Fonctions numériques de deux variables réelles

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1 Fonctions numériques de deux variables réelles ) DISTANCE SUR ) Déinition On appelle distance euclidienne sur l application d : x x d x x x x (,, ', ' ) (,, ', ' ) ' ' Elle vériie les propriétés suivantes : a) u, v d u, v u v ) (propriété de séparation) ( b) u, v d u, v d v, u c) u, v, w d u, w d u, v d v, w (propriété de smétrie) (inégalité triangulaire) ) Disques Soient u un élément de et r un réel strictement positi On appelle disque ouvert de centre u et de raon r B u, r v tel que d u, v r L ensemble On appelle disque ermé de centre u et de raon r l ensemble B u, r v tel que d u, v r 3) Parties ouvertes, ermées, bornées. a) Parties ouvertes ou ouverts de Déinition : Une partie O non vide de est ouverte si chacun de ses points est centre d un disque ouvert contenu dans O. L ensemble vide est supposé une partie ouverte de O O u O ru tel que Bu, ru O ouvert de signiie: ou Remarque : On peut «interpréter» un ouvert comme une partie de «sans bord» Exemples Tout disque ouvert de est une partie ouverte (ou est un ouvert) de L ensemble est un ouvert de L ensemble E / x est un ouvert de L ensemble F / est un ouvert de L ensemble G / x est un ouvert de

2 Rappel : Toute droite du plan partage le plan en deux demi plans b) Parties ermées ou ermés de. Déinition : Une partie F de est ermée si son complémentaire dans est ouvert. Exemples : Les ensembles et sont des ermés de Tout disque ermé est un ermé de. c) Parties bornées de Déinition : Une partie A de est bornée s il existe un disque de Donc A est une partie bornée de signiie : a r a contenant A. tel que A B a r, a Exemple : Tout disque de est une partie bornée de

3 ) CONTINUITE D UNE FONCTION DE DANS Dans cette partie on suppose que l on dispose d une onction : D de. u x, un point de D Soit déinie sur une partie ) Déinitions Une onction réelle de deux variables réelles déinie sur D est continue en un pointu x, de D si :, r, D, d, x, x, On dit que la onction est continue sur D si est continue en tout point de D Exemples : Les onctions coordonnées x et sont continues sur ) Opérations sur les onctions continues Les opérations sur les onctions continues sont analogues à celles vues pour les onctions à une variable réelle. La somme, le produit, le quotient (quand le dénominateur est non nul) de deux onctions de deux variables continues sur D est une onction continue sur D Exemples : Les onctions aines de deux variables sont continues sur Une onction : est une onction aine de deux variables s il existe trois réels abet, c tels que, ax b c Les onctions polnômes du second degré de deux variables sont continues sur Une onction : est une onction polnôme du second degré de deux variables s il existe trois réels abet, c non tous nuls et trois réels deet, tels que, ax b cx dx e Composition : Soient D une partie de et I un intervalle de Si : continue sur D et : onction est continue sur D continue sur I telle que D I, alors la 3

4 3) Théorème Toute onction continue sur une partie D ermée et bornée de est bornée et atteint ses bornes sur cette partie : c est-à-dire Il existe u D telle que u Min et il existe v D telle que v Max. Remarque : D D D, on a u et v : u (ou absolu) de la onction sur D et v est donc un maximum global (ou absolu) de la onction sur D est donc un minimum global 4

5 3) CALCUL DIFFERENTIEL D ORDRE ) Fonctions partielles déinie sur un ouvert O de u x, un point de O. Soit Les onctions partielles de en u sont déinies par : : ET x ) Dérivées partielles d ordre déinie sur un ouvert O de u x, un point de O Soit 5 :. x, a) Déinitions On dit que admet une dérivée partielle par rapport à la première variable x en u x, si,, x x x x Le quotient = x x x x ou si x h, x h x Le quotient admet une limite inie quand h h h tend vers Cette limite inie est notée x,. admet une limite inie quand x tend vers x De même on dit que admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable u x, si en x, x, Le quotient ou si =,, admet une limite inie quand tend vers x k x k Le quotient admet une limite inie quand k k k tend vers Cette limite inie est notée x, Si admet des dérivées partielles par rapport à x et à en tout point de O, on peut déinir sur O les applications : x, appelée dérivée partielle de par rapport à x et notée La onction ET La onction x, notée appelée dérivée partielle de par rapport à et Ces deux dérivées partielles sont appelées dérivées partielles d ordre de

6 b) Fonctions de classe C déinie sur un ouvert O de Si et existent en tout point de O et sont continues sur O, on dit que est de classe C sur O. Remarque : Si est de classe C sur O alors est continue sur O. (réciproque ausse!) L existence de dérivées partielles n entraîne pas la continuité de c) Opérations sur oncions de classe Si et g sont de classe C sur un ouvert O alors, g,. g C sont de classe C sur O et g est de classe C sur O si g ne s annule pas sur O. d) Gradient d une onction en un point déinie sur un ouvert O de Si et existent en tout point de O, on appelle gradient de en tout point xdeo, la matrice colonne à deux lignes L opérateur nabla noté vient de la lettre grecque majuscule delta (nom donné par Peter Guthrie Tait (83-9) phsicien et mathématicien écossais ) e) Développement limité d ordre de classe C sur un ouvert O de O, hk, tel que x h, k O h x h k x x h k h k k où, et continue en,,, t,., Le développement limité d ordre est unique 6

7 4) CALCUL DIFFERENTIEL D ORDRE ) Dérivées partielles d ordre qui admet des dérivées partielles d ordre sur un ouvert O de Supposons que admet des dérivées partielles sur O, celles ci sont notées : ET,, Supposons que admet des dérivées partielles sur O, celles ci sont notées : ET,, On dit que est de classe continues sur O. Une onction de classe C sur O si la onction admet sur O des dérivées partielles d ordre C sur O est de classe C suro ) Opérations sur les onctions de classe C Si et g sont de classe C sur un ouvert O alors, g,. g sont de classe C sur O et g est de classe C sur O si g ne s annule pas sur O. 3) Théorème de SCHWARZ Si est une onction de classe C sur un ouvert O de O,,, alors Hermann Amandus Schwarz (843-9) mathématicien allemand 4) Matrice Hessienne déinie sur un ouvert O de Si la onction admet des dérivées partielles d ordre en tout point de O, on appelle matrice hessienne de gradient de en tout point xdeo, la matrice carrée d ordre,,,, Le terme «hessien» a été introduit par James Joseph Slvester (84-897) mathématicien anglais, en hommage au mathématicien allemand Ludwig Otto Hesse (8-874 ) 7

8 Remarque importante : Si est une onction de classe point xde, C sur un ouvert O de est smétrique réelle donc diagonalisable alors sa matrice hessienne en tout 5) Développement limité d ordre de classe C sur un ouvert O de O, hk, tel que x h, k O t h h x h k x x h k x h k h k k k où, et continue en,,,,..,., Le développement limité d ordre est unique 8

9 5) RECHERCHE D EXTREMA ) Déinitions déinie sur un ouvert O de.soit u On dit que présente un maximum absolu ou global en u si O On dit que présente un maximum relati ou local en u ouverte Bu, r O telle que Bu, r On dit que admet un extremum global en u un minimum global en u x, On dit que admet un extremum local en u minimum local en u x, un point de O. s il existe une boule si elle admet un maximum global ou si elle admet un maximum local ou un ) Théorème : condition nécessaire d extremum Si une onction de classe C sur un ouvert O de u O, alors admet un extremum local en Donc Si admet un extremum local en un point de O, alors ses dérivées partielles sont nulles en ce point. Un point u x, tel que x x x, et, est appelé point critique de 3) Théorème : condition suisante d extremum de classe C sur un ouvert O de. Siu pointu u x, est un point critique de et les valeurs propres de la matrice hessienne de au sont strictement positives alors la onction admet un minimum local en Siu pointu u x, est un point critique de et les valeurs propres de la matrice hessienne de au sont strictement négatives alors la onction admet un maximum local en 9

10 4) Point col (ou point selle) de classe C sur un ouvert O de. Siu pointu d extremum local en u x, est un point critique de et les valeurs propres de la matrice hessienne de au Le point u x, sont non nulles et de signe opposés alors la onction n admet pas est un point col ou selle de la onction Remarque : u x, est un point critique de et si l une des valeurs propres de la matrice Si hessienne de au point u x, est nulle alors on ne peut conclure!