Chapitre 1 - Estimation

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1 Un exemple Un industriel produit en très grand nombre des yaourts, pour lesquels l'usinage doit respecter des normes sanitaires draconiennes. À la suite de mauvais réglages de l'une des machines, l'industriel a produit 1 million de ces yaourts, dont beaucoup risquent ainsi de présenter des dangers pour le consommateur. Il souhaite connaître la proportion de yaourts susceptibles de rendre malade un client, afin de savoir s'il doit détruire sa production, ce qui représentera un fort manque à gagner, ou s'il peut malgré tout courir le risque de quelques gênes isolées dans la population, sans craindre de campagne médiatique mettant en cause ses yaourts, ce qui lui causerait un préjudice encore plus grand. Il est ainsi prêt à détruire son stock ainsi produit si la proportion de yaourts dangereux pour la santé dépasse les 0,01% de sa production. Il n'est bien entendu pas question d'analyser tous les yaourts produits : cela reviendrait encore plus cher, et de toutes façons, il faudrait ouvrir les yaourts, ce qui les rendrait invendables. Comment cet industriel peut-il procéder? Il décide d'effectuer un sondage, c'est à dire de prélever par exemple 100 yaourts, de les faire analyser, et de relever la proportion de yaourts contaminés dans cet échantillon. Il obtient le résultat suivant : dans l'échantillon prélevé (au hasard) parmi les yaourts produits, on en a trouvé qui contenaient des germes. Quelles conclusions notre industriel peut-il en tirer? Avant de répondre à cette question, il peut être utile de se poser les questions suivantes : 1. Aurait-on obtenu le même pourcentage en prélevant un autre échantillon?. L'analyse de 100 yaourts sur le million produit est-elle suffisante? 3. Quelle confiance peut-on accorder au fait que l'analyse d'un échantillon de 100 yaourts ait conduit à une proportion de % de produits contaminés? 4. Comment aurait-on pu gagner en fiabilité? - 1 -

2 Cours La théorie de l'estimation a été développée au début du XX e siècle par deux mathématiciens, Ronald Aylmer Fischer ( ) et William Sealy Gosset alias Student ( ) dont les travaux avaient pour but l'amélioration de la qualité de la production de la célèbre brasserie Guiness. L'objectif de ce chapitre est de répondre à la problématique suivante : comment, à partir d'informations (couple moyenne/écart-type ou proportion) calculées sur un échantillon, retrouver ou plutôt estimer celles d'une population entière? Nous distinguerons deux cas : celui où l'on cherche à estimer la moyenne µ d'une variable aléatoire définie sur une population et celui où l'on cherche à estimer la proportion d'individus p ayant tel caractère dans la population. I Estimation ponctuelle 1. Moyenne Propriété : La valeur moyenne µ e d'un paramètre observé sur un échantillon de population, dont la taille est fixée, fournit une estimation de la moyenne réelle µ de ce paramètre sur la population considérée. Une usine produit des vis cruciformes. On souhaite estimer la moyenne des longueurs des dans la production de la journée qui s'élève à 1000 pièces. On choisit un échantillon de 150 vis et on obtient une moyenne de µ e = 4,57 cm. On en déduit donc que la longueur moyenne des vis de la production journalière est = 4,57 cm.. Fréquence ou proportion Propriété : La proportion d'un paramètre observé p e sur un échantillon de population, dont la taille est fixée, fournit une estimation p de la fréquence réelle p d'apparition de ce paramètre dans la population considérée. Dans l'exemple précédent, on prélève un échantillon de 150 vis et on relève 3 pièces défectueuses. On peut alors donner une estimation de la proportion de vis défectueuses dans la production journalière : On a p e = 3 =0,0 donc p = 0,

3 3. Variance, écart type Par analogie avec les paragraphes précédents, nous sommes tentés de choisir e au hasard comme estimation ponctuelle de la variance inconnue. Prenons l'exemple du lancer d'un dé équilibré : en théorie d'un échantillon prélevé à l'aide de la simulation de plusieurs échantillons ( Annexe 1) simulations téléchargeables sur le blog Propriété : La variance e d'un paramètre observée sur un échantillon de taille n fournit une estimation faussée de la variance de ce paramètre dans toute la population considérée. Une meilleure estimation de la variance est obtenue en considérant = n n 1 e où n est la taille de l'échantillon. La mesure de la longueur des vis produites dans l'échantillon précédent de 150 pièces conduit à relever un écart-type de 3 mm. La meilleure estimation possible de l'écart-type de la production journalière n'est pas de 3 mm comme dans le cas précédent pour la moyenne, mais de = ,01 mm. 149 Remarque : Plus la taille de l'échantillon augmente, plus la correction devient minime car lim n n n 1 =

4 II Estimation par intervalle de confiance d'un paramètre Les estimations ponctuelles proposées ci-dessus dépendent directement de l échantillon prélevé au hasard. Dans de très nombreux cas, l importance attribuée au hasard est grande, cela conduit à s interroger avant d utiliser ces estimations pour prendre des décisions dont les conséquences peuvent être lourdes! Aussi, sans rejeter les informations fournies par l étude d un échantillon, est-on amené à chercher un nouveau type d estimation de la fréquence et de la moyenne d une population, en utilisant le calcul de probabilités qui permet de «contrôler» l influence d un échantillon particulier. 1. Moyenne Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). 1. Déterminer le réel a tel que P a X a =0,99. Déterminer le réel a tel que P a X a =0,95 Revenons à notre problème. On souhaite, à partir d'observations faites sur un échantillon, mettre en œuvre une méthode permettant d'obtenir des intervalles qui, dans un grand pourcentage de cas choisi à l'avance, par exemple 95% ou 99%, contiennent la moyenne inconnue m de la population. On note X la variable aléatoire qui à chacun des échantillons de taille n associe la moyenne de cet échantillon. Supposons que les conditions sont réunies pour pouvoir utiliser une conséquence du théorème de la limite centrée et faire l'approximation suivante : La variable aléatoire X suit la loi normale N m; n On pose T = On se fixe une grande probabilité, par exemple 0,95, et on détermine dans quel intervalle se trouve T avec une probabilité 0,95 : - 4 -

5 Remarques : Avec d'autres échantillons de même effectif, on obtiendrait de nouveaux intervalles de confiance de cette moyenne avec le même coefficient de confiance (Annexe ) mais la méthode mise en œuvre permet d'obtenir un intervalle contenant m dans 95 cas sur 100. Nous pouvons reprendre tous les calculs effectués précédemment en remplaçant 1,96 par le nombre t tel que le coefficient de confiance soit égal à t 1. Définition : L'intervalle [ x t n ; x t ] est l'intervalle de confiance de la moyenne m de la population avec le n coefficient de confiance t 1=1 (ou avec le risque ). Remarques : Les valeurs fréquentes du niveau de confiance sont 0,99 et 0,95. Pour ces deux valeurs, on obtient successivement t =,575 et t = 1,96. Pour calculer les extrémités de cet intervalle de confiance, nous avons besoin de connaître en particulier l'écart-type de la population. Dans certains cas, notamment lorsque l'effectif n de l'échantillon est grand, on peut prendre pour valeur de son estimation ponctuelle définie au paragraphe précédent. Pour estimer la porosité d'un certain matériau, on a fait 40 mesures et calculé m = 94 et s² = 4. Déterminer l intervalle de confiance au risque 5 % de l estimation de la porosité moyenne de ce matériau.. Fréquence Nous allons mettre en place une méthode d'estimation analogue à la précédente pour introduire la notion d'intervalle de confiance d'une fréquence (ou proportion). A l'aide d'un échantillon, nous allons définir, avec un coefficient de confiance choisi à l'avance, un intervalle de confiance de la fréquence p de la population possédant une certaine propriété. Soit F la variable aléatoire qui, à chacun des échantillons de taille n, associe la proportion de personnes possédant une certaine propriété. F est une variable aléatoire et, pour n suffisamment grand, on peut p 1 p considérer qu'elle suit une loi normale N(p ; ). n Avant de prélever l'échantillon, à quel intervalle appartient F avec une probabilité de 0,95? - 5 -

6 Après le tirage de l'échantillon, dans quel intervalle se trouve p avec un niveau de confiance 95%? Définition : L'intervalle [ f t f 1 f ; f t n 1 f 1 f ] est l'intervalle de confiance d'une fréquence p de la n 1 population avec le coefficient de confiance t 1=1. Un sondage dans une commune révèle que sur les 500 personnes interrogées, 4% sont mécontentes de l'organisation des transports. On veut déterminer, au seuil de risque 1%, un intervalle de confiance du pourcentage réel p de personnes mécontentes dans la commune

7 Annexe1 6 Annexes Variance observée pour plusieurs 5-échantillons Numéro de l'échantillon Variance observée pour plusieurs 10-échantillons Annexe numéro de l'échantillon Intervalles de confiance obtenu à l'aide de la simulation de plusieurs échantillons numéro de l'échantillon - 7 -