x x () Dans cet exercice, il faut vraiment faire attention à l ordre dans lequel on multiplie (à gauche ou à droite) 6 A x 6 (x ) On commence par effectuer le calcul de A qui nous servira pour tout l exercice x 0 A A A x 6 x x 0 0 ) Déterminons le réel x tel que A 0 0 ()

6 x 00 x Déterminons x tel que x x x 0 0 x 00x x 00x () x x x 0 0 x 00x 0x x x x 0 0 x 00x 00 0x 00 x x 0 x 0 x 0 ou x x 0 x 0 ou x 0 x 0 ou x 0 () p p 0 p On peut conjecturer que pour tout entier naturel p, on a : A p p 0 Calculons avec la calculatrice l inverse de chacune des matrices suivantes : x 0 Autre méthode : Sur calculatrice TI, rentrer la matrice puis utiliser la touche Le souci : la calculatrice donne des valeurs approchées x On résout l équation 0x 00 qui est équivalente à x 0 puis on vérifie que 0 est solution des autres équations Cette méthode gagne du temps Utiliser math frac pour «convertir» les coefficients en fractions Pourquoi la calculatrice double les crochets? Je n ai pas la réponse A 0 B 0 ) A Calculons AB à l aide de la calculatrice On regarde les formats si l on veut Le produit AB est une matrice carrée d ordre 9 AB 9 A 0 A Calculons A et A à l aide de la calculatrice

7 ) A 0 A