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1 \documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath} \usepackage{amstext}\usepackage{amsthm}\usepackage{mfpic}\usepackage{graphics} \usepackage{rotating}\input{macro}\definecolor{yellowgreen}{rgb}{0.68,1,0.15} \definecolor{violl}{rgb}{0.3,0,0.3}\definecolor{sarcc}{rgb}{0,0.82,0.82} \begin{document}\frontmatter\pagestyle{empty}\begin{titlepage}\begin{picture} \end{picture} \tableofcontents \mainmatter\pagestyle{myheadings} \chapter {Géométrie affine} On note $E$, $F$ ou $G$, des espaces de vectoriels sur $\r LM 323 \ttt{dimension finie}.\\ Un endomorphisme sur $E$ est ssi il est injectif \ttt{ou} surjectif.\section{espaces affines} \dfs $-$ Un e $\mathcal{e}$ est un \ttt{ PRINTEMPS 2010 } par un espace vectoriel

2 Table des matières 1 Géométrie affine Espaces affines Sous-espaces affines Intersection de sous-espaces affines, sous-espace engendré par une partie de E Position relative de deux sous-espaces affines, parallélisme Applications affines Effet sur les sous-espaces Effet sur les barycentres Le groupe affine Points fixes Exemples d utilisation des applications affines Rappels sur les barycentres Coordonnées cartésiennes en géométrie affine Espaces vectoriels et affines euclidiens Groupe des isométries vectorielles Géométrie euclidienne plane Isométries vectorielles dans le plan Isométries affines dans le plan Angles Angles orientés de vecteurs Angles orientés de droites Orientation du plan et mesure des angles orientés ii

3 2.3.4 Bissectrices Angles géométriques et bissectrice intérieure Rappel de quelques théorèmes sur les angles Similitudes planes Propriétés des similitudes directes Utilisation des nombres complexes Inversions planes Puissance d un point par rapport à un cercle, cercles orthogonaux Géométrie euclidienne en dimension Isométries vectorielles Isométries affines Produit vectoriel, calcul d aires Coniques Coniques affines, généralités Coniques à centre Classification affine Classification euclidienne Foyers et directrices Propriétés bifocales des coniques à centre Tangentes

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5 Chapitre 1 Géométrie affine Soit K est un corps quelconque et E, F ou G, des espaces vectoriels sur K de dimension quelconque. Rappel : Si E est de dimension finie et si φ est un endomorphisme sur E alors φ est bijectif φ est injectif φ est surjectif. 1.1 Espaces affines Définitions: Un espace affine E dirigé par un espace vectoriel E est un ensemble non-vide muni d une application Θ : E E E telle que A E, Θ A : B Θ(A, B) est une bijection de E sur E, A, B, C E, Θ(A, B) + Θ(B, C) = Θ(A, C) (relation de Chasles). L espace vectoriel E est la direction de l espace affine E. On dit que E est de dimension finie si E est de dimension finie, et l on pose alors dim E = dim E. Les éléments de E sont des points. Notation: On note AB = Θ(A, B). La relation de Chasles devient AB + BC = AC. Exemple: Tout espace vectoriel E est un espace affine sur lui-même : il suffit de poser pour (u, v) E 2, Θ(u, v) = uv = v u. L application v v u est une bijection de E pour tout u E et Chasles résulte de l identité (v u) + (w v) = w u pour tous u, v, w E. Remarques: Par la relation de Chasles on a AA = 0 et BA = AB pour tous A, B E. 1

6 2 Si A est un point de l espace affine E et si u est un vecteur de l espace vectoriel E qui le dirige, alors par définition il existe un unique point B tel que AB = u. On note parfois B = A+u ou u = B A. On remarquera que si v est un autre vecteur de E, B+v = (A+u)+v = A+(u+v). En effet si C = B +v, alors AC = AB + BC = u+v ce qui entraîne B +v = C = A+(u+v). On peut donc formellement additionner un vecteur et un point. Par contre cela n a pas de sens d additionner plusieurs points, sauf si l espace affine a été muni d une structure d espace vectoriel. Vectorialisé d un espace affine Soit A E un point d un espace affine. L application Θ A : E E, M AM étant une bijection, on transporte la structure d espace vectoriel de E sur E : M + N = Q signifie AM + AN = AQ et λm = Q signifie AQ = λam. Plus généralement P = α i M i AP = α iami. L espace E devient un espace vectoriel noté E A, car sa structure dépend de A qui est le vecteur nul de E A. Rappelons que N M = MN sur E ; mais N M est aussi un cas particulier de combinaison linéaire sur E A. Vérifions la cohérence des deux notations. Sur E A, N M est le point P tel que AP = ( ) AN AM = MN. Donc P = ΘA MN. Donc «M N = ΘA (M N)». Comme Θ A est la bijection qui nous a permis de définir E A, les deux notations sont cohérentes. Une égalité n aurait pas de sens puisqu un «N M» est dans E et l autre dans E A. v = AM E u + v 0 u = AM u v = NM A N = A + v E A M + N = A + u + v 2M = A + 2u M = A + u M N = A + u v Remarque: Soit P défini dans E A par P = α i M i. Alors P est indépendant de A ssi α i = 1.

7 Démonstration. Soit B A et Q = α i M i dans E B. Alors AP = α iami αi BM i. Par différence AP BQ = ( αi ) AB. D où AB P Q = AP + P B P B BQ = AP BQ = ( αi ) AB. Comme A B, P = Q α i = 1. 3 et BQ = Définition: Lorsque α i = 1, le point P = α i M i est le barycentre des M i affectés des coefficients α i. (voir rappels section 1.5.) Définition: Un pallélogramme est un quadruplet ABCD te que AB = DC. Règle du parallélogramme B A = C D D A = C B. En effet cette équivalence est vraie sur E O pour tout choix de O. Elle est donc vraie sur E. Les diagonales de ABCD se coupent en leurs milieux ssi c est un parallélogramme : Démonstration. B A = C D B + D = A + C B + D 2 = A + C Sous-espaces affines. Un sous-ensemble F est un sous-espace affine de E s il est non-vide et s il existe A F et un sous-espace vectoriel F de E tel que M F AM F. Notons que pour B F, AB F, et donc M F AM F BM = BA + AM F. Donc F est un espace affine dirigé par F. Inversement on a, pratiquement par définition : Proposition 1.1. Soit F un sous-espace vectoriel de E et soit A un point de E. Il existe un et un seul sous-espace affine dirigé par F et contenant A. Démonstration. Si A et F sont donnés, l équivalence M F AM F définit un sousensemble F de E. Cet ensemble est unique et c est un sous-espace affine par définition. Notation: On désigne par A + F le sous-espace affine passant par A et dirigé par F. Remarques: La dimension d un sous-espace affine est la dimension de sa direction. Les sous-espaces affines de dimension 0 sont les points. Une droite affine est un sousespace affine de dimension 1, un plan affine est un sous-espace affine de dimension 2 et un hyperplan affine est un sous espace affine de dimension n 1, où n est celle de l espace.

8 4 Soit E et F deux espaces vectoriels et soit f : E F une application linéaire. Pour tout v ImF, l image réciproque f 1 (v) est un sous-espace affine de E, muni de sa structure affine naturelle, de direction Ker f. Démonstration. Soit v Im f et u f 1 (v) on veut montrer u f 1 v uu Kerf. Or u f 1 v f(u ) = v = f(u) uu = u u Kerf. D où le résultat Par exemple, soit f une forme linéaire définie sur R n par f(x 1,..., x n ) = n est pas identiquement nulle elle est surjective et pour tout b R, l équation n a i x i. Si cette forme i=1 n a i x i = b décrit f 1 (b) qui est un sous-espace affine de l espace vectoriel R n, dirigé par l hyperplan n Kerf d équation a i x i = 0. i=1 Plus généralement, les sous-espaces affines d un espace vectoriel E sont les sous-ensembles de la forme F + u 0 = { x + u 0, x F }, où F est un sous-espace vectoriel de E et u 0 E. i=1 Les sous-espaces vectoriels sont les sous-espaces affines pour lesquels u 0 F, ou encore contenant le vecteur nul Intersection de sous-espaces affines, sous-espace engendré par une partie de E. Proposition 1.2. Toute intersection non vide de sous-espaces affines est un sous-espace affine. Démonstration. Soit (F i ) i I une famille de sous-espaces affines. On note F i la direction de F i, E celle de E et F = i F i. - Si leur intersection est vide, par convention c est un sous-espace affine. - Sinon soit F cette intersection et A F. Alors M F i M F i i AM F i AM F. Comme F est un sous-espace vectoriel de E, F est le sous-espace affine passant par A dirigé par F. On retiendra que, si l intersection est non vide : La direction de l intersection est l intersection des directions.

9 5 De cette proposition on déduit aussitôt : Proposition 1.3. Soit S une partie de E. L intersection de tous les sous-espaces affines contenant S est le plus petit sous-espace affine contenant S. Définition et notation: Ce sous-espace est le sous-espace engendré par S. Il est noté S. Exemple: Si S = { A i, 0 i n } est un ensemble fini, S est le sous-espace affine contenant A 0 et dirigé par l espace vectoriel engendré par les vecteurs { A 0 A i, 1 i n }. Sa dimension est au plus n. Définition: Des points A 0,..., A k sont affinement indépendants si la dimension de l espace qu ils engendrent est k. Si k = dim E, ( A 0,..., A k ) est un repère affine de E ou un repère barycentrique. Proposition 1.4. Tout point M E s écrit comme barycentre des points d un repère affine. Démonstration. Soit (A 0,..., A k ) un repère affine. Alors ( A 0 A 1,..., ) A 0 A k engenfre E. Comme k = dime = dime, c est aussi une base. Donc pour tout M on peut écrire A 0 M = En utilisant A 0 A i = A 0 M + MA i on obtient ( 1 k i=1 x i ) MA 0 + k i=1 x i MA i = 0. k i=1 x i A 0 A i. D après cette démonstration, pour tout point M, il existe un (α i ) 0 i k R k+1 unique tel que k i=0 α i MA i = 0 et k α i = 1. i=0 Définition: Les α i, 0 i k sont les coordonnées barycentriques de M dans le repère (A 0,..., A k ). Remarque: Deux points A et B distincts sont affinement indépendants et forment un repère affine de la droite {A, B} qu ils engendrent, droite également notée AB. Trois points sont indépendants s ils ne sont pas alignés et de même des points en nombre fini sont indépendants ssi aucun n est dans le sous-espace affine engendré par les autres.

10 Position relative de deux sous-espaces affines, parallélisme. Définition: On dit que deux sous-espaces affines F et G de E sont parallèles s ils ont la même direction, et on note F G Par abus de langage, on dit aussi que F est parallèle à G si la direction de F est incluse dans celle de G, par exemple dans le cas d une droite parallèle à un plan. Le parallélisme n est plus alors une relation d équivalence. Exemple: Si f : E F est une application linéaire, alors tous les sous-espaces f 1 (v), pour v Im f, sont parallèles puis qu ils sont tous dirigés par Ker f. Proposition 1.5. Si F G, alors F et G sont égaux ou disjoints. Démonstration. Soit F = G leur direction commune. S ils ne sont pas disjoints, soit A F G. Alors F = A + F et G = A + G. Donc F = G. Proposition 1.6. Soit F et G deux sous-espaces affines d un espace affine E, dirigés respectivement par F et G. Si F + G = E, alors tout sous-espace parallèle à G rencontre F. Démonstration. Soit A F, G un sous-espace affine parallèle à G et B G. Soit u F et v G tels que AB = u + v. Soit M = A + u. Alors M F car A F et u F. De même MB = MA + AB = u + (u + v) = v. de sorte que M G. Donc F G. Proposition 1.7. Soit F et G deux sous-espaces affines d un espace affine E, dirigés respectivement par F et G. Soit H le sous-espace affine engendré par F et G. Alors si F G, dim H = dim F + dim G dim(f G) si F G =, dim H = dim(f + G) + 1. Démonstration. Si F G, soit A F G. Vérifions que H = A + (F + G). A + (F + G) contient F et G. Donc H A + (F + G). Réciproquement A + F = F H et A + G = G H. D après la définition des espaces affines, A + (F + G) H. Finalement A + (F + G) = H. Donc dim H = dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G). Or dim F = dim F et dim G = dim G et comme F G, dim(f G) = dim(f G). D où dim H = dim F + dim G dim(f G).

11 Si F G =, on fixe A F et B G et on note D la droite vectorielle engendrée par AB. Par les mêmes arguments que précédemment on voit que H = A + (D + F + G). Par ailleurs F G = = D F + G. Donc dim(d + F + G) = 1 + dim(f + G). D où le résultat Applications affines Définition: Soient E et F deux espaces affines dirigés respectivement par E et F. Une application φ : E F est affine s il existe une application linéaire f : E F, telle que O, M E, f( OM) = φ(o)φ(m). Remarques L application f est déterminée par la relation. Elle est donc unique. On l appelle l application linéaire associée à φ et elle peut se noter φ. En soustrayant pour deux points M et N, on obtient f( ON) f( OM) = φ(o)φ(n) φ(o)φ(m) Linéarité de f à gauche et Chasles à gauche et à droite donnent f( MN) = φ(m)φ(n). Il suffit donc que la relation soit vérifiée pour un point O fixe et un point M quelconque pour qu elle le soit pour tous M et N. Proposition 1.8. Soit f : E F une application linéaire. Soit E et F deux espaces affines dirigés respectivement par E et F. Pour tous points O de E et O de F, il existe une unique application affine φ : E F telle que φ(o) = O et φ = f. Démonstration. La formule φ(m) = O + f( OM) fournit l existence et l unicité de φ. Une application affine est déterminée par l image des points d un repère affine. Proposition 1.9. La seule transformation affine d un espace affine qui fixe les points d un repère affine est l identité. Exemples d applications affines : Une application constante est affine. L application linéaire associée est l application nulle.

12 8 L application 1 Θ A : E E, M AM est une bijection affine d un espace affine sur l espace vectoriel qui le dirige. L application linéaire associée est l application identique sur E : Id e. Les applications affines de R dans R sont de la forme x ax + b, l application linéaire associée étant x ax. Si E et F sont deux espaces vectoriels munis de leurs structures affines naturelles, une application φ : E F est affine ssi il existe un vecteur v 0 dans F et une application linéaire f : E F telle que l on ait φ(u) = f(u) + v 0 pour tout u E. Démonstration. = Si φ est affine, par la définition de la structure affine sur E on a φ(u) φ(0) = φ(0)φ(u) = φ (u), d où φ(u) = φ (u) + φ(0). = Réciproquement si φ(u) = f(u) + v 0 avec f linéaire et v 0 F, alors φ(0)φ(u) = f(u) + v 0 f(0) v 0 = f(u), ce qui montre que φ est affine. Les applications linéaires de E dans F sont donc les applications affines qui envoient 0 sur 0. Supposons que E = F. Les applications affines dont l application linéaire associée est Id E sont les applications φ : E E telles que φ(a)φ(b) = AB pour tous A et B dans E. La règle du parallélogramme donne Aφ(A) = Bφ(B). Autrement dit, le vecteur Mφ(M) est un vecteur constant u. On dit que φ est la translation de vecteur u et on la note t u. Proposition Etant donné un point O de E, toute application affine φ de E dans lui-même s écrit d une façon unique sous la forme φ = t u ψ, où ψ(o) = O. Démonstration. Si une telle décomposition existe alors u = ψ(o)φ(o) = Oφ(O) et ψ = t u φ, i.e. ψ(m) = φ(m) u pour tout M. Or φ = t u ψ. Donc la décomposition convient. Soit O un point, λ un scalaire et φ l application définie par Oφ(M) = λ OM. C est une application affine car Oφ(O) = 0 d où φ(o) = O et φ(o)φ(m) = λ OM. L application linéaire associée est l homothétie vectorielle de rapport λ. On appelle φ l homothétie de centre O et de rapport λ et on la note h(o, λ) ou h O,λ. 1. vue lors de la vectorialisation d un espace affine

13 9 Soit F et G deux sous-espaces de E dirigés par F et G. On suppose que E = F G. Alors, d après la proposition 1.6, tout sous-espace parallèle à G rencontre F en un sous-espace dirigé par F G, soit en un point unique. On définit π : E F en posant π(m) = F G M, où G M = M + G est le sous-espace parallèle à G passant par M. L application π est la projection sur F parallèlement à G. C est une application affine. Démonstration. Soit M et N E. Alors Mπ(M) G, Nπ(N) G et π(m)π(n) F. En appliquant la relation de Chasles on obtient MN = Mπ(M) + π(m)π(n) Nπ(N). Soit p la projection vectorielle 2 de E sur F parallèlement à G. C est une application linéaire et l identité précédente montre que π(m)π(n) = p( MN). Donc π est une application affine et π = p. Soit F et G deux sous-espaces de E, dirigés par F et G. On suppose que E = F G. G F On note s la symétrie par rapport à F parallèlement à G définie par s(u) = u si u F et s(v) = v si v G. Ainsi pour u F et v G s(u + v) = u v. Soit A F. On définit σ 2. Rappelons que tout vecteur u E s écrit de manière unique u = v + w, où v F et w G, et que p(u) = v.

14 10 sur E en posant Aσ(M) = s ( AM ). Comme σ(a) = A, σ(a)σ(m) = s ( AM ). Donc σ est une application affine. C est la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Tout point de F est un point fixe de σ. De plus si M E et N = π(m), où π est la projection définie plus haut, alors Mσ(M) = 2 MN. Démonstration Par définition σ(m)σ(n) = s ( ) MN = MN. Comme σ(n) = N, on a Nσ(M) = MN, d où Mσ(M) = MN + Nσ(M) = 2 MN. Si F est réduit à un point A, auquel cas G = E, la symétrie par rapport à A est dite centrale et A est le centre de la symétrie. Les symétries sont des involutions : σ 2 = Id Effet sur les sous-espaces Proposition L image d un sous-espace affine par une application affine est un sousespace affine. Démonstration. Soit F la direction de F, A F et φ l application affine. Alors φ(f) = φ(a + F ) = φ(a) + φ (F ). Comme φ (F ) est un sous-espace vectoriel, φ(a) + φ (F ) est un sous-espace affine. Remarque: La direction de φ(f) est φ (F ). Corollaire 1.1. Toute application affine envoie trois points alignés sur trois points alignés. Démonstration. En effet l image par une application linéaire d une droite vectorielle est soit une droite, soit le vecteur nul. Donc l image d une droite par une application affine est soit une droite affine, soit un point. Proposition Soit φ : E E une application affine et F E un sous-espace affine. Alors φ 1 (F ) est soit vide soit un sous-espace affine de E. Démonstration. Soit F la direction de F. Si F Im(φ) =, φ 1 (F ) =. Si F Im(φ), soit A E tel que φ(a) F. Alors M φ 1 (F ) φ(m) F φ(a)φ(m) F φ ( AM) F AM ( φ ) 1(F ) M A + ( φ ) 1(F ).

15 Donc φ 1 (F ) = A + φ 1 (F ). Comme φ 1 (F ) est un sous-espace vectoriel, φ 1 (F ) est un sous-espace affine Effet sur les barycentres Proposition L image du barycentre de ( (A 1, α 1 ),..., (A k, α k ) ) par l application affine φ est le barycentre de ( (φ(a 1 ), α 1 ),..., (φ(a k ), α k ) ). Démonstration. Soit P le barycentre de ( (A 1, α 1 ),..., (A k, α k ) ). Alors 0 = φ (α 1 P A1 + + α k P Ak ) = α 1 φ ( P A1 ) + + α k φ ( P Ak ) = α 1 φ(p )φ(a 1 ) + + α k φ(p )φ(a k ). Donc φ(p ) est le barycentre de ( (φ(a 1 ), α 1 ),..., (φ(a k ), α k ) ). Si α i = 1 on peut écrire φ ( α i A i ) = α i φ(a i ). Corollaire 1.2. L image d un segment par une application affine est un segment (ou un point). Corollaire 1.3. On suppose K de caractéristique nulle. Soit φ une bijection affine et S = { Ai, 1 i k } tel que φ(s) = S. Alors l isobarycentre des (A i ) 1 i k est invariant par φ. Démonstration. Par hypothèse 1/k est bien défini. Il suffit alors de prendre α i = 1/k pour tout 1 i k Le groupe affine Proposition Soit E, F, G des espaces affines et φ : E F et ψ : F G deux applications affines. Alors ψ φ : E G est une application affine et ψ φ = ψ φ. L application φ est bijective ssi φ l est, auquel cas φ 1 est affine et φ 1 = ( ) 1. φ Démonstration. Soit M et N deux points de E. Alors ψ ( φ(m) ) ψ ( φ(n) ) = ψ ( φ(m)(φ(n) ) = ψ φ ( MN). Donc ψ φ est affine et ψ φ = ψ φ. Dernière ligne = Soit O E. On a φ (u) = φ(o)φ(o + u). D où φ (u) = 0 = φ(o + u) = φ(o) = O + u = O = u = 0.

16 12 D où φ est injective, donc bijective. = Dans la séquence M OM φ ( OM) φ(o) + φ ( OM), chaque correspondance est bijective. Or φ(o) + φ ( OM) = φ(m). Donc φ est bijective. Pour montrer que φ 1 est affine avec φ ( 1 ) 1, φ on pose O = φ(o). Comme φ est affine, pour ( N F, φ φ 1 (O )φ 1 (N) ) = φ ( φ 1 (O ) ) φ ( φ 1 (N) ) = O N. Ceci entraîne φ 1 (O )φ 1 (N) = φ 1( O N ). donc φ 1 est affine et φ 1 = ( φ ) 1. Corollaire 1.4. Les bijections affines de E dans lui-même forment un groupe pour la composition. C est le groupe affine de E, noté GA(E). Conjugaison des translations. Dans le corollaire 1.10 on peut remplacer «φ = t u ψ» par «φ = ψ t v». L application affine ψ fixant O et telle que ψ = φ est la même dans les deux écritures. Les vecteurs des translations sont en général différents : si ψ est bijective, on a t u = ψ t v ψ 1. Les deux translations sont conjuguées. Proposition La conjuguée φ t v φ 1 d une translation par un élément φ de GA(E) est la translation de vecteur φ (v). Démonstration. Soit M E. Alors ( φ tv φ 1) (M) = φ ( φ 1 (M) + v ) = φ ( φ 1 (M) ) + φ (v) = t φ (v) (M). Remarque: Une application affine φ de E dans E commute avec t u ssi φ (u) = u. Démonstration. φ t u = t u φ M, φ(m + u) = φ(m) + u u = φ (u) Points fixes Une application affine de E dans lui-même ayant un point fixe A peut être vue comme une application linéaire de l espace vectorialisé E A dans lui-même. Proposition Soit φ une transformation affine de E. Si φ admet un point fixe, alors l ensemble des points fixes de φ est un sous-espace affine dirigé par Ker ( φ Id ).

17 13 Démonstration. Soit A un point fixe de φ. Il suffit de montrer que M E, φ(m) = M AM Ker ( ) φ Id. Or pour tout M E AM Ker ( ) φ Id φ ( ) AM = AM φ(a)φ(m) = AM Mφ(M) = Aφ(A) M = φ(m). Proposition Soit φ une transformation affine de E. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : φ a un et un seul point fixe, l endomorphisme φ n a aucun vecteur fixe autre que 0. Cette condition équivaut au fait que 1 n est pas une valeur propre de φ ou que φ Id est bijectif. Démonstration. = Soit A le point fixe de φ. D après la proposition précédente A est un sousespace affine dirigé par Ker ( φ Id ). Donc Ker ( φ Id ) = 0 et φ n a aucun vecteur fixe autre que 0. = Soit ψ : M Mφ(M). Montrons que c est une application affine de E dans E, muni de sa structure affine naturelle. On a ψ(m)ψ(n) = ψ(n) ψ(m) = Nφ(N) Mφ(M) = φ(m)φ(n) MN = ( φ Id)( MN). Donc ψ est affine et ψ = φ Id. Par hypothèse φ Id est bijective et donc ψ l est aussi. L unique point fixe de φ est ψ 1 (0). La proposition suivante s appliquera en particulier aux isométries hors du champ de la proposition Proposition Soit φ une transformation affine de E. On suppose qu on a la décomposition en somme directe E = Ker( φ Id) Im( φ Id). Alors il existe un unique vecteur v et une unique application affine ψ possédant un point fixe tels que φ (v) = v et φ = t v ψ. De plus, t v et ψ commutent. L application φ a un point fixe ssi v = 0, auquel cas l ensemble des points fixes de φ est un sous-espace affine dirigé par Ker( φ Id).

18 14 Démonstration. Soit θ : E E définie par θ(m) = Mφ(M). C est une application affine et θ = φ Id. Donc Imθ est un sous-espace affine de E, dirigé par Im( φ Id). Supposons que ψ et v existent, et soit A un point fixe de ψ. Alors A + v = ψ(a) + v = ( t v ψ ) (A) = φ(a), d où θ(a) = Aφ(A) = v. Comme, par hypothèse, φ (v) = v, on a v Imθ Ker( φ Id). La proposition 1.6 et l hypothèse Ker( φ Id) Im( φ Id) = E, entraînent que Imθ Ker( φ Id) est un sous-espace affine, dirigé par Im( φ Id) Ker( φ Id) qui se réduit au vecteur nul. Donc Imθ Ker( φ Id) est réduit à un unique vecteur v 0 qui est la seule possibilité pour v. Par hypothèse ψ est donnée par ψ = t v0 φ. Le vecteur v 0 étant unique, ψ l est également. De plus si A θ 1 (v 0 ), A + v 0 = φ(a) = ψ(a) + v 0 d où ψ(a) = A. Enfin comme ψ = φ, on a ψ (v0 ) = v 0 et donc, d après la remarque page 12, ψ et t v0 commutent. Passons à le dernière assertion. Si v 0 = 0, φ = ψ et φ a un point fixe. Réciproquement si φ a un point fixe la décomposition φ = t 0 φ convient et c est la seule possible, donc v 0 = 0. Dans ce cas l ensemble des points fixes est θ 1 (0), sous-espace affine dirigé par Ker( φ Id), i.e. le sous-espace des vecteurs invariants par φ. Exemple: Ici il faut supposer que K n est pas de caractéristique 2. Soit σ une application affine telle que σ = s, la symétrie vectorielle de la page 9. Rappelons que si U et V sont deux sous-espaces de E tels que dim U + dim V = dim E, alors E = U V U V = {0}. Donc E = Ker(s Id) Im(s Id) Ker(s Id) Im(s Id) = 0. Soit x Ker(s Id) Im(s Id) et soit y tel que x = s(y) y. Comme s(x) = x, on a s 2 (y) s(y) = s(y) y. De s 2 = Id, on déduit y s(y) = s(y) y soit 2x = 2 ( s(y) y) = 0. Comme char(k) 2, x = 0. Donc Ker(s Id) Im(s Id) = 0. D après la proposition 1.18, σ se décompose de façon unique sous la forme t v ψ, où ψ a un point fixe A. Si F A = A + F alors ψ est la symétrie par rapport à F A parallèlement à G. Quant à σ Soit σ a un point fixe, et σ = ψ : c est une symétrie affine. Soit σ n a pas de point fixe, dans ce cas v 0 et comme s(v) = v, v F. Alors σ est une symétrie affine glissée Les symétries affines sont les symétries glissées telles que v = 0.

19 15 G u u F A A 1.4 Exemples d utilisation des applications affines Rappel : Soit A, B et C sur une droite D dirigée par u. On peut écrire AB = λu, où λ = AB est la mesure algébrique de AB et dépend du choix de u. Par contre le rapport AB AC n en dépend pas. Théorème de Thalès. Soit d, d et d trois droites parallèles distinctes, D 1 et D 2 deux droites sécantes avec d. Soit A i = D i d, A i = D i d, A i = D i d. Alors A 1A 1 = A 2A 2. A 1 A 1 A 2 A 2 Réciproquement, si un point B de D 1 est tel que A 1B = A 2A 2, alors il est sur d et B = A 1. A 1 A 1 A 2 A 2 Démonstration. Soit π la projection sur D 2 parallèlement à d et p la projection vectorielle associée. Alors π(a 1 ) = A 2, π(a 1) = A 2 et π(a 1) = A 2. Soit λ tel que A 1 A 1 = λ A 1 A 1. Alors p( A 1 A 1) = λp( A 1 A 1), soit A 2 A 2 = λ A 2 A 2, égalité dont on déduit le sens direct du théorème. La réciproque en découle : on a A 1 A 1 = A 1 B donc B = A 1 et B est sur d. Corollaire 1.5. Soit D 1 et D 2 deux droites sécantes en A, d et d deux droites parallèles coupant D i en A i, A i distincts de A. Alors AA 1 AA 1 = AA 2 AA 2 = A 1A 2. A 1A 2

20 16 Démonstration. On fait passer par A une parallèle d à d. En appliquant le théorème de Thalès on obtient la première égalité. Soit λ = AA 1. Alors l homothétie h A,λ AA 1 vérifie par définition h A,λ (A 1) = A 1 et, d après l égalité déjà montrée, h A,λ (A 2) = A 2. On en déduit h A,λ ( A 1A 2) = A 1 A 2 soit A 1 A 2 = λa 1A 2 ce qui entraîne la seconde égalité. d d d D 2 D 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 Théorème de Pappus. Soit A, B, C trois points d une droite D et A, B, C trois points d une autre droite D. Si AB est parallèle à BA et BC est parallèle à CB, alors AC est parallèle à CA. Démonstration. Supposons que D et D sont parallèles. Alors ABA B est un parallélogramme et il existe une translation t u telle que t u (A) = B et t u (B ) = A. De même, il existe une translation t v telle que t v (B) = C et t v (C ) = B. Soit t u+v = t u t v = t v t u. Alors, t u+v (A) = C et t u+v (C ) = A. Donc AC = CA et CA AC. A D C B O A B C D Supposons que D et D sont sécantes en un point O. Alors, d après ce que nous avons vu dans la démonstration du précédent corollaire, il existe deux homothéties h O,λ1 et h O,λ2 telles que h O,λ1 (A) = B, h O,λ1 (B ) = A et h O,λ2 (B) = C, h O,λ1 (C ) = B. Ces deux homothéties commutent car elles ont même point invariant. Comme h O,λ2 h O,λ1 (A) = C et h O,λ1 h O,λ2 (C ) = A, on en conclut CA = λ 1 λ 2AC, d où CA AC.

21 17 C est un cas particulier, "le cas parallèle", du Théorème de Pappus (cf exo 1-47). 1.5 Rappels sur les barycentres Proposition Si ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ) ) est un système de points pondérés tel que α i 0, il existe un unique point G de E vérifiant l égalité α igai = 0. Pour tout point O de E on a alors ( ) α i OG = αioai. Démonstration. Soit φ : E E définie par M α i MA i. Pour M et O dans E on a φ(m)φ(o) = α i OAi α i MA i = ( α i ) OM. Donc φ est affine et φ est un multiple non nul de l identité. On en déduit que φ et φ sont bijectives. On a alors G = φ 1 (0). En posant M = G dans la précédente identité, on obtient ( ) αi OG = αioai. Remarque: On a donc ( α i ) G = α i A i, cette identité étant valable sur E O pour tout choix de O. On peut donc l écrire sans référence à une origine particulière. Le point G est le barycentre du système. Il ne change pas si tous les coefficients α i sont multipliés par un scalaire non nul. Lorsque tous les α i sont égaux, G l isobarycentre du système. L isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment AB et celui de 3 points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC. Proposition Soit ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ) ) et ( (B 1, β 1 )...(B k, β k ) ) deux systèmes de points pondérés tels que α i + β j 0 et β j 0. Soit B le barycentre du second système. Alors les systèmes ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ), (B 1, β 1 )...(B k, β k ) ) ( et (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ), ( B, ) ) β j ont même barycentre. Démonstration. Soit G et G les barycentres en question. D après la remarque précédente, quelque soit O on a sur E O, α 1 A α n A n + β 1 B β k B k = α 1 A α n A n + ( β j )B D où ( α i + β j ) G = ( α i + β j ) G, d où G = G.

22 18 On peut opérer ce type de substitution simultanément sur plusieurs sous-systèmes disjoints. Cette propriété est l associativité du barycentre. Corollaire 1.6. Soit G le barycentre de ((A, α), (B, β), (C, γ)). On suppose α + β + γ 0 et β +γ 0. Alors AG et BC sont sécantes en un point A qui est le barycentre de ((B, β), (C, γ)). Démonstration. D après la proposition précédente, G est le barycentre de ( (A, α)(a, β + γ) ). Donc A est à la fois sur BC et sur AG. Récapitulatif Une combinaison linéaire de points α i A i, est définie sur E O par O α i A i = α i OAi. si α i = 0, α i A i est, au choix, un vecteur v dans E, ou le point O + v dans E O, si α i = 1, α i A i est le barycentre des (A i, α i ) indépendant du choix de O, si α i {0, 1}, α i A i est un point M dépendant de O. Il est dangereux d utiliser la notation α i A i lorsque α i 1. A la rigueur lorsque αi = 0 comme dans le cas de la règle du parallélogramme. 1.6 Coordonnées cartésiennes en géométrie affine Définition: Soit E un espace affine dirigé par E et un point O de E, l origine. Un repère affine R = (O, A 1,..., A n ) étant fixé, on peut associer à tout point M de E les composantes du vecteur OM dans la base ( OA 1,..., OA n ) de E. Ces composantes sont les coordonnées cartésiennes de M dans R. Remarque: Ne pas confondre les coordonnées cartésiennes avec les coordonnées barycentriques définies page 5. Définition: Soit F sous-espace affine dirigé par F et contenant un point A de coordonnées cartésiennes (a 1,..., a n ). Soit (u 1,..., u k ) une base de F et (u 1 i,..., u n i ) les composantes de u i dans la base ( OA 1,..., OA n ). Alors : M F (λ 1,..., λ k ) R k tels que AM = λ i u i. x 1 = a 1 + λ 1 u λ k u 1 k Ce qui se traduit, pour les coordonnées (x 1,..., x n ) de M, par... x n = a n + λ 1 u n λ k u n k Ces équations forment un système d équations paramétriques de F..

23 Un sous-espace affine F dirigé par F peut aussi se décrire par des équations cartésiennes. Une base de E étant donnée, F peut-être décrit par un système d équations cartésiennes α 1,1 x α 1,n x n = α m,1 x α m,n x n = 0. Soit A F de coordonnées cartésiennes (a 1,..., a n ). Les points M de F sont caractérisés par AM F ce qui se traduit par α 1,1 (x 1 a 1 ) + + α 1,n (x n a n ) = 0 α 1,1 x α 1,n x n = b 1... soit.... α m,1 (x 1 a 1 ) + + α m,n (x n a n ) = 0 α m,1 x α m,n x n = b m Ce sont les équations cartésiennes de F, en fait un système d équations cartésiennes de F car il n y unicité ni dans le choix de A, ni dans celui des équations cartésiennes de F. Applications affines. Soit φ : E E une application affine, (O, A 1,..., A m) un repère affine de E et M E de coordonnées (x 1,..., x m ). On a φ(m) = φ(o) + φ ( OM ) = φ(o) + xi φ ( OAi ). Donc les coordonnées (x 1,..., x m) de φ(m) s expriment en fonction de celles de M par un x 1 = α 1,1 x α 1,n x n + b 1 système du type..., la matrice ((α i,j)) dépendant des repères. x m = α m,1 x α m,n x n + b m 1.7 Espaces vectoriels et affines euclidiens 19 A partir de cette section le corps de base est K = R. Définition: Un produit scalaire sur un espace vectoriel E est une forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. une application Φ : E E R telle que Φ est linéaire par rapport à ses deux variables, Φ est symétrique ( i.e. u, v E, Φ(u, v) = Φ(v, u) ) u E, Φ(u, u) 0 avec égalité ssi u = 0. Notations: On écrira u v pour Φ(u, v) et u pour u u. On écrit aussi u v pour u v = 0, ce qui définit une relation entre sous-espaces : l orthogonalité. On note F l orthogonal de F à savoir F = {x E x y = 0 pour tout y F }. On a la décomposition E = F F. Plus généralement, si S est une partie de E, on note S l ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous ceux de S. C est un espace vectoriel qui coïncide avec l orthogonal du

24 20 sous-espace engendré par S. Définitions: Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel de dimension finie muni d un produit scalaire. Un espace affine euclidien est un espace affine dirigé par un espace vectoriel euclidien. La distance de deux points A et B est donnée par d(a, B) = AB. On la notera aussi AB. Rappel: La définition du produit scalaire et l inégalité de Cauchy-Schwartz impliquent que est une norme et que d est bien une distance. L inégalité triangulaire d(a, B) d(a, C)+d(C, B) est une égalité ssi C est sur le segment AB. Définition: Une isométrie vectorielle f : E F, où E et F sont deux espaces vectoriels euclidiens, est une application linéaire qui conserve la norme, i.e. u E, f(u) = u. Le produit scalaire s exprimant en fonction de la norme 4, les isométries préservent le produit scalaire, donc l orthogonalité. Définition: Une application affine E F est une isométrie affine si elle préserve la distance entre les points, ce qui équivaut à dire que son application linéaire associée est une isométrie vectorielle. Notation: On note O(E) l ensemble des isométries vectorielles sur E et Isom(E) l ensembles des isométries affines sur E. Théorème 1.1. Les ensembles O(E) et Isom(E), munis de la composition des applications, sont des groupes. Démonstration. Notons que O(E) et Isom(E) sont stables par composition. Si f O(E) et u E alors f(u) = 0 = f(u) = 0 = u = 0 = u = 0. Donc f est injective et par conséquent bijective. D autre part u E, f 1 (u) = f ( f 1 (u) ) = f f 1 (u) = u. Donc f 1 O(E) ce qui achève la démonstration pour O(E). Le cas de Isom(E) en découle. En effet les isométries vectorielles étant bijectives, les isométries affines le sont aussi. De plus si φ est une isométrie affine, φ 1 = ( φ ) 1 et donc φ 1 est également une isométrie affine. Donc Isom(E) est un groupe. Les exemples les plus simples sont les translations et les symétries centrales. Définition: Soit une symétrie s (cf page 9). Si G = F, alors s est une symétrie orthogonale. 4. Pour mémoire 4u v = u + v 2 u v 2.

25 21 C est une isométrie car si u F et v F, alors s(u + v) 2 = u v 2 = u 2 + v 2 = u + v 2. Les symétries affines σ telles que σ = s sont des symétries affines orthogonales. Définition: Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan est une réflexion. A I σ(a) Proposition Soit A et B deux points distincts de l espace affine E. Alors il existe une réflexion affine unique σ qui échange A et B. Démonstration. Supposons que σ existe, alors BA = σ(a)σ(b) = σ ( AB). Donc la droite engendrée par AB est le sous-espace propre de σ associé à la valeur 1, et ( ) AB est l hyperplan invariant. On connaît σ(a) et σ. Donc σ est déterminée de manière unique. Il faut enfin montrer que σ ainsi définie est une réflexion, i.e. possède un point invariant. Or {A, B} est invariant par σ, donc le milieu de AB aussi. Les points invariants par σ forment un hyperplan orthogonal à AB contenant le milieu de AB : l hyperplan médiateur de A et B. Ce sont les points équidistants de A et B. Cas particulier : Soit E un espace vectoriel euclidien muni de sa structure d espace affine. Soit u, v E, u v et σ la réflexion affine telle que σ(u) = v. Alors σ est une réflexion vectorielle ssi σ(0) = 0, soit u = v. Proposition Soit φ une isométrie affine Alors E = Ker( φ Id) Im( φ Id). Démonstration. Comme que Ker( φ Id) et Im( φ Id) sont orthogonaux. ( dim Ker( ) ( φ Id) +dim Im( ) φ Id) = dim E, il suffit de vérifier Soit u Ker( φ Id), v Im( φ Id) et w E tel que φ (w) w = v. Alors v u = ( φ (w) w ) u = φ (w) u w u = φ (w) u φ (w) φ (u) = φ (w) ( u φ (u) ) = 0,

26 22 d où le résultat. Donc la proposition 1.18 s applique. 1.8 Groupe des isométries vectorielles Définitions: Le groupe O(E) des isométries de l espace vectoriel euclidien E est le groupe orthogonal de E. Le groupe orthogonal O(n) est défini comme le groupe des matrices carrées n n telles que t AA = Id. Remarque: Il est clair que O(n) ainsi défini est un groupe : Si A O(n) alors A 1 = t A d où t A 1 = A et t A 1 A 1 = Id. Si A, B O(n), alors t (AB) = t B t A = B 1 A 1 = (AB) 1 d où AB O(n). Proposition Soit E un espace vectoriel euclidien et soit u un endomorphisme de E ; alors les propositions suivantes sont équivalentes : i) u est une isométrie ii) u transforme toute BON en une BON iii) Il existe une BON dont l image par u est une BON. Démonstration. Montrons i) = ii) = iii) = i). i) = ii) Si u est une isométrie, c est un isomorphisme et l image de toute base est une base. Soit B une BON quelconque. Comme u préserve la norme et l orthogonalité, les vecteurs de la base u(b) sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Donc u(b) est une BON. ii) = iii) est évident. iii) = i) Soit B = (e 1,..., e n ) une BON telle que u(b) soit également une BON. Soit x E n n et (x i ) 1 i n ses composantes sur B. Alors x 2 = x 2 i. Or u(x) = x i u(e i ) et u(b) est également une BON. Donc u(x) 2 = i=1 i=1 n x 2 i = x 2. D où u est une isométrie. i=1 Proposition Soit E un espace vectoriel euclidien, soit u un endomorphisme de E et soit B une BON de E ; alors u est une isométrie si et seulement si sa matrice dans B appartient au groupe orthogonal.

27 23 Démonstration. Soit (e k ) 1 k n les vecteurs de B et A = (a i,j ) 1 i,j n la matrice de u dans B. On n n a pour tout j, u(e j ) = a k,j e k. Donc pour tous i et j, u(e i ) u(e j ) = a k,i a k,j. En notant k=1 t A = (b i,j ) 1 i,j n et t AA = (c i,j ) 1 i,j n on a, pour tous 1 i, j n, n n c i,j = b i,k a k,j = a k,i a k,j = u(e i ) u(e j ). k=1 k=1 Si u est une isométrie alors u(b) est une BON, donc t AA = Id d après. Réciproquement si t AA = Id, alors u est bijective et u(b) est une base orthonormée, d après. Par la proposition précédente, u est une isométrie. k=1 Comme dét t A = dét A, on a ( dét A ) 2 = 1 soit dét A = ±1. Définition: Une isométrie affine φ est un déplacement si dét φ = 1. Si dét φ = 1, c est un anti-déplacement. Rappel : Soit B et B deux bases d un espace vectoriel E. Le déterminant de B dans B, noté dét B B, est le déterminant de l application linéaire φ telle que φ(b) = B. Soit R la relation définie sur les bases par B R B dét B B > 0. Par les propriétés des déterminants, on voit que R est une relation d équivalence. De plus, si la dimension est strictement positive, il y a deux classes d équivalence. Définition: Un espace vectoriel est orienté par le choix d une base B 0 dite directe. Les bases dans la classe d équivalence de B 0 sont également appelées directes, les autres étant indirectes. Les espaces affines associés sont également orientés. ( ) 1 ( ) 0 Habituellement on oriente R 2 en prenant pout B 0 la base canonique pour R n. Mais rien n interdit de changer l orientation. 0, 1, et de même Définition: Un déplacement vectoriel est une isométrie positive. Notation: Le sous-groupe des isométries positives est noté O + (E), O + (n) dans le cas de R n.

28 Chapitre 2 Géométrie euclidienne plane 2.1 Isométries vectorielles dans le plan Rappel : L ensemble U = {z C, z = 1} muni de la multiplication, est un groupe. Proposition 2.1. Le groupe O + (2) est isomorphe à U. ( ) a c Démonstration. Une matrice A = est dans O(2) ssi ses colonnes forment une BON. ( ) b d ( ) ( ) ( ) a b c b L orthogonal de étant une droite engendrée par, les vecteurs et sont b a d a colinéaires. Etant unitaires 1, ils sont égaux ou opposés. D où ( ) ( ) a b a b A = ou A =. b a b a La condition A O + (2), soit dét A = 1, impose à A d être de la première forme. ( ) a b L application φ : O + (2) U qui à associe a + ib est une bijection. Vérifions que b a c est un isomorphisme (de groupes), i.e. A, A O + (2), φ(aa ) = φ(a)φ(a ). ( ) ( ) a b aa bb ba ab Si A =, alors AA = et b a ba + ab aa bb φ(aa ) = aa bb + i(ba + a b) = (a + ib)(a + ib ) = φ(a)φ(a ). Corollaire 2.1. Le groupe O + (2) est commutatif. 1. de norme 1 24

29 25 Rotations, mesure des angles de rotation. Une isométrie positive d un plan euclidien est appelée une rotation. D après ce que nous venons de voir, toute rotation ρ de O(2) est de la ( ) cos θ sin θ forme où θ est un réel défini modulo 2π. La rotation ρ est appelée rotation sin θ cos θ d angle θ. ( ) cos θ sin θ Un élément de O(2) qui n est pas de la forme précédente est de la forme. Il sin θ cos θ s agit alors d une symétrie orthogonale. cos θ λ sin θ Démonstration. Le polynôme caractéristique P (λ) = vaut P (λ) = sin θ cos θ λ λ 2 1. Il y a donc deux sous-espaces propres associées à chacune des valeurs propres +1 et 1. Soit u et v une base de vecteurs propres tels que Au = u et Av = v. Alors A étant une isométrie, u v = Au Av = u ( v) = u v. Donc u v = 0 et A est bien une symétrie orthogonale de R 2. Remarque: On en déduit que toute isométrie vectorielle négative sur R 2 est une involution. ( ) 1 0 Dans une BON de vecteurs propres sa matrice est. 0 1 Changement de base, conjugaison. Remarque: Soit E un plan vectoriel euclidien. Une BON B étant donnée, on obtient un isomorphisme de groupes de O(E) dans O(2), et de O + (E) dans O + (2), en associant à chaque isométrie de E sa matrice dans B. Proposition 2.2. Soit E un plan vectoriel euclidien et soit f une rotation de E. Alors pour g O + (E), g f g 1 = f pour g O (E), g f g 1 = f 1. En conséquence la matrice d une rotation ne change pas si on fait un changement de base direct, i.e. préservant l orientation. Si on fait un changement de base indirect l angle est changé en son opposé. L angle d une rotation dépend donc du choix de l orientation. Démonstration. Il suffit de prouver ces égalités dans O(2). La première est une reformulation de la commutativité de O + (2). Pour la seconde on note que g f O (2). Donc g f et g sont des involutions. On a alors g f g f = Id = g f g = f 1 = g f g 1 = f 1.

30 Isométries affines dans le plan. Rappelons 2 que la proposition 1.18 s applique aux isométries affines. Soit φ une isométrie affine du plan et soit φ l isométrie vectorielle associée, i.e. l application identique, une réflexion, ou une rotation. Si φ = Id, φ est une translation. Si φ est une réflexion par rapport à D, alors : soit φ a un point fixe A et φ est la réflexion par rapport à la droite A + D ; soit φ n a pas de point fixe. D après la proposition 1.18, il existe un unique vecteur v de D et une unique réflexion ψ de droite dirigée par D telle que φ = t v ψ = ψ t v. L isométrie φ est une symétrie glissée orthogonale 3. u u Si φ est une rotation vectorielle (autre que l identité), elle n a aucun vecteur fixe non nul. D après la proposition 1.17, φ a un point fixe unique A : c est une rotation affine de centre A. Si φ est une rotation d angle θ, on dit que φ est la rotation de centre A et d angle θ, notée ρ A,θ. Remarques : Le groupe des isométries positives comprend les rotations et les translations. 2. Voir la dernière remarque page Les réflexions sont également des symétries glissées orthogonales. Elles correspondent au cas v = 0.

31 27 Un repère orthonormé et une origine étant choisis, on peut identifier le plan affine euclidien P à C. Au point de coordonnées (x, y), on associe le nombre complexe x + iy, son affixe. Soit A, M et ρ A,θ (M) d affixes respectifs a, z et z, alors : ( ) ( )( ) x x A cos θ sin θ x xa = soit z = a + e iθ (z a) y y A sin θ cos θ y y A 2.3 Angles les angles orientés de vecteurs, Ce terme regroupe plusieurs notions : les angles orientés de droites, les écarts angulaires. A chacune correspond une mesure, i.e. une façon de mesurer. Proposition 2.3. Soit u et u deux vecteurs unitaires d un plan vectoriel euclidien, il existe une rotation unique ρ telle que ρ(u) = u. Démonstration. Existence. Soit u, u deux vecteurs unitaires et soit v un vecteur tel que (u, v) soit une base orthonormée. Le vecteur u s écrit u = au + bv avec a 2 + b 2 = u 2 = 1. ( ) a b L application f dont la matrice dans (u, v) est est une rotation et vérifie f(u) = u. b a Unicité. Réciproquement, dans (u, v), la matrice d une rotation f telle que f(u) = u a pour ( ) ( ) a a b première colonne et donc sa matrice est, ce qui prouve l unicité. b b a Angles orientés de vecteurs. Sur l ensemble des couples de vecteurs unitaires on définit une relation R en posant (u, u )R(v, v ) il existe une rotation ρ telle que ρ(u) = u et ρ(v) = v. Cette relation est réflexive et symétrique. Voyons la transitivité. Soit (u, u )R(v, v ) et (v, v )R(w, w ). Alors il existe deux rotations ρ 1 et ρ 2 telles que ρ 1 (u) = u, ρ 1 (v) = v, ρ 2 (v) = v et ρ 2 (w) = w. D après la proposition 2.3, ρ 1 (v) = v et ρ 2 (v) = v = ρ 1 = ρ 2. Donc ρ 1 (w) = w soit (u, u )R(w, w ). D où R est une relation d équivalence. Définition: Un angle orienté de vecteurs est une classe d équivalence de R.

32 28 Notation: On note A l ensemble des angles orientés de vecteurs. L angle nul { (u, u), u = 1 } correspondant à ρ = Id, est noté O. L angle plat { (u, u), u = 1 } correspondant à ρ = Id, est noté P. Les autres angles sont désignés par un représentant : ( u, ρ(u) ) désigne l angle associé à ρ. Bien que (u, v) désigne à la fois l angle orienté et le couple de vecteurs, il n y a jamais ambiguïté. On définit une addition sur A grâce à la composition des rotations. Si (u, u ) et (v, v ) sont des angles associés aux rotations ρ et ρ, on définit (u, u ) + (v, v ) comme l angle associé à ρ ρ ou encore à ρ ρ. Soit ( u, ρ(u) ) + ( v, ρ (v) ) = ( w, ρ ρ(w) ), pour tous vecteurs unitaires u, v et w. Cette addition munit A d une structure de groupe isomorphe à O + (E), donc à U. Relation de Chasles. Pour tous vecteurs unitaires x, y, z, (x, y) + (y, z) = (x, z). Démonstration. Soit ρ telle que ρ(x) = y et ρ (y) = z. Alors ρ ρ(x) = z. En posant u = x, v = y et w = x dans, on obtient, (x, y) + (y, z) = (x, z). Par définition, (u, v) = ( ρ(u), ρ(v) ), pour tous vecteurs unitaires u, v et toute rotation ρ. Donc les rotations conservent les angles orientés de vecteurs. Proposition 2.4. Une réflexion d un plan vectoriel inverse les angles orientés de vecteurs. Démonstration. Soit (u, v) un couple de vecteurs unitaires. D après la proposition 1.21 et la remarque qui la suit, il existe une symétrie vectorielle s 0 unique qui échange u et v. Soit s une autre symétrie. Alors s s 0 est une isométrie positive, soit une rotation r. D où ( ) ( s(u), s(v) = s s0 (v), s s 0 (u) ) = s(u) s(v) v u ( r(v), r(u) ) = (v, u) = (u, v). Proposition 2.5. L angle plat P est le seul angle non nul (u, v) tel que 2(u, v) = O.

33 29 Démonstration. Il faut vérifier que les seules rotations ρ telle que ρ 2 = Id sont ρ = Id et ( ) ( ) ( ) a b a 2 b 2 2ab 1 0 ρ = Id. Soit la matrice de ρ. Alors ρ 2 = Id = =, b a 2ab a 2 b d où a 2 = 1 et b = 0, ce qui entraîne ρ = Id ou ρ = Id. Définition: Un angle droit est une classe (u, v) telle que 2(u, v) = P. Proposition 2.6. Dans A, il y a deux angles droits. L angle (u, v) est un angle droit si et seulement si u et v sont orthogonaux. ( ) a b Démonstration. Une rotation ρ de matrice dans une BON, correspond a un angle b a ( ) ( ) a 2 b 2 2ab 1 0 droit ssi ρ ρ = Id, ou encore =, soit a 2 b 2 = 1 et ab = 0. 2ab a 2 b ( ) ( ) Ceci est équivalent à a = 0 et b 2 = 1, ce qui donne, pour la matrice de ρ, ou et un angle droit associé à chaque matrice. Deuxième assertion. = Si (u, v) est un angle droit et (u, u ) une BON, d après ce qu on vient de voir v = u ou v = u, ce qui entraîne u v = 0. ( ) 0 1 = Si u v = 0, la matrice de la rotation ρ telle que ρ(u) = v est dans la base (u, v). 1 0 Cela entraîne ρ 2 = Id et donc (u, v) est un angle droit. Remarque: La définition de l angle orienté de deux vecteurs s étend aux couples de vecteurs non nuls. Si A B, C D, u = AB/AB et v = ( ) CD/CD, on pose AB, CD = (u, v). Bien s assurer avant d écrire ( ) AB, CD que A B et C D Angles orientés de droites. Pour l angle orienté de deux droites il faut identifier un vecteur unitaire et son opposé, car les vecteurs directeur d une droite sont opposés. Pour cela on définit une nouvelle relation d équivalence sur les couples de vecteurs unitaires en posant (u, u )R (v, v ) (u, u )R(v, v ) ou (u, u )R(v, v ), soit (u, u )R (v, v ) (u, u ) (v, v ) = O ou P. D après la proposition 2.5 (u, u ) (v, v ) = O ou P 2 ( (u, u ) (v, v ) ) = O, d où (u, u )R (v, v ) 2 ( (u, u ) (v, v ) ) = O,