Formes modulaires surconvergentes, ramication et classicité

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1 Formes modulaires surconvergentes, ramication et classicité Stéphane Bijakowski 24 mars 205 Résumé Nous prouvons un résultat de classicité pour les formes modulaires surconvergentes sur les variétés de Shimura PEL de type (A) ou (C), sans hypothèse de ramication. Nous utilisons une méthode de prolongement analytique, qui généralise des résultats antérieurs dans le cas non ramié. Nous travaillons avec le modèle rationnel de la variété de Shimura, et utilisons un plongement dans la variété de Siegel pour dénir les structures entières sur l'espace rigide. Abstract We prove in this paper a classicality result for overconvergent modular forms on PEL Shimura varieties of type (A) or (C), without any ramication hypothesis. We use an analytic continuation method, which generalizes previous results on the non ramied setting. We work with the rational model of the Shimura variety, and use an embedding into the Siegel variety to dene the integral structures on the rigid space. Table des matières Introduction 2 Espace de modules et formes modulaires 4. Données de Shimura Variété de Shimura Formes modulaires Opérateurs de Hecke Structures entières 9 2. Fonction degré Normes Décomposition des opérateurs de Hecke 5 3. Décomposition Norme des opérateurs de Hecke Classicité 8 4. Prolongement automatique Séries de Kassaei Fin de la démonstration

2 5 Cas des variétés de type (A) Données et variétés de Shimura Formes modulaires et opérateurs de Hecke Structures entières Classicité Cas d'un niveau arbitraire en p Dénitions Degré et normes Classicité Appendice Schémas semi-abéliens Degrés partiels Introduction Les formes modulaires p-adiques et surconvergentes ont été introduites pour étudier des congruences entre formes modulaires. Pour prouver des propriétés sur ces nouveaux objets, il apparaît important de montrer qu'ils sont proches des formes classiques. Le résultat de Coleman ([Co]) montre qu'une forme surconvergente propre pour l'opérateur de Hecke U p est classique si le poids est susamment grand devant la valuation de la valeur propre. Plus précisément, on a le résultat suivant. Théorème. Soit f une forme surconvergente de poids k Z, propre pour U p de valeur propre a p. Si k > + v(a p ), alors f est classique. La preuve originale de Coleman repose sur une étude de la cohomologie de la courbe modulaire rigide. Buzzard ([Bu]) et Kassaei ([Ka]) ont donné une nouvelle preuve de ce théorème en utilisant une méthode de prolongement analytique. Plus précisément, une forme modulaire surconvergente peut être vue comme une section d'un faisceau sur un voisinage strict du lieu ordinaire-multiplicatif (c'est-à-dire le lieu où le sous-groupe universel de la p-torsion de la courbe elliptique est multiplicatif). En utilisant la dynamique de l'opérateur de Hecke U p, on peut étendre facilement la forme au lieu supersingulier. Sur le lieu ordinaire-étale, les auteurs arrivent à construire des séries approchant la forme désirée, et arrivent à les recoller avec la forme initiale sous la condition du théorème. Cela prouve que la forme surconvergente peut être étendue à toute la variété rigide, et donc est classique. De nombreux travaux ont ensuite été faits pour des variétés de Shimura plus générales. Citons notamment les résultats de Sasaki ([Sa]), Pilloni-Stroh ([PS]), Tian-Xiao ([TX]), Johansson ([Jo]) dans le cas Hilbert, ainsi que Pilloni-Stroh ([PS2]) pour les variétés de Shimura déployées. L'auteur ([Bi]) a notamment généralisé le résultat de classicité pour les variétés de Shimura avec bonne réduction, c'est-à-dire en supposant que le nombre premier p est non ramié dans la donnée de Shimura. Ce résultat a été obtenu en généralisant la méthode du prolongement analytique. Le cas où le nombre premier p est ramié pose des problèmes techniques. Il est possible, en adaptant cette méthode, de prolonger la forme surconvergente au lieu de bonne réduction. Pour conclure à la classicité, il faudrait disposer de modèles entiers des compactications toroïdales, et démontrer un principe de Koecher. C'est ce qui a été fait par l'auteur dans le cas Hilbert ([Bi2]). Notons également 2

3 que Johansson ([Jo]) obtient des résultats dans ce cas. Pour des variétés de Shimura plus générales, il semble très technique de construire des modèles entiers des compactications. Les modèles rationnels des compactications ont été construits par Pink ([Pin]). Il est peut-être possible de les dénir par normalisation dans un autre espace. En eet, si X désigne la variété de Shimura entière, il existe un morphisme X Y, où Y est une variété de Siegel, pour laquelle il est possible de construire des modèles entiers des compactications. On peut alors dénir une compactication de X comme la normalisation de cet espace dans une compactication de Y. La diculté technique est alors de prouver que cet espace vérie les propriétés attendues, notamment le principe de Koecher. Pour éviter ces dicultés, nous avons décidé de travailler avec le modèle rationnel de la variété de Shimura, et l'espace analytique associé. Rappelons que si K est une extension nie de Q p, et X un K-schéma de présentation nie, alors on peut associer à X un espace rigide X an, l'analytié de X, dont les K-points sont les mêmes que ceux de X. Nous travaillons donc avec l'analytié de la variété de Shimura. Les principales dicultés concernent les structures entières, qui étaient présentes naturellement dans le cas de bonne réduction. En particulier, il est nécessaire de dénir le degré d'un sous-groupe de la variété abélienne, ainsi qu'une norme sur l'espace des formes modulaires. Si x est un point de cet espace analytique, il correspond à une variété abélienne A dénie sur une extension nie L de Q p, avec des structures additionnelles. D'après un théorème de réduction semi-stable de Grothendieck, on sait que quitte à étendre L, il existe un schéma semi-abélien A 0 sur O L égal à A en bre générique. En utilisant ce schéma semi-abélien, on peut donc dénir les degrés pour les sous-groupes de A, ainsi qu'un modèle entier pour l'espace vectoriel ω A. Cette dénition point par point des structures entières peut être globalisée de la manière suivante. Soit X la variété de Shimura sur K considérée et X an son analytié ; alors il existe un morphisme de X vers une variété de Siegel A g. Soit A g une compactication entière de A g, et A g rig l'espace rigide associé. Alors on a un morphisme X an A g rig. Les structures entières dénies sur A g rig peuvent donc se transporter naturellement sur X an. Puisque nous n'utilisons pas les modèles entiers des variétés de Shimura, nous devons modier notre dénition des formes modulaires surconvergentes. Dans les papiers précédents, nous utilisions une forme faible des formes surconvergentes : il s'agissait de sections dénies sur un voisinage strict du lieu ordinaire-multiplicatif dans l'espace rigide X rig associé au modèle entier de la variété de Shimura. Ici, puisque nous travaillons avec l'espace analytié X an, nous devons changer cette dénition. Une dénition forte des formes surconvergentes est alors une section dénie sur un voisinage strict du lieu ordinaire-multiplicatif dans l'espace rigide X an, où X est une compactication rationnelle de X et X an son analytié. Au nal, nous obtenons le théorème de classicité suivant. Théorème (Théorèmes 4. et 5.8). Soit p un nombre premier, et X une variété de Shimura PEL de type (A) ou (C) de niveau Iwahorique en p. On suppose que sur Q p l'algèbre de la donnée de Shimura est isomorphe à un produit d'algèbres de matrices. Soit f une forme modulaire surconvergente (au sens fort) sur X de poids κ. On suppose que f est propre pour une famille (U i ) d'opérateurs de Hecke en p, de valeurs propres (a i ). Si le poids κ est susamment grand devant la famille des (v(a i )), alors f est classique. Dans le cas (A), nous devons supposer l'existence du lieu ordinaire pour que le problème ait un sens. Nous avons également un résultat de classicité pour les variétés de Shimura avec un niveau arbitraire en p. Remarquons que dans ce cas, la variété de Shimura ne possède pas de modèle entier, donc la 3

4 situation est a priori plus compliquée que la précédente. Cependant, puisque nous travaillions avec l'espace X an, notre résultat se généralise dans ce cas. Théorème (Théorème 6.). Soit p un nombre premier, et X une variété de Shimura PEL de type (A) ou (C) de niveau Γ (p n ) en p. On suppose que sur Q p l'algèbre de la donnée de Shimura est isomorphe à un produit d'algèbres de matrices. Soit f une forme modulaire surconvergente (au sens fort) sur X de poids κ. On suppose que f est propre pour une famille (U i ) d'opérateurs de Hecke en p, de valeurs propres (a i ). Si le poids κ est susamment grand devant la famille des (v(a i )), alors f est classique. Dans les deux théorèmes précédents, les relations entre le poids et les pentes sont les mêmes, et sont analogues à celles des théorèmes dans le cas de bonne réduction (voir les théorèmes 4. et 5.8 pour plus de détails). Parlons maintenant de l'organisation du texte. Nous traitons tout d'abord le cas des variétés de type (C). Après avoir introduit la variété de Shimura et l'espace des formes modulaires, nous dé- nissons les structures entières sur l'espace analytique sur lequel nous travaillons. Nous montrons ensuite comment les résultats précédents de l'auteur sur le prolongement analytique permettent de prouver un théorème de classicité. Nous traitons le cas des variétés de type (A) dans la partie 5, et le cas d'un niveau arbitraire en p dans la partie 6. Enn, dans l'appendice, nous rappelons certaines propriétés utiles sur les schémas semi-abéliens, et dénissons les degrés partiels d'un schéma en groupe ni et plat avec une action d'un certain anneau. L'auteur souhaite remercier son directeur de thèse Benoît Stroh pour ses conseils, remarques et encouragements. Il souhaite également remercier Pascal Boyer, Vincent Pilloni et Jacques Tilouine pour des discussions intéressantes. Il remercie enn l'anr Arshifo pour son soutien nancier. Espace de modules et formes modulaires Nous étudions dans ce paragraphe le cas des variétés de Shimura de type (C), en autorisant le nombre premier p à être ramié dans la donnée de Shimura. La principale diculté dans ce cas provient de l'absence de modèles entiers pour les compactications de la variété de Shimura. En eet, l'espace de modules dénit un schéma sur l'anneau des entiers d'une extension nie de Q p, et il est possible de construire des compactications de cet espace après inversion de p. Construire des modèles entiers pour ces compactications qui vérierons des bonne propriétés est un exercice dicile (voir [Ra] dans le cas Hilbert). Il est peut-être possible de dénir les compactications en prenant la normalisation d'un certain espace dans un autre, mais vérier que cette compactication vérie les bonnes propriétés serait au minimum long et pénible. La principale diculté posée par l'absence de modèle entier des compactications est l'absence du principe de Koecher. Ainsi, si X rig est l'espace rigide associé à la variété de Shimura entière, une section du faisceau des formes modulaires sur X rig ne provient plus nécessairement d'une forme moculaire classique. Pour remédier à ce problème, nous allons utiliser le modèle rationnel de la variété de Shimura, et travailler avec l'espace analytique associé. Nous adaptons ensuite les résultats obtenus dans les parties précédentes à cet espace analytique. 4

5 . Données de Shimura Rappelons les données paramétrant les variétés de Shimura PEL de type (C) (voir [Ko]). Soit B une Q-algèbre simple munie d'une involution positive. Soit F le centre de B et F 0 le sous-corps de F xé par. Le corps F 0 est une extension totalement réelle de Q, soit d son degré. Faisons les hypothèses suivantes : F = F 0. Pour tout plongement F R, B F R M n (R), et l'involution est donnée par A A t. Soit également (U Q,, ) un B-module hermitien non dégénéré. Soit G le groupe des automorphismes du B-module hermitien U Q ; pour toute Q-algèbre R, on a donc à G(R) = {(g, c) GL B (U Q Q R) R, gx, gy = c x, y pour tout x, y U Q Q R} Soient τ,..., τ d les plongements de F dans R,et B i = B F,τi R M n (R). Alors G R est isomorphe ( d ) G Sp 2g i= où g = dim 2nd QU Q. Donnons-nous également un morphisme de R-algèbres h : C End B U R tel que h(z)v, w = v, h(z)w et (v, w) v, h(i)w est dénie positive. Ce morphisme dénit donc une structure complexe sur U R : soit U,0 R le sous-espace de U R pour lequel h(z) agit par la multiplication par z. On a alors U,0 R d i= (Rn ) g en tant que B Q R d i=m n (R)-module. Soient également un ordre O B de B stable par, et un réseau U de U Q tel que l'accouplement, restreint à U U soit à valeurs dans Z. Nous ferons les hypothèses suivantes : B Q Q p est isomorphe à un produit d'algèbres de matrices à coecients dans une extension nie de Q p. O B est un ordre maximal en p. L'accouplement U U Z est parfait en p. L'algèbre B est un Q-espace vectoriel. Soit α,..., α t une base de cet espace vectoriel, et det U,0 = f(x,..., X t ) = det(x α + + X t α t ; U,0 C C C[X,..., X t ]) On montre ([Ko]) que f est un polynôme à coecients algébriques. Le corps de nombres E engendré par ses coecients est appelé corps réexe, et est égal à Q dans le cas (C). Soit h le nombre d'idéaux premiers de F au-dessus de p, que l'on notera π,..., π h. Soient également f i le degré résiduel et e i l'indice de ramication de π i. On a donc (p) = h i= πei i. Alors B Q Q p h M i= n(f i ), où F i est la complétion de F en π i. Le corps F i est donc une extension nie de Q p, de degré d i := e i f i, d'indice de ramication e i et de degré résiduel f i..2 Variété de Shimura Dénissons maintenant la variété de Shimura PEL de type (C) associée à G. Soit K une extension nie de Q p contenant les images de tous les plongements possibles F Q p. Soit N 3 un entier premier à p. Dénition.. Soit X sur Spec(K) l'espace de modules dont les S-points sont les classes d'isomorphismes des (A, λ, ι, η) où 5

6 A S est un schéma abélien λ : A A t est une polarisation de degré premier à p. ι : O B End A est compatible avec les involutions et de Rosati, et les polynômes det U,0 et det Lie(A) sont égaux. η : A[N] U/NU est une similitude symplectique O B -linéaire, qui se relève localement pour la topologie étale en une similitude symplectique O B -linéaire H (A, A p f ) U Q Q A p f Proposition.2. L'espace X est un schéma quasi-projectif sur K. De plus, il est possible de construire des compactications toroïdales de l'espace X. Celles-ci sont construites par exemple dans [Pin]. On rappelle que la construction de ces compactications nécessite un choix combinatoire, que l'on supposera fait dans la suite. Rappelons ici le principal de théorème de Pink quant aux compactications toroïdales des variétés de Shimura, et la fonctorialité de ces constructions. On renvoie à [Pin] pour les dénitions précises et les constructions. Théorème.3 ([Pin] Théorème 2.4). Soit D une donnée de Shimura, et X la variété de Shimura associée ; c'est un schéma déni sur le corps réexe E. Alors, à tout choix combinatoire susamment n Σ on peut associer une compactication toroïdale X Σ. C'est un schéma propre sur E, lisse si le choix combinatoire l'est également. Si Σ est un choix combinatoire plus n que Σ 2, alors l'identité de X s'étend de manière unique en une immersion ouverte X Σ X Σ2. Soient D et D 2 deux données de Shimura, avec un morphisme D D 2. Alors, on a une inclusion des corps réexes E 2 E, et un morphisme de variétés de Shimura X X 2 E2 E. Soit Σ i un choix combinatoire pour X i. Si Σ est susamment n, alors le morphisme précédent s'étend en un morphisme X Σ X2 Σ 2 E2 E. Soit donc X une compactication toroïdale de X, associé à un choix combinatoire lisse. C'est un schéma propre et lisse sur K. On supposera ce choix xé dans la suite, en ayant à l'esprit que l'on peut prendre ce choix combinatoire arbitrairement n. Le schéma abélien universel A X s'étend en un schéma semi-abélien A X. Nous allons maintenant dénir une structure de niveau Iwahorique sur X. Si A X est le schéma abélien universel sur X, on a A[p ] = h i=a[π i ] De plus, les groupes de Barsotti-Tate A[π i ] sont principalement polarisés de dimension nd i g. Dénition.4. Soit X Iw l'espace de modules sur K dont les S-points sont les (A, λ, ι, η, H i,j ) où (A, λ, ι, η) X(S) et 0 = H i,0 H i, H i,g est un drapeau de sous-groupes nis et plats, stables par O B, et totalement isotropes de A[π i ], chaque H i,j étant de hauteur nf i j, pour tout i h. L'espace X Iw est un schéma quasi-projectif sur K, et on dispose du morphisme d'oubli X Iw X. Soit également X Iw une compactication toroïdale lisse de X Iw sur K. On suppose que les choix combinatoires sont faits de telle manière à ce que le morphisme X Iw X s'étend en X Iw X (cela est possible d'après le théorème.3). Enn, nous noterons X an, XIw, an X an et X an Iw les espaces analytiques associés respectivement aux schémas X et X Iw, X et X Iw (voir [Be] par exemple). 6

7 .3 Formes modulaires Pour tout idéal premier π i divisant p, on rappelle que F i est la complétion de F au-dessus de π i. Soit A le schéma semi-abélien universel sur X, et soit ω A = e Ω le faisceau conormal relatif à A/X la section unité de A ; il est localement pour la topologie de Zariski isomorphe à St Q O X comme B Q O X -module, où St = h i=(fi n ) g Soit T =Isom B OX (St O X, ω A ). C'est un torseur sur X sous le groupe ( h ) M = Res Fi/Q p GL g Qp K i= Soit T M le tore diagonal de M, B M le Borel supérieur de M, et U M son radical unipotent. Soit X(T M ) le groupe des caractères de T M, et X(T M ) + le cône des poids dominants pour B M. Si κ X(T M ) +, on note κ = w 0 κ X(T M ) +, où w 0 est l'élément le plus long du groupe de Weyl de M relativement à T M. Soit φ : T X le morphisme de projection. Dénition.5. Soit κ X(T M ) +. Le faisceau des formes modulaires de poids κ est ω κ = φ O T [κ ], où φ O T [κ ] est le sous-faisceau de φ O T où B M = T M U M agit par κ sur T M et trivialement sur U M. Le faisceau ω κ est un faisceau localement libre de rang ni sur X. Une forme modulaire de poids κ sur X est donc une section globale de ω κ, soit un élément de H 0 (X, ω κ ). En utilisant la projection X Iw X, on dénit de même le faisceau ω κ sur X Iw, ainsi que les formes modulaires sur X Iw. On notera encore ω κ le faisceau analytié sur X an et X an Iw. Remarque.6. Par équivalence de Morita, la catégorie des M n (A)-modules et celle des A-modules sont équivalentes, pour tout anneau A. L'équivalence de catégorie est explicite : à un A-module M, on associe M n, qui est bien muni d'une action de M n (A) ; réciproquement, à un M n (A)-module N, on associe le A-module E, N, où E, est la matrice avec un seul coecient non nul en position (, ) égal à. De cette manière, puisque B Q Q p = h i= M n(f i ), et que le faisceau ω A est isomorphe à St O X comme B Q O X -module, l'équivalence de Morita associe à ω A le faisceau de ( h i= F i) Q O X - modules déni par E ω A, où E est la projection déni par (E, ) i h i= M n(f i ). Ce faisceau est isomorphe à ( h i= F g i ) Q O X comme ( h i= F i) Q O X -module..4 Opérateurs de Hecke Soit i h. Soit C i l'espace de modules sur K paramétrant les (A, λ, ι, η, H j,k, L) avec (A, λ, ι, η, H j,k ) X Iw et L un sous-groupe ni et plat de A[π i ], stable par O B, totalement isotrope et supplémentaire de H i,g dans A[π i ]. Nous avons deux morphismes nis étales p, p 2 : C i X Iw : p est l'oubli de L, et p 2 est le quotient par L. Soit Ci an l'espace analytique associé à C i ; on note encore p, p 2 : Ci an XIw an les morphismes induits. L'opérateur de Hecke agissant sur XIw an est déni par U πi (S) := p 2 (p (S)) pour toute partie S de 7

8 XIw. an Cette correspondance envoie les ouverts sur les ouverts, et les ouverts quasi-compacts sur les ouverts quasi-compacts. Notons p : A A/L l'isogénie universelle au-dessus de C i. Celle-ci induit un isomorphisme p : ω A/L ω A, et donc un morphisme p (κ) : p 2ω κ p ω κ. Pour tout ouvert U de XIw, an nous pouvons donc former le morphisme composé Ũ πi : H 0 (U πi (U), ω κ ) H 0 (p (U), p 2ω κ ) p (κ) H 0 (p (U), p ω κ ) T rp H 0 (U, ω κ ) Dénition.7. L'opérateur de Hecke agissant sur les formes modulaires est alors déni par U πi = p Ũ n i πi avec n i = fig(g+) 2. Remarque.8. Le terme de normalisation p sert à maximaliser l'intégrabilité de l'opérateur de n i Hecke, comme le montre un calcul sur les q-développements. A priori, cet opérateur n'est déni que sur l'espace H 0 (XIw an, ωκ ), et non sur H 0 (X an Iw, ω κ ). Etudions les problèmes au bord. Il existe une compactication toroïdale C i de C i. D'après le théorème.3, il existe un choix combinatoire pour C i tel que le morphisme p : C i X Iw s'étend en un morphisme C i X Iw. Par le même argument, il existe un autre choix combinatoire pour C i tel que le morphisme p 2 s'étend aux compactications pour ce choix combinatoire. Or, étant donné deux choix combinatoires on peut toujours en trouver un troisième plus n que les deux premiers. Le théorème.3 montre donc qu'il est possible de construire une compactication toroïdale C i telle que les morphisme p et p 2 s'étendent en des morphismes C i X Iw. Si on note C an i l'espace rigide analytique associé à C i, on obtient des morphismes p, p 2 : C an i X an Iw. La même formule que précédemment permet de dénir un opérateur de Hecke géométrique U πi agissant sur les parties de X an Iw. Néanmoins, les morphismes p et p 2 n'étant plus nis étales, cette correspondance ne respecte plus la topologie, c'est-à-dire que l'image d'un ouvert n'est pas nécessairement encore un ouvert. Pour la même raison, il n'est pas possible de dénir l'opérateur U πi agissant sur H 0 (X an Iw, ω κ ) par la même formule que précédemment. Pour pallier à ce problème, nous utilisons le théorème suivant. Théorème.9 ([Lü]). Soit Y un espace rigide lisse quasi-compact, et Z un fermé Zariski de Y de codimension supérieure ou égale à. Alors toute fonction bornée sur Y \Z s'étend de manière unique en une fonction sur Y. Soit f H 0 (X an Iw, ω κ ). Alors U πi f dénit un élément de H 0 (XIw an, ωκ ). Comme l'espace X an Iw est quasi-compact, la forme f est automatiquement bornée (c'est-à-dire qu'il existe un recouvrement admissible de X an Iw par des ouverts anoïdes sur lesquels on a une trivialisation du faisceau ω κ, et la forme f est bornée uniformément sur chacun de ces ouverts). Il n'est pas dicile de voir que l'opérateur U πi est borné, donc que U πi f est bornée (c'est-à-dire qu'il existe un recouvrement admissible de X an Iw par des ouverts anoïdes sur lesquels on a une trivialisation du faisceau ω κ, et U πi f est bornée uniformément sur chacun de ces ouverts intersectés avec XIw). an On peut alors appliquer le théorème précédent, et la forme U πi f s'étend en une section de ω κ sur X an Iw. L'opérateur U πi agit donc bien sur l'espace H 0 (X an Iw, ω κ ). Remarque.0. Nous dénirons dans la suite une norme sur l'espace H 0 (X an Iw, ω κ ), et majorerons la norme des opérateurs U πi (voir la partie 2.2). Nous avons donc déni h opérateurs agissant sur l'espace des formes modulaires. 8

9 2 Structures entières 2. Fonction degré Nous souhaitons dénir des fonctions degrés sur les espaces X an Iw et X an Iw. Les sous-groupes universels H i,j étant dénis sur des extensions nies de Q p (et non sur leur anneau des entiers), on ne peut appliquer directement les résultats de [Fa]. Le problème principal est l'absence de modèle entier pour la compactication ; en eet, si le schéma X Iw admettait un bon modèle entier propre, on pourrait dénir la fonction degré sur l'espace rigide associé à ce modèle entier, qui serait égal à X an Iw par propreté. Pour remédier à ce problème, nous allons utiliser une autre variété de Shimura, pour laquelle les structures entières sont bien connues. Dénition 2.. Soit i h. Soit A ndg,iwi la variété de Siegel sur Z p paramétrant un schéma abélien A de dimension ndg. λ : A A t est une polarisation de degré premier à p. une structure de niveau principale en N, c'est-à-dire un isomorphisme A[N] (Z/NZ) 2ndg qui respecte les formes symplectiques à un scalaire près. un sous-groupe H de A[p], totalement isotrope et de hauteur nf i g. On dispose d'un morphisme naturel P i : X Iw A ndg,iwi K, déni par P i (A, λ, ι, η, H i,j ) = (A, λ, η, H i,g ). On notera A an ndg,iw i, l'espace analytique associé à A ndg,iwi K, et on note toujours par P i le morphisme XIw an Aan dg,iw i. D'après [St], il existe une compactication A ndg,iwi de A ndg,iwi dénie sur Z p. Si on note A rig ndg,iw i l'espace rigide associé à A ndg,iwi Zp O K, et A an ndg,iw i l'espace analytique associé à A ndg,iwi K, alors ces deux espaces sont égaux car l'espace compactié est propre. Le sous-groupe universel H sur A ndg,iwi s'étend en un groupe quasi-ni et plat à A ndg,iwi. De plus, d'après le théorème.3, on peut supposer (quitte à raner la décomposition polyhédrale utilisée pour construire X Iw ) que le morphisme P i : X Iw A ndg,iwi K s'étende en X Iw A ndg,iwi K, et donc induise un morphisme X an Iw A an ndg,iw i. Nous allons dénir le degré de H sur A rig ndg,iw i. Si x est un point de A rig ndg,iw i, alors le schéma en groupes H correspondant à x est ni et plat sur l'anneau des entiers d'une extension nie de Q p. On peut donc dénir son degré par [Fa]. Dans le cas général, si x est un L-point de A rig ndg,iw i, alors le groupe H au-dessus de x est un schéma en groupes quasi-ni et plat sur O L, l'anneau des entiers de L. Le schéma semi-abélien A au-dessus de x est obtenue par la construction de Mumford (voir [F-C] par exemple) en quotientant un schéma semi-abélien G sur O L, globalement extension d'un tore T et d'un schéma abélien A 0 sur O L, par un réseau étale Y (on se référera à [St] partie pour plus de détails). Comme explicité en annexe (partie 7.), on a de plus une suite exacte en bre générique 0 ( G[p]) η (A[p]) η p Y/Y 0 où η désigne la bre générique. Le sous-groupe ( G[p]) η s'étend en un schéma en groupes ni et plat sur O L (qui est G[p]). Soit H l'intersection de H avec G[p] ; c'est un schéma en groupes ni et plat sur O L. Il s'agit en fait du plus grand sous-groupe de H qui est ni et plat sur O L. On peut donc dénir son degré par [Fa]. 9

10 Dénition 2.2. On dénit la fonction degré sur A rig ndg,iw i A rig ndg,iw i. par deg(x) = n deg H, pour tout x On a ainsi déni une fonction deg : A rig ndg,iw i [0, f i g]. Cette fonction est dénie sur A rig ndg,iw i = A an ndg,iw i. Dénition 2.3. On dénit la fonction Deg i : X an Iw [0, f i g] par Deg i (x) = deg P i (x). On dénit également la fonction degré Deg : X an Iw h i= [0, f ig] par x (Deg i (x)) i. Pour tout produit d'intervalle I = h k= I k, où I k est un sous-intervalle de [0, f k g], on note X Iw,I := Deg (I). Le lieu ordinaire-multiplicatif X mult Iw de X an Iw correspond au lieu où les degrés des H i,g sont maximaux, soit à X Iw,I avec I = h i= {f ig}. Proposition 2.4. Si I est un produit d'intervalles compacts à bornes rationnelles, alors X Iw,I est quasi-compact. Démonstration. Commençons tout d'abord par remarquer que, puisque l'espace X Iw est propre sur K, l'espace rigide-analytique X an Iw est quasi-compact. Soit p : A A/H le morphisme universel au-dessus de A ndg,iwi, il est quasi-ni et plat (il est ni sur A ndg,iwi ). Soit ω A = det e Ω A et ω A/H = det e Ω A/H les déterminants des faisceaux conormaux associés à A et A/H en leurs sections unités e et e. Soit L = ω A/H ω A ; c'est un faisceau inversible sur A ndg,iwi. Le morphisme p : ω A/H ω A donne une section δ H H 0 (A ndg,iwi, L). On en déduit un faisceau inversible que l'on notera toujours L sur A rig ndg,iw i et une section δ H H 0 (A rig ndg,iw i, L). Ce faisceau est naturellement muni d'une norme (voir [Ka]), et on a pour tout L-point x de A rig ndg,iw i (où L est une extension nie de Q p ), δ H (x) = p ndeg x. En eet, en reprenant les notations précédentes, x provient d'un point x du schéma formel associé à A ndg,iwi. Soit A le schéma semi-abélien déni sur O L au-dessus de x (quitte à prendre une extension de L), A est le quotient de G, extension d'un tore par un schéma abélien sur O L, par un réseau étale Y. On renvoie à l'appendice (partie 7.) pour plus de détails. On a alors un isomorphisme ω A ω G. De plus, si on note H l'intersection de H avec G[p], alors A/H est le quotient de G/ H par un réseau étale. On a alors un isomorphisme ω A/H ω G/ H. Au-dessus de x, le faisceau L est isomorphe à (det ω G/ H) det ω G. Comme H est un schéma en groupes ni et plat sur O L, on a bien δ H (x) = p ndeg x. Cela prouve que la fonction degré, dénie a priori point par point, est en fait la valuation d'une fonction analytique. Soit L i := Pi L, et δ H i,g := Pi δ H. Alors δ Hi,g H 0 (X an Iw, L i ), et la norme dénie pour δ H sur A rig ndg,iw i donne naturellement une norme pour δ Hi,g, et on a δ Hi,g (x) = p ndegi(x) pour tout L-point x de X an Iw. Cela permet de conclure la proposition. Dénition 2.5. L'espace des formes modulaires surconvergentes est déni par H 0 (X an Iw, ω κ ) := colim V H 0 (V, ω κ ) où la colimite est prise sur les voisinages stricts V de X mult Iw Remarque 2.6. D'après le théorème.9, on a dans X an Iw. H 0 (X an Iw, ω κ ) = colim V H 0 (V, ω κ ) b 0

11 où la colimite est prise sur les voisinages stricts du lieu ordinaire-multiplcatif dans XIw, an et où H 0 (V, ω κ ) b désigne les fonctions bornées sur V (au sens de la norme que nous dénirons dans le prochain paragraphe). La dénition des formes surconvergentes est donc indépendante du choix combinatoire eectué pour la compactication. Remarque 2.7. Il s'agit d'une dénition forte des formes surconvergentes. En eet, l'espace X Iw a un modèle entier X Iw,0 dénie sur l'anneau des entiers d'une extension nie de Q p. Une dénition faible pour les formes surconvergentes est alors une section de ω κ sur un voisinage strict du lieu ordinairemultiplicatif dans X rig Iw,0, ce dernier espace étant la bre générique de la complétion formelle de X Iw,0 le long de sa bre spéciale. Une forme modulaire surconvergente est donc dénie sur un espace du type X Iw,I avec I = h i= [f ig ε, f i g], pour un certain ε > 0. Les fonctions degré se comportent relativement bien par rapport aux opérateurs de Hecke. Proposition 2.8. Soit i h, x X an Iw et y U π i (x). Soit x j = Deg j (x), et y j = Deg j (y) pour j h. Alors y j = x j pour j i. y i x i De plus, s'il existe y U 2ei π i (x) avec Deg i (y) = Deg i (x), alors x i e i Z. Démonstration. Au-dessus du point x, on dispose d'une variété semi-abélienne A munie d'une action de O B, dénie sur une extension nie M de Q p, et d'un drapeau complet H j, H j,g de A[π j ] pour tout j. De même, au-dessus de y, on a une variété semi-abélienne A et des sous-groupes H j,k, tel que ceux-ci sont obtenus à partir des données précédentes en quotientant par un sous-groupe L de A[π i ], qui est un supplémentaire de H i,g. De plus, quitte à remplacer M par une de ses extensions nies, il existe un schéma semi-abélien A 0 déni sur O M, tel que A = A 0 OL L. Par extension des sous-objets, les sous-groupes H j,k et L de A[p] s'étendent en des sous-groupes H j,k,0 et L 0 de A 0 [p]. De même, l'action de O B se relève à A 0, et les sous-groupes H k,l,0 sont dans A 0 [π k ]. Enn, il existe un schéma semi-abélien G sur O M, extension d'un tore par un schéma abélien, telle que A 0 soit obtenu par la construction de Mumford en quotientant G par un réseau étale (on renvoie encore à l'appendice pour plus de détails). On a alors une inclusion G[p] A 0 [p] ; soit H j,k = G[p] H j,k,0 et L = G[p] L 0. Soit H j,k,0 l'image de H j,k,0 dans A 0 /L. Comme A 0 [p] = h k= A 0[π e k k ] et que L est inclus dans A 0 [π i ], si j i, les groupes quasi-nis et plats H j,g,0 et H j,g,0 sont isomorphes, et donc y j = x j. L'élément x i est égal au degré de H i,g divisé par n, et comme L est un supplémentaire de H i,g dans A[π i ], l'élément y i est égal au degré de G[π i ]/ L divisé par n. Or par les propriétés de la fonction degré, on a deg H i,g + deg L deg ( H i,g + L) deg G[π i ] ce qui donne x i y i. Pour prouver le second point, supposons qu'il existe y U 2e π i (x) avec Deg i (y) = Deg i (x). On i dispose au-dessus de x d'un couple (A, λ, ι, η, H k,l ), et le schéma semi-abélien au-dessus de y est obtenu en quotientant par un sous-groupe L de A[π 2ei i ]. De plus, comme A[πi ] est muni d'une action de M n (F i ), il existe un groupe de Barsotti-Tate principalement polarisé G i muni d'une action de O Fi tel que A[πi ] = (Q p /Z p ) n Zp G i. De même le sous-groupe H i,g s'écrit (Z/pZ) n Hi,g, 0 où Hi,g 0 est un sous-groupe de G i [π i ]. On voit donc que quitte à travailler avec G i et Hi,g, 0 on peut se ramener au cas où n =. On note F il k = L[πi k], pour 0 k 2e i, et Gr k = F il k /F il k pour k 2e i. De même que

12 précédemment, il existe un schéma semi-abélien A 0 déni sur l'anneau des entiers d'une extension nie M de Q p, étendant le schéma semi-abélien A. L'action de O B se relève à A 0, de même que les sous-groupes H i,g et L. On notera H i,g,0 et L 0 les sous-groupes de A 0 [π 2ei i ] étendant respectivement H i,g et L. De même, il existe un schéma semi-abélien G, extension d'un tore par un schéma abélien sur O M, telle que A 0 soit obtenue en quotientant G par un réseau étale à l'aide de la construction de Mumford. On note H = H i,g,0 G[p] ; comme on a supposé n =, le degré de H est précisément x i. De même, on note F il k = L 0 [πi k] G[p 2 ] et Gr k = F il k / F il k. Notons H (k) = ( G/ F il k )[π i ]/ Gr k, nous avons une chaîne de morphismes H H () H (2) H (2ei) Dans ( G/ F il k )[π i ], on a deux sous-groupes disjoints : H(k) et Gr k+. On a alors deg H (k) + deg Gr k+ deg ( H (k) + Gr k+ ) deg ( G/ F il k )[π i ] d'où deg H (k) H (k+) pour tout k. On a donc deg H deg H () deg H (2ei). Or Deg i (x) = deg H, et Deg i (y) = deg H (2ei), et par hypothèse Deg i (x) = Deg i (y). On en déduit que les inégalités précédentes sont en fait des égalités, et que l'on a deg H (k) = Deg i (x) pour tout 0 k 2e i. L'égalité entre degrés montre que l'on a ( G/ F il k )[π i ] = H (k) Gr k+. On voit que le degré de Gr k est constant, et que deg F il k = k deg F il. En particulier pour k et l compris entre 0 et e i, on a deg F il k+l = deg F il k + deg F il l ; d'après les propriétés de la fonction degré, la suite 0 F il k F π il k i k+l F il l 0 est exacte. En appliquant cette relation pour k = l = e i, on voit que L est un Barsotti-Tate tronqué d'échelon 2. En particulier, son degré et celui de F il ei sont entiers. La proposition découle de la relation Deg i (x) = f i g e i deg F il ei. L'opérateur de Hecke U πi augmente donc la i-ième fonction degré, et ne modie pas les autres. De plus, il augmente strictement la fonction Deg i, sauf éventuellement aux points où cette fonction est un multiple de /e i. Nous avons même un résultat plus fort. Proposition 2.9. Soit i h, k un entier compris entre 0 et f i e i g et 0 < α < β < deux rationnels. Alors il existe ε > 0 tel que Deg i (y) Deg i (x) + ε, pour tout x Deg i ([ k+α e i, k+β e i ]) et y Uπ 2ei i (x). Démonstration. Dénissons C i comme l'espace de modules sur K paramétrant les (x, L) avec x = (A, λ, ι, η, H j,k ) X Iw et L un sous-groupe ni et plat de A[π 2ei i ], stable par O B, totalement isotrope et supplémentaire de H i,g dans A[π 2ei i ]. Notons C i une compactication de C i compatible avec X an Iw, et C an an an i l'espace analytique associé. On dispose d'un morphisme d'oubli p : C i X Iw. On veut dénir les degrés de H i,g et H i,g :=Im (H i,g A/L) sur C an i comme valuations d'une fonction analytique. Il nous faut pour cela utiliser encore l'espace A ndg,iwi. On dénit deux morphismes f, f 2 : C i A ndg,iwi K par f (A, λ, ι, η, H j,k, L) = (A, λ, η, H i,g ) et f 2 (A, λ, ι, η, H j,k, L) = (A/L, λ, η, H i,g ). On peut supposer que ces morphismes s'étendent aux compactications et induisent des morphismes C i A ndg,iw i an an. On démontre comme précédemment qu'il existe des 2

13 faisceaux inversibles L Hi,g, L H i,g sur C an i, munis d'une norme canonique, et des sections δ Hi,g H 0 an (C i, LHi,g ), δ H i,g H 0 an (C i, LH i,g ), tels que les degrés de H i,g et H i,g sont égaux (à un facteur près) à la valuation de la norme de ces sections. D'après la proposition précédente, le degré de H i,g est strictement supérieur à celui de H i,g sur p (Deg i ([ k+α e i, k+β e i ])). Le principe du maximum montre qu'il existe ε > 0 tel que deg H i,g deg H i,g+ ε sur ce dernier espace car il est quasi-compact. Corollaire 2.0. Plaçons-nous sous les hypothèses de la proposition précédente. Alors il existe un entier N tel que ( Uπ N i Deg ([ k + α ), f i g]) Deg i ([ k + β, f i g]) i e i Démonstration. Supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas. Alors pour tout entier n, il existe x n avec Deg i (x n ) [ k+α e i, f i g], et y n Uπ n i (x n ) avec Deg i (y n ) k+β e i. Comme l'opérateur U πi augmente la fonction Deg i, on a k+α e i Deg i (x n ) k+β e i. Or d'après la proposition précédente, il existe ε > 0 tel que l'opérateur Uπ 2ei i On en déduit que Deg i (y 2ein) nε + Deg i (x 2ein) nε ce qui est impossible. 2.2 Normes augmente la fonction Deg i d'au moins ε sur Deg i e i ([ k+α e i, k+β e i ]). Nous souhaitons dénir une norme sur l'espace des formes modulaires dénies sur un ouvert U quasi-compact de X an Iw, c'est-à-dire sur l'espace H 0 (U, ω κ ). Comme l'espace X an Iw ne provient pas (canoniquement) d'un schéma formel déni sur l'anneau des entiers d'une extension de Q p, on ne peut appliquer directement [Ka]. Bien sûr, il est possible de dénir de manière non canonique une norme sur l'espace des sections d'un faisceau localement libre sur un espace rigide, mais il sera dicile de prouver certaines propriétés. (Si Y = Spm A est un espace anoïde, et f A, alors la norme de f(y) est dénie canoniquement pour y Y. En revanche, si F est un faisceau inversible, on peut dénir une norme sur H 0 (Y, F) qui dépendra de la trivialisation de F.) Soit A ndg le schéma sur Z p paramétrant les schémas abéliens de dimension ndg, avec une polarisation de degré premier à p, et une structure de niveau N. Soit également A ndg une compactication toroïdale de A ndg (construite dans [F-C]), avec un choix combinatoire compatible avec celui de X Iw. On notera A le schéma semi-abélien universel sur A ndg. Pour dénir le schéma suivant, nous nous inspirons de [Sa2]. Dénition 2.. Soit Ãndg l'espace de modules sur Z p dont les S-points sont : un point x A ndg (S). une ltration 0 = ω A,0 ω A, ω A,nd = ω A telle que pour tout i nd, ω A,i /ω A,i est localement un O S -facteur direct de ω A /ω A,i de rang g. L'espace Ãndg est donc un schéma sur Z p, et est égal à la bration de A ndg par une grassmanienne. Comme A ndg est propre sur Z p, à ndg l'est également. Soit T i = Isom OÃndg (ω A,i /ω A,i, O g à ndg ) pour i d. On note φ i : T i Ãndg la projection. L'espace T i est un torseur sur Ãndg pour le groupe GL g. Si κ i = (k j ) est un élément de Z g, on note ω κi i = φ i O Ti [ κ i ], où κ = (k g+ j ), et où φ i O Ti [ κ i ] est le sous-faisceau de φ i O Ti où le tore de GL g agit par κ i, et où le radical unipotent agit trivialement. Rappelons que nous avons déni le poids d'une forme modulaire comme un couple (k i,σ ) i g,σ Σ, 3

14 où Σ est l'ensemble des plongements de F dans Q, vériant k,σ k g,σ, pour tout σ Σ. De plus, Σ est l'union disjointe des Σ i, où Σ i est l'ensemble des plongements qui se factorisent par F i. Chaque Σ i est de cardinal e i f i. On xe une numérotation sur chaque Σ i, c'est-à-dire une bijection entre Σ i et l'ensemble {,..., e i f i }. Ces choix donne une bijection entre Σ et {,..., d}. Un poids est donc un couple (κ i ) i d, où chaque κ i est un élément dominant de Z g. On note alors ω0 κ le faisceau déni sur Ãndg par ω0 κ := d i= ωκi i. Soit à rig l'espace rigide associé à ndg Ãndg Zp O K. Puisque ce dernier est propre sur Z p, on a à rig ndg = Ãan. On notera encore ndg ωκ 0 le faisceau induit sur cet espace. D'après [Ka], on peut dé- nir canoniquement une norme sur l'espace H 0 (U, ω0 κ ), pour tout ouvert quasi-compact U de Ãrig. ndg On notera ω 0 κ le sous-faisceau des fonctions de norme plus petite que. Le faisceau ω A déni sur X Iw est muni d'une action de B Q Q p = h M i= n(f i ). Par équivalence de Morita, la catégorie des h M i= n(f i )-modules et celle des h i= F i-modules sont équivalentes. L'équivalence de catégorie est simplement donnée par R E R. On rappelle que E = h i= E, où E, est la matrice dont tous les coecients sont nuls sauf celui en position (, ). Soit donc ω A,d = E ω A. C'est un h i= F i-module, et on a ω A = n h ( E j, )ω A,d j= i= Le faisceau ω A est donc isomorphe à n copies de ω A,d. De plus, ce dernier faisceau est localement libre de rang dg, et muni d'une action de h i= F i. On peut donc écrire ω A,d = h i= ω A,d,i, où ω A,d,i est un faisceau localement libre de rang e i f i g muni d'une action de F i. On peut alors décomposer ce faisceau suivant les plongements de F i dans Q p (c'est-à-dire suivant les éléments de Σ i ) : ω A,d,i = σ ω (σ), A,d,i où σ parcourt Σ i, et où ω (σ) A,d,i est un faisceau localement libre de rang g. Ainsi, en utilisant la bijection entre Σ et {,..., d} xée précédemment, on peut décomposer le faisceau ω A,d en ω A,d = d j=ω (j) A,d où les faisceaux ω (j) A,d sont localement libres de rang g. Cela permet donc d'écrire ω A comme somme directe de nd faisceaux localement libre de rang g. Dénition 2.2. On dénit un morphisme ψ : X Iw Ãndg K par la formule x (P(x), (ω A, )), où P est le morphisme d'oubli de l'action de O B et de la structure Iwahorique, et où la ltration (ω A, ) de ω A est déduite de ce qui précède. Nous avons déni un faisceau ω κ sur X Iw et un faisceau ω κ 0 sur Ãndg. Proposition 2.3. On a ψ ω κ 0 = ω κ. Démonstration. Le faisceau ω κ est déni à l'aide du torseur T =Isom B OXIw (St O XIw, ω A ) sur X Iw, où on rappelle que St = h i= (F n i )g. On a donc, par l'équivalence de Morita, et la décomposition ω A,d = h i= ω A,d,i, T = h Isom Fi O XIw (F g i O X Iw, ω A,d,i ) i= 4 d j= Isom OXIw (O g X Iw, ω (j) A,d )

15 Le résultat en découle. On notera encore ψ : X an Iw Ãrig ndg le morphisme obtenu au niveau des espaces analytiques. On peut donc dénir une semi-norme sur l'espace H 0 (U, ω κ ), pour tout ouvert U quasi-compact de X an Iw. Soit f H 0 (U, ω κ ), et x U. Si on note L le corps résiduel de x, on a donc un morphisme x : Spec L U. Alors x f H 0 (Spec L, x ω κ ) = H 0 (Spec L, x ψ ω κ 0 ) = H 0 (Spec L, (ψx) ω κ 0 ) Le morphisme ψx : Spec L Ãrig ndg donne un L-point de Ãrig, qui provient d'un unique ndg O L-point du schéma formel à for associé à Ãndg. ndg On note ψ 0 le morphisme Spf O L Ãfor correspondant. ndg On a alors H 0 (Spec L, (ψx) ω0 κ ) = H 0 (Spf O L, ψ0ω 0 κ ) OL L où O L est l'anneau des entiers de L (on note encore ω0 κ le faisceau induit sur Ãfor ndg ). On dénit donc une norme sur H 0 (Spec L, x ω κ ) en identiant H 0 (Spf O L, ψ0ω 0 κ ) et les éléments de norme plus petite que. Dénition 2.4. Soit U un ouvert de X an Iw, f H 0 (U, ω κ ), et x U. On dénit la norme de f en x par f(x) := x f, et la norme de f sur U par f U := sup x U f(x). Remarque 2.5. L'élément f U peut éventuellement être inni, mais est ni si U est quasi-compact. Dans ce cas, cette dénition donne en général une semi-norme, mais est une norme si l'espace est réduit. Dénition 2.6. On notera encore ω κ le sous-faisceau des fonctions de norme plus petite que. Donnons une autre dénition du faisceau ω κ. Pour tout espace rigide Y, on note ÕY le faisceau des fonctions de norme inférieure ou égale à. Alors ω κ = ψ ω 0 κ ψ OÃrig Õ an X Iw ndg Nous dirons que ω κ dénit une structure entière pour ω κ. Si F est un faisceau localement libre de rang r sur un espace rigide Y, on appelle structure entière pour F un sous-faisceau F, tel que F r soit localement isomorphe à ÕY. Rappelons un gluing lemma dû à Kassaei ([Ka]). On rapelle que nous avons fait les choix combinatoires de telle sorte que l'espace X Iw est lisse. Lemme 2.7. Soit U un ouvert quasi-compact de X an Iw. On a : ( ) H 0 (U, ω κ ) H 0 (U, ω κ ) Zp Q p lim H 0 (U, ω κ /p n ) Zp Q p 3 Décomposition des opérateurs de Hecke 3. Décomposition Soit U un ouvert quasi-compact de XIw. an Fixons un élément i compris entre et g, et un élément rationnel r [0, f i g]. On note X i, r := {x XIw an, Deg i(x) r}. Nous voulons découper notre 5

16 ouvert U suivant le nombre de points de U πi (x) X i, r. Pour tout x = (A, λ, ι, η, H i,j ) X an Iw, soit N(x, r) le nombre de points de U πi (x) X i, r. Dénissons U j := {x U, N(x, r) j} Proposition 3.. Les (U j ) forment une suite décroissante d'ouverts quasi-compacts, vide à partir d'un certain rang. Démonstration. Voir [Bi] lemme 2.7. Sur U j \U j+, on a N(x, r) = j. On peut alors décomposer l'opérateur U πi en Uπ good i U bad π i, où Uπ bad i correspond aux j points de X i, r, et Uπ good i aux autres. Remarquons que Uπ bad i paramètre les supplémentaires L de H i avec deg L f i r. De plus, il est possible de faire surconverger ces ouverts. Proposition 3.2. Soit r > r un nombre rationnel, et U j := {x U, N(x, r ) j}. Alors U j est un voisinage strict de U j dans U, c'est-à-dire que le recouvrement (U j, U\U j) de U est admissible. Démonstration. Voir [Bi] proposition 2.0. Pour r > r, on dispose donc de la décomposition de U πi sur U j \U j+, ainsi que sur U j \U j+. Ces décompositions coïncident sur l'intersection des deux ensembles. Il est possible de généraliser cette décomposition à Uπ N i pour tout entier N. Théorème 3.3. Soit N et r [0, f i g] un rationnel. Il existe un ensemble ni totalement ordonné S N et une suite décroissante d'ouverts quasi-compacts (U j (N)) i SN de U de longueur L = L(N) indépendante de U, tels que pour tout j 0, on peut décomposer la correspondance Uπ N i sur U j (N)\U j+ (N) en avec T 0 = U good π i,j,n, pour 0 < k < N et U N π i = ( N k=0 U N k π i T k ) TN T k = U good π i,j k,n U π bad i,j k,j k,n... Uπ bad i,j,j,n j S N,...,j k S N k T N = Uπ bad i,j N,N Uπ bad i,j N 2,j N,N... Uπ bad i,j,j,n j S N,...,j N S avec les images des opérateurs U good π (j S i,j,n k) sont incluses dans X i, r = {x X rig, Deg i (x) r}. les opérateurs Uπ bad (j S i,j,l,n k, l S k ) et Uπ bad (j S i,j,n ) sont incluses dans X i, r. Enn, si (U j (N)) est la suite d'ouverts de U obtenue pour r > r, alors U j (N) est un voisinage strict de U j (N) dans U pour tout j. Démonstration. C'est le théorème 2.5 de [Bi]. 6

17 3.2 Norme des opérateurs de Hecke Pour démontrer le théorème de classicité, nous aurons besoin d'un calcul de normes de ces opérateurs de Hecke. Rappelons que la norme d'un opérateur T : H 0 (T (U), F) H 0 (U, F) est déni par T U := inf { λ R >0, T f U λ f T (U) f H 0 (T (U), F) } Proposition 3.4. Soit T un opérateur déni sur un ouvert U, égal à U πi, Uπ good i ou Uπ bad i. On suppose que l'image de cet opérateur est incluse dans X i, fig c pour un certain c 0. Alors T U p fig(g+)/2 c infτ Σ i kg,τ Démonstration. Avec les notations de.4, nous allons majorer la norme du morphisme p (κ) : p 2ω κ p ω κ, chacun de ces deux faisceaux étant muni de la structure entière induite par celle de ω κ via les morphismes p et p 2 respectivement. Soit x = (A, i, φ, H, ω A,σ,j ) XIw an(q p) et L A[π i ] un supplémentaire de H[π i ] stable par O B. Alors ψ(x) Ãrig ndg (Q p), et on a une variété semi-abélienne A 0 dénie sur Z p au-dessus de ψ(x), qui étend la variété abélienne A. L'action de O B s'étend à A 0, et le sous-groupe L s'étend en un sous-groupe L 0 de A 0 [π i ]. De même que précédemment, il existe un schéma semi-abélien G sur Z p, globalement extension d'un tore par un schéma abélien, tel que A 0 soit le quotient de G par un réseau étale. On se référera à l'annexe (partie 7.) pour plus de détails. On a G[p] A 0 [p] ; soit L = L 0 G[p]. C'est un schéma en groupes ni et plat sur Z p. On a alors des isomorphismes ω A0 ω G et ω A0/L 0 ω G/ L. Le morphisme p : A 0 A 0 /L 0 donne une suite exacte de Z p Z O B -modules qui s'identie à 0 ω A0/L 0 ω A0 ω L0 0 0 ω G/ L ω G ω L 0 En utilisant l'équivalence de Morita, on en déduit une suite exacte de ( h i= O F i ) Zp Z p -modules 0 E ω G/ L E ω G E ω L 0 De plus, on sait que ces modules admettent une ltration indexée par les éléments de Σ, et la suite exacte respecte cette ltration. Remarquons que puisque l'on travaille sur Z p, cette ltration est canonique, et est déduite de la décomposition en somme directe de ces modules après inversion de p. On en déduit que les morphismes de la suite exacte sont stricts pour la ltration. Pour tout j d, on obtient donc une suite exacte f j 0 ω G/ L,j /ω G/ L,j ω G,j /ω G,j ω L,j /ω L,j 0 où (ω G,j ) j d est la ltration de E ω G, et similairement pour E ω G/ L et E ω L. On rappelle qu'on a ordonné les éléments de Σ = {σ,..., σ d }. Si σ j / Σ i, alors f j est un isomorphisme puisque L A[π i ] donc ω L,j /ω L,j = 0. Soit λ j = v(det f j ). Alors p (κ) x j,σ j Σ i p λjkg,σj infτ Σi kτ p j,σ j Σ λ j i La proposition découle alors du fait que deg L = j,σ j Σ i λ j c. 7

18 4 Classicité Théorème 4.. Soit f une forme surconvergente de poids κ X(T M ) + sur X Iw, propre pour la famille d'opérateurs de Hecke U πi. Supposons que les valeurs propres (α i ) pour ces opérateurs soient non nulles, et que κ est grand devant les (v(α i )). Alors f est classique. Remarque 4.2. La condition reliant le poids et la pente est très explicite. Un élément κ X(T M ) + est une famille d'entiers h d i (k,j,i k g,j,i ) i= j= La condition intervenant dans le théorème est alors d i g(g + ) 2 + e i v(α i ) < inf j d i k g,j,i pour tout i h. On rappelle que d i = e i f i. Passons à la preuve du théorème. Une forme modulaire surconvergente est dénie sur un espace du type Deg ([f g ε, f g] [f h g ε, f h g]), pour un certain ε > 0. Pour montrer que f est classique, nous allons tout d'abord prolonger f à tout XIw. an Le prolongement se fera direction par direction, c'est-à-dire que l'on prolongera f à puis à Deg ([0, f g] [f 2 g ε, f 2 g] [f h g ε, f h g]) X an Iw Deg ([0, f g] [0, f 2 g] [f 3 g ε, f 3 g] [f h g ε, f h g]) X an Iw et ainsi de suite. Chacune de ses étapes se démontrant de manière analogue, nous ne détaillerons que la première, c'est-à-dire le prolongement à Deg ([0, f g] [f 2 g ε, f 2 g] [f h g ε, f h g]) X an Iw Pour conclure, nous utiliserons le théorème.9, qui permettra d'étendre la forme f à X an Iw. Un théorème de type GAGA permet ensuite de prouver que f est algébrique, c'est-à-dire que f est une forme classique. 4. Prolongement automatique Soit f une forme modulaire surconvergente vériant les hypothèses du théorème 4.. Elle est donc dénie sur Deg ([f g ε, f g] [f h g ε, f h g]), pour un certain ε > 0. Pour tout intervalle I, notons U I := Deg (I [f 2 g ε, f 2 g] [f h g ε, f h g]) XIw. an La forme f est donc dénie sur U [fg ε,f g]. Nous allons prolonger f à U ]fg e,f g]. Proposition 4.3. Il est possible de prolonger f à U ]f e,f ]. Démonstration. Soit β un rationnel avec 0 < β < e. D'après le corollaire 2.0, il existe un entier N tel que U N π (U [fg β,f g]) U [fg ε,f g] 8