Soit f une fonction et (D) sa représentation graphique tracée ci-dessous (les flèches représentent des tangentes à la courbes) 1. Compléter : f(-3)=..

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1 TES A-B Devoir n 2 mardi 18 octobre 2016 Eercice 1 : (2 points) Soit f une fonction et (D) sa représentation graphique tracée ci-dessous (les flèches représentent des tangentes à la courbes) 1. Compléter : f(0)= f(-3)=.. f (0)= f (3)= 2. Déterminer l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 0 3. Même question au point d abscisse -3 Eercice 2 : (6 points) 1. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 2. On note la courbe représentative de la fonction g. Calculer l équation réduite de la tangente à cette courbe au point d abscisse Dresser les tableau de signes des fonctions ci-dessous Eercice 3 : (7 points) Les deu parties de l eercice peuvent être traitées de manière indépendantes. Partie A : La fonction est définie pour tout réel élément de l intervalle [1 ;7] par : On note la fonction dérivée de la fonction. Partie B : Pour tout réel de l intervalle [1 ;7] a. Calculer b. Dresser le tableau de signes de c. En déduire le tableau de variation de. Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre 1000 et 7000 articles par semaine. On modélise le coût de fabrication, eprimé en milliers d euros, par la fonction désigne le nombre de milliers d articles fabriqués. définie dans la partie A où

2 On note c la fonction définie sur [1 ;7] représentant le coût moyen par article fabriqué, eprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout de [1 ;7] : On admet que la fonction c est dérivable sur [1 ;7]. On note sa fonction dérivée. 1. Montrer que, pour tout de l intervalle [1 ;7], on a : 2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction sur l intervalle [1 ;7]. Arrondir au centième si nécessaire. b. Déterminer, en milliers, le nombre d articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal. Eercice 4 : (6 points) L entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d entretien au propriétaires de piscines privées. Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12% de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 sont résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir. En 2015, l entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits. On modélise la situation par une suite où représente le nombre de contrats souscrits auprès de l entreprise PiscinePlus l année 2015+n. Ainsi, on a 1. a. Estimer le nombre de contrats d entretien en 2016 b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a 2. L entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maimum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l algorithme ci-contre : a. Compléter la ligne 1.9 b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l unité. c. Donner la valeur affichée à la fin de l eécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contete de cet eercice. 3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a On pose pour tout entier naturel n : a. Montrer que la suite est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. b. En déduire l epression de en fonction de n puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a

3 Corrigé Eercice 1 : Soit f une fonction et (D) sa représentation graphique tracée ci-dessous (les flèches représentent des tangentes à la courbes) 1. Compléter : f(0)=-2 f(-3)=3 f (0)=-1 f (3)=3 2. Déterminer l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 0 2 pts 0.25pt/ Réponse 3. Même question au point d abscisse -3 Eercice 2 : 1. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 7 pts 1 pt 2. On note la courbe représentative de la fonction g. Calculer l équation réduite de la tangente à cette courbe au point d abscisse 1. 2 pts 3. Dresser les tableau de signes des fonctions ci-dessous 1,5 pts Signe de Signe de Signe de k()

4 2 pts Signe de 4² Signe de 2² Signe de l() Eercice 3 : Les deu parties de l eercice peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A : La fonction est définie pour tout réel élément de l intervalle [1 ;7] par : 7 pts On note la fonction dérivée de la fonction. Pour tout réel de l intervalle [1 ;7] a. b. et c. Signe de f () + Variations de f pt et 1pt Partie B : Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre 1000 et 7000 articles par semaine. On modélise le coût de fabrication, eprimé en milliers d euros, par la fonction définie dans la partie A où désigne le nombre de milliers d articles fabriqués. On note c la fonction définie sur [1 ;7] représentant le coût moyen par article fabriqué, eprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout de [1 ;7] : On admet que la fonction c est dérivable sur [1 ;7]. On note 1. Montrer que, pour tout de l intervalle [1 ;7], on a : sa fonction dérivée. 1.5 pts 2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction sur l intervalle [1 ;7]. Arrondir au centième si nécessaire. On va utiliser la forme Signe de Signe de Signe de ² Signe de ² + + Signe de c () Variation de c pts

5 b. Déterminer, en milliers, le nombre d articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal. Il faut donc fabriquer 4000 articles pour que le coût moyen par article soit minimal Eercice 4 : L entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d entretien au propriétaires de piscines privées. Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12% de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 sont résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir. En 2015, l entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits. On modélise la situation par une suite où représente le nombre de contrats souscrits auprès de l entreprise PiscinePlus l année 2015+n. Ainsi, on a 1. a. Estimer le nombre de contrats d entretien en L entreprise a 78 contrats en 2016 b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a 12% donc CM=1+0.12=1.12 et 6 contrats résiliés. On a donc 5 pts 2. L entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maimum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l algorithme ci-contre : n a. Compléter la ligne 1.9 b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l unité. Valeur de n Valeur de U c. Donner la valeur affichée à la fin de l eécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contete de cet eercice. L algorithme affiche n=7. Cela signifie que l entreprise aura plus de 100 contrats après 7 ans (soit en =2022) 3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a On pose pour tout entier naturel n : a. Montrer que la suite est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. 1 pt 1.5 pts Donc est une suite géométrique de raison 1,12 et de premier terme b. En déduire l epression de en fonction de n puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a