PLAN DE COURS. Titre du cours : Calcul 1. Numéro du cours : RE. la 5 e secondaire Programme : Sciences humaines

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1 PLAN DE COURS Titre du cours : Calcul 1 Numéro du cours : RE Préalables : Maths 526, TS ou SN de Pondération : la 5 e secondaire Programme : Sciences humaines Session : Automne 2010 Professeur : Jacques R. Paradis Groupe : 0001 Bureau : E-232 Téléphone : , poste 5950 Courriel : jacques.r.paradis@cegep-ste-foy.qc.ca Site du cours : 1. THÉMATIQUE GÉNÉRALE DU COURS Place du cours dans le programme de Sciences humaines Le calcul différentiel constitue un élément de base du langage mathématique utilisé dans différents domaines de la connaissance. Ce cours obligatoire vise donc à familiariser l élève avec les concepts fondamentaux et les techniques de base du calcul différentiel. Le contenu mathématique y est abordé en privilégiant la compréhension des notions fondamentales impliquées en rapport avec leurs applications pratiques et leurs limites méthodologiques. Le cours Calcul différentiel permettra à l'étudiant de bien saisir la notion de dérivée et d'avoir une bonne vision de son champ d'application, particulièrement dans les différentes disciplines des sciences humaines. D'une façon générale, ce cours vise à : intégrer de nouveaux savoirs aux précédents ; développer les capacités d'analyse et de synthèse de l étudiant ; développer la capacité d'abstraction en faisant ressortir qu'une même structure mathématique peut se retrouver dans différentes situations concrètes; développer la capacité de produire des solutions claires et rigoureuses, notamment en utilisant correctement le langage mathématique ainsi qu'en soignant la présentation et le français ; développer l'aptitude à résoudre des problèmes concrets, c'est-à-dire s'attarder à bien lire un énoncé, le comprendre, l analyser objectivement, le transcrire mathématiquement et enfin, le solutionner et l'interpréter correctement. 1

2 2. COMPÉTENCE ET ÉLÉMENTS DE LA COMPÉTENCE Énoncé de la compétence : Appliquer les méthodes du calcul différentiel à l étude de modèles fonctionnels du domaine des sciences humaines. Éléments de la compétence : Les éléments de la compétence précisent les composantes essentielles de la compétence. Ils décrivent les principales étapes ou les actions que l étudiante ou l étudiant doit réaliser pour démontrer la compétence énoncée. Ces éléments sont formulés avec les critères de performance, les habiletés à développer et les savoirs essentiels sur les pages qui suivent. Élément 1 : Situer le contexte historique du développement du calcul différentiel. Critères de performance 1.1 Connaissance élémentaire du contexte historique du développement du calcul différentiel. 1.2 Utilisation d'une terminologie appropriée. Habiletés à développer Connaître les deux principales approches historiques du calcul différentiel (Newton et Leibniz) Savoirs essentiels a. Connaissance élémentaire du contexte historique de l émergence et du développement du calcul différentiel pour l étude des variations b. Calcul différentiel comme outil de résolution Élément 2 : Reconnaître et décrire les caractéristiques des fonctions algébriques, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, chacune représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique. Critères de performance 2.1 Représentation adéquate d'une situation sous forme de fonctions. 2.2 Représentation graphique adéquate d'une fonction. 2.3 Manipulations algébriques conformes aux règles. 2.4 Utilisation d'une terminologie appropriée. Habiletés à développer Distinguer les constantes des variables dans un contexte donné Établir l équation liant deux variables dans une situation concrète Représenter le graphique d une fonction avec justesse Identifier le domaine d une fonction Rechercher les zéros d une fonction Savoirs essentiels a. Représentation graphique d une fonction b. Fonctions polynomiales, algébriques, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses 2

3 Élément 3 : Analyser le comportement d'une fonction représentée symboliquement ou graphiquement à l'aide de l'approche intuitive du concept de limite. Critères de performance 3.1 Utilisation appropriée des concepts. 3.2 Manipulations algébriques conformes aux règles. 3.3 Choix et application correcte des règles et des techniques. 3.4 Exactitude des calculs. 3.5 Utilisation d'une terminologie appropriée. Habiletés à développer Déterminer la limite d une fonction représentée graphiquement Calculer et interpréter une limite de fonction définie symboliquement Identifier les discontinuités et asymptotes d une fonction Lever les indéterminations dans le calcul d une limite Déterminer l équation d une tangente Savoirs essentiels a. Approche intuitive de la limite b. Approche intuitive de la continuité c. Propriétés des limites d. Asymptotes e. Formes indéterminées Élément 4 : Définir la dérivée d'une fonction, donner son interprétation et appliquer les techniques de dérivation. Critères de performance 4.1 Utilisation appropriée des concepts. 4.2 Manipulations algébriques conformes aux règles. 4.3 Choix et application correcte des règles et des techniques. 4.4 Exactitude des calculs. 4.5 Utilisation d'une terminologie appropriée. Habiletés à développer Choisir et appliquer correctement les règles et les techniques de dérivation Effectuer les manipulations algébriques conformément aux règles Calculer des dérivées secondes Savoirs essentiels a. Interprétation géométrique de la dérivée b. Définition de la dérivée c. Règles de dérivation et techniques usuelles Élément 5 : Analyser les variations d'une fonction en utilisant le calcul différentiel. Critères de performance 5.1 Utilisation appropriée des concepts. 5.2 Représentation graphique adéquate d'une fonction. 5.3 Manipulations algébriques conformes aux règles. 5.4 Exactitude des calculs. 5.5 Interprétation juste des résultats. 5.6 Utilisation d'une terminologie appropriée. Habiletés à développer Déterminer les intervalles de croissance et de concavité d une fonction en utilisant les dérivées première et seconde Étudier une fonction Tracer le graphique d une fonction Savoirs essentiels a. Croissance et décroissance b. Concavité et points d inflexion c. Minimums et maximums relatifs d. Minimums et maximums absolus 3

4 Élément 6 : Résoudre des problèmes de taux de variation et d'optimisation. Critères de performance 6.1 Utilisation appropriée des concepts. 6.2 Représentation adéquate d'une situation sous forme de fonctions. 6.3 Manipulations algébriques conformes aux règles. 6.4 Choix et application correcte des règles et des techniques. 6.5 Exactitude des calculs. 6.6 Justification des étapes de la résolution des problèmes de taux de variation et d'optimisation. 6.7 Interprétation juste des résultats. 6.8 Utilisation d'une terminologie appropriée. Habiletés à développer Appliquer les étapes de résolution de problèmes basée sur la démarche scientifique Utiliser des contextes reliés au domaine des sciences humaines Savoirs essentiels a. Étapes de la démarche scientifique b. Taux de variation c. Optimisation d. Situations concrètes : croissance des populations, coût, revenu, profit, mathématiques financières 4

5 3. ÉCHÉANCIER-CONTENU-HABILETÉS À ATTEINDRE Échéancier pour la session Étape Semaine Matière Ch1 Rappels, fonctions Ch2 Limite, continuité Ch3 Définition de la dérivée Préparation à l examen no 1 EXAMEN Ch4 Dérivée de fonctions algébriques Ch4 Dérivée de fonctions composées Ch4 Dérivées successives de fonctions Ch4 Dérivée d équations implicites Ch5 Taux de variation instantané Préparation à l examen no2 EXAMEN Ch5 Taux de variation liés Ch6 Analyse de fonctions algébriques Préparation à l examen no 3 EXAMEN Ch7 Problèmes d optimisation Ch8 Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques Ch9 Dérivée des fonctions trigonométriques Ch10 Dérivée des fonctions trigonométriques inverses Préparation à l examen no 4 EXAMEN 4 Remarques : Les dates d examens seront précisées une semaine avant ceux-ci; Les semaines mentionnées sont à titre indicatif (approximatif); Le dernier examen aura lieu durant la semaine d examens. 5

6 ÉTAPE 1 (environ 4 semaines) CONTENU Chapitres 1 à 3 Fonctions algébriques Limites Continuité Taux de variation Dérivée HABILETÉS À ATTEINDRE Caractériser et représenter graphiquement les fonctions algébriques de base. Identifier le domaine, les zéros, le signe et l ordonnée à l origine de ces fonctions graphiquement et, pour des cas simples, algébriquement. Énoncer les conditions d existence d une limite et déterminer si une limite existe. Estimer une limite graphiquement et numériquement. Utiliser adéquatement les propriétés des limites. Évaluer une limite algébriquement. Expliquer pourquoi 0/0 est une forme indéterminée et lever cette indétermination. Définir la continuité d'une fonction en un point. Identifier les lieux possibles de discontinuité et vérifier graphiquement et algébriquement s'il y a discontinuité en ces lieux. Déterminer si une fonction est continue sur un intervalle. Calculer la pente d'une droite sécante et relier les notions de vitesse moyenne, de taux de variation moyen et de pente de sécante. Calculer la vitesse instantanée d un mobile à un temps donné et relier les notions de vitesse instantanée, de taux de variation instantané et de pente de tangente. Énoncer et interpréter graphiquement la définition de dérivée en un point. Utiliser la notion de limite pour calculer la dérivée. Faire la distinction entre la dérivée en un point et la fonction dérivée. Calculer la dérivée d une fonction en utilisant la fonction dérivée. Déterminer l équation d une tangente à une courbe. Identifier graphiquement et algébriquement les lieux où une fonction est non dérivable. Illustrer des liens entre la continuité et la dérivabilité. 6

7 ÉTAPE 2 (environ 3 ½ semaines) CONTENU Chapitres 4 et 5 Calcul de dérivée des fonctions algébriques Taux de variation HABILETÉS À ATTEINDRE Énoncer, démontrer et utiliser judicieusement les formules de dérivation suivantes : f ( x) = k, f ( x) = x, f ( x) = u( x) ± v( x), f ( x) = u( x) v( x). n u( x) Utiliser les formules de dérivation suivantes : f ( x) = x et f ( x) =. v( x) Dériver des fonctions algébriques. Utiliser les différentes notations pour la dérivée, en particulier celle de Leibniz. Interpréter le résultat d une dérivée. Déterminer l équation d une tangente à une courbe. Dériver les fonctions composées en utilisant la formule appropriée. Dériver implicitement. Calculer la dérivée seconde et les dérivées d'ordre supérieur. Résoudre des problèmes simples de taux de variation instantané en économie et en distance parcourue. ÉTAPE 3 (environ 4 semaines) CONTENU Chapitres 5 et 6 Taux de variation Analyse des fonctions algébriques Asymptotes et analyse de fonctions HABILETÉS À ATTEINDRE Résoudre des problèmes simples de taux de variation liés. Analyser la croissance, la décroissance et la concavité d'une fonction à partir de la notion de dérivée. Déterminer les extremums relatifs et absolus d'une fonction ainsi que ses points d'inflexion. Utiliser le test de la dérivée seconde pour trouver les extremums relatifs. Faire l'étude complète d'une fonction algébrique continue et tracer son graphique. Associer à un calcul de limite son interprétation graphique. Expliquer pourquoi ± ±, et 0 sont des formes indéterminées et lever ces indéterminations. Expliquer intuitivement les notions d asymptotes verticale et horizontale. Énoncer les définitions d asymptotes verticale et horizontale. Associer à un calcul de limite son interprétation graphique, par exemple : une ordonnée, une asymptote verticale ou une asymptote horizontale. Déterminer les asymptotes verticales et horizontales d'une fonction. Expliquer la notion d asymptote oblique par le biais d exemples simples du type f(x) = (mx + b) + h(x) [facultatif]. Faire l'étude complète d'une fonction algébrique et tracer son graphique. 7

8 ÉTAPE 4 (environ 4 semaines) CONTENU Chapitres 7, 8, 9 et 10 Problèmes d'optimisation Fonctions exponentielles, logarithmiques trigonométriques et trigonométriques inverses. Dérivée des fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses. Application HABILETÉS À ATTEINDRE Résoudre des problèmes d'optimisation faisant intervenir des fonctions algébriques Interpréter justement les résultats. Caractériser et représenter graphiquement les fonctions transcendantes de base. Identifier graphiquement le domaine, les zéros, le signe et l ordonnée à l origine des fonctions transcendantes. Évaluer algébriquement les limites de fonctions transcendantes. sin x Vérifier numériquement que lim = 1 [facultatif : évaluation des x 0 x limites faisant intervenir ce résultat]. Démontrer certaines formules de dérivation des fonctions transcendantes. Dériver les fonctions transcendantes [facultatif : dérivée des fonctions arccot, arcsec et arccosec]. Utiliser judicieusement les formules de dérivation des fonctions transcendantes. Résoudre des problèmes simples de taux liés et d optimisation impliquant la dérivée de fonctions transcendantes.. 8

9 4. MÉTHODOLOGIE - Les cours seront structurés de façon à favoriser la présence des étudiants. L étudiant a la responsabilité d être présent, ponctuel, de participer avec intérêt aux cours, aux laboratoires ou autres activités d apprentissage avec le matériel nécessaire, de se conformer aux règles départementales prévues à cet effet. - S il arrive que l étudiant arrive en retard ou manque un cours, la responsabilité lui incombe de se renseigner auprès des autres élèves de toute information pertinente donnée au cours. - En général, les cours suivront la séquence qui suit : au début du cours, une courte période permettra un retour sur la dernière rencontre en répondant aux questions des étudiants qui concernent soit la théorie, soit les exercices proposés dont la solution ne se trouve pas le corrigé du volume. Ensuite, une nouvelle matière sera présentée de façon magistrale; au cours de cet exposé, des exemples seront apportés par l enseignant et des exercices seront complétés par les étudiants. - Lors des périodes d exercices, après avoir répondu à la question d un étudiant, l enseignant pourra demander à cet étudiant d expliquer la solution à son voisin si ce dernier avait levé la main pour poser la même question. S il reste des interrogations après l échange entre les deux étudiants, l enseignant reviendra compléter les explications auprès de ces deux étudiants. - Certaines périodes seront réservées à des séances de travaux d'équipe qui amèneront les étudiants à approfondir les concepts vus en classe. Les équipes devront être composées de deux personnes. - Il est souhaitable que l étudiant fasse tous les exercices proposés en vue de bien assimiler les notions vues en classe. Ces exercices lui feront développer l habileté à utiliser les concepts vus et à écrire correctement la solution. C est à partir de ce travail que le professeur pourra guider l élève dans son apprentissage. - Les exercices suggérés par le professeur ne seront pas tous contrôlés systématiquement, mais on suppose toujours qu ils ont été faits. Par ailleurs, à la fin de chaque cours, le professeur indiquera les exercices qui permettront d acquérir les habiletés relatives à ce cours. - L étudiant a la responsabilité de demander des explications supplémentaires durant les cours et périodes de laboratoire; il lui est également possible de rencontrer son professeur à son bureau. 9

10 5. ACTIVITÉS D ÉVALUATION ET CRITÈRES DE PERFORMANCE 5.1. ACTIVITÉS D ÉVALUATION FORMATIVE À des moments jugés opportuns, certaines périodes seront utilisées pour faire des exercices dirigés, pour réaliser des travaux, pour faire un retour sur diverses notions, pour corriger certaines erreurs, pour effectuer des liens entre les diverses parties du cours et pour supervisé le travail des étudiants. De plus, le professeur élaborera au tableau les solutions détaillées de certains exercices. Certains travaux d équipe (deux personnes) seront corrigés et évalués et ils compteront pour un maximum de 10 % de la note de l examen de l étape. Un élève absent lors d un travail se verra attribuer la note «0» pour ce travail, quelle que soit la raison de son absence. Un travail sur les tracés de courbes sera réalisé à la 3 e étape et comptera pour 15% de la note du troisième examen. À la fin de chaque étape, une période sera réservée en vue de préparer l examen. Toutes ces interventions seront faites dans le but d aider l élève à connaître ses points forts, corriger ses lacunes et atteindre les habiletés liées à la compétence du cours ACTIVITÉS D ÉVALUATION SOMMATIVE Le semestre est divisé en quatre étapes et chacune d elle est évaluée par un examen sommatif. Les dates approximatives pour les examens sont : à la quatrième, à la huitième, à la douzième et durant la semaine d évaluation prévue dans le calendrier scolaire. La date précise d un examen sera annoncée au plus tard une semaine avant celui-ci. Il n'y a pas d'examen synthèse à la fin du semestre. Dans le calcul de la note finale, le premier examen comptera pour 20 %, le deuxième pour 25 %, le troisième pour 30 % et le quatrième pour 25 %. Étape 1 Chapitres 1, 2 et 3 20 points Étape 2 Chapitres 4 et 5 25 points Étape 3 Chapitres 6, 7 et 8 30 points Étape 4 Chapitres 9, 10 et points Total 100 points 10

11 Les activités d évaluation sommatives sont régies par les modalités suivantes : - Les apprentissages reliés aux notions vues en classe, même si ces dernières sont absentes du manuel utilisé, sont sujets à évaluation ; - Une attention particulière sera apportée aux solutions complètes et rigoureuses dans la correction d un examen. Une réponse seule, c est-à-dire sans élément permettant de suivre la démarche, pourra ne pas être considérée ; - Si un imprévu fait en sorte qu un examen ne puisse avoir lieu à la date fixée, alors celui-ci est automatiquement reporté à la rencontre suivante ; - Un étudiant absent à un examen doit en aviser le plus tôt possible son professeur en lui faisant parvenir un courriel ou en laissant un message dans sa boîte vocale. Son absence devra être motivée par une raison très sérieuse, sans quoi il obtiendra la note zéro. Dans le cas d une absence motivée, l étudiant devra faire un examen compensateur. Il devra rencontrer son professeur le plus tôt possible afin de fixer les modalités de son examen compensateur. - L usage d une calculatrice non programmable sera permis. Toute calculatrice qui peut enregistrer de l information sera interdite lors d un examen ; Correction et notes : - Après chacun des trois premiers examens, le professeur remettra à l étudiant sa copie d examen corrigée et notée, dans les meilleurs délais. Après avoir pris connaissance de sa copie, l étudiant la remet à son professeur et lui signale, s il y a lieu, toute erreur de correction. Si l étudiant souhaite que sa situation soit soumise au comité de révision de notes à la fin de la session, il devra en faire mention afin que le professeur l indique par écrit sur sa copie d examen. Dans tous les cas, l étudiant devra remettre sa copie au professeur avant la fin de la rencontre. - Après le quatrième examen, le professeur conserve la copie corrigée et informe l étudiant de la note accordée par le biais du système Omnivox. L étudiant pourra prendre connaissance de son examen en se présentant au bureau du professeur au moment qui lui sera désigné. Si l étudiant demande une révision de notes, il doit s adresser à la Direction des études et suivre la procédure prévue dans ce cas CRITÈRES DE PERFORMANCE - Connaissance élémentaire du contexte historique du développement du calcul différentiel ; - Utilisation appropriée des concepts; - Représentation adéquate d une situation sous forme d une fonction; - Représentation graphique adéquate d une fonction; - Choix et à l application correcte des règles et techniques; - Manipulations algébriques conformes aux règles; - Exactitude des calculs; - Interprétation juste des résultats; - Justification des étapes de la résolution de problèmes; - Utilisation d une terminologie appropriée. 11

12 6. DISPONIBILITÉ Un horaire de disponibilité est affiché sur le babillard près de mon bureau à la coordination, local E-232. Si ces heures ne vous conviennent pas, n hésitez pas à venir m en parler pour prendre un rendez-vous à un autre moment. 7. MÉDIAGRAPHIE Volume obligatoire (en vente à la COOP) : CHARRON, Gilles et PARENT, Pierre, Calcul différentiel, 6 e édition, Les Éditions Études Vivantes, Carton d entente (en vente à la COOP) : numéro 201-, coût : $ Volumes de référence : BRADLEY et alt., Calcul différentiel, Éditions du Renouveau pédagogique, Saint- Laurent, FRADETTE, Jean, Calcul différentiel, Les éditions CEC inc, Anjou, HUGUES-HALLETT, Deborah, M.GLEASON, Andrew, Calcul différentiel, Les éditions Chenelière/McGraw-Hill, Montréal, HAMEL, Josée et AMYOTTE, Luc, Calcul différentiel, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., 2007 OUELLET, Gilles, Calcul 1, 4 e édition, Les éditions Le Griffon d argile, Québec, POLITIQUE D ÉVALUATION DES APPRENTISSAGES DU DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES (SECTION 5 DES STATUTS ET RÈGLEMENTS) 5.1 Généralités La présente politique a pour but d évaluer objectivement et équitablement les étudiants du Cégep inscrits à des cours de mathématiques Cette politique se veut en conformité avec la Politique d Évaluation des Apprentissages du Cégep (P.E.A.). En cas d ambiguïté, la Politique d Évaluation des Apprentissages du Cégep a préséance. 5.2 Évaluations Pour chacun des cours de mathématiques, le ou les professeurs concernés établissent le mode d évaluation prévu pour ce cours et ceci est consigné dans le plan de cours remis au département au début de la session Le professeur explique aux étudiants, dès le début de la session, le mode d évaluation prévu pour le cours. 12

13 5.2.3 Si un étudiant est absent lors d un travail à compléter en classe, il se verra accorder la note de 0 pour ce travail Si un étudiant n est pas en mesure de remettre un travail à temps, la politique du collège sur la remise des travaux s applique (P.E.A. article ) Si un étudiant ne se présente pas à un examen pour une raison sérieuse, un examen compensateur peut lui être accordé. Un examen compensateur est un simple déplacement dans le temps Pour tenir compte de certaines situations exceptionnelles, le professeur peut modifier le mode d évaluation prévu au cours ou prévoir une activité d évaluation complémentaire L étudiant a la responsabilité d utiliser les moyens mis à sa disposition pour faire valoir ses droits s il se croit lésé dans sa démarche d apprentissage. 5.3 Notes La note finale attribuée à un étudiant provient de l ensemble des résultats cumulés pour chacun des travaux et examens selon les pondérations prévues au plan de cours Un maximum de 10% de la note finale peut être accordé pour la participation au cours et aux activités d évaluation formative (P.E.A. article 6.1.8) Dans le calcul de la note finale, tous les résultats partiels de travaux et d examens doivent être inclus, c est-à-dire qu une note moyenne ou une proportionnalité quelconque ne peut remplacer un «0» attribué pour un travail ou un examen. Exemple : si un étudiant a fait trois des quatre examens prévus au mode d évaluation avec les résultats suivants : 60, 70 et 70, sa note finale sera = En cas de plagiat ou de fraude, la politique d évaluation du collège s applique (P.E.A. article ) Si l étudiant désire faire réviser une note, il doit suivre la procédure prévue à cet effet (P.E.A. article et 6.5.2) Les professeurs doivent conserver les copies des examens dont la note a été contestée en cours de session ainsi que les copies du dernier examen jusqu à l expiration du délai fixé par le Collège pour la révision de notes. 13

14 5.4 Français écrit Le professeur signale sur les copies les erreurs de langue, notamment en ce qui concerne l orthographe d usage, l orthographe grammaticale et la construction de phrase Dans les évaluations sommatives, le professeur soustrait 0,5% pour chaque erreur de langue, jusqu à concurrence de 10% de la note. (P.E.A. article 6.1.9) 5.5 Présentation des travaux et des examens Tout travail et tout examen doit être présenté soigneusement (ordre, propreté, clarté) Dans tous les travaux et les examens, des solutions complètes et bien présentées sont exigées Dans tous les travaux et les examens, la notation mathématique doit être respectée. 5.6 Présence aux cours Les professeurs de mathématiques considèrent essentielle la présence des étudiants à toutes les heures de cours. L étudiant a la responsabilité d assister aux cours. S il arrive qu il s absente, la responsabilité lui incombe d obtenir des autres étudiants toute information donnée durant ce cours L étudiant qui s absente au-delà d une proportion d heures de 15% d un cours est passible d un échec. Lors de l analyse de la situation, le professeur peut tenir compte de circonstances particulières pour prendre sa décision. (P.E.A. article ). BON TRAVAIL ET BONNE SESSION! Date : Professeur : Coordonnateur : 14