Université Claude Bernard - Lyon 1 Semestre d automne Partie CCP - Devoir numéro 5

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1 Université Claude Bernard - Lyon Semestre d automne Math III - PMI Durée : heure et 30 minutes Partie CCP - Devoir numéro 5 Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction ; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle Notations : Dans tout le texte E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie n > On note Id l endomorphisme identité de E, M n (R le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n Si E et E 2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c est-à-dire E E E 2, on appelle projecteur sur E parallèlement à E 2 l endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant comme x x + x 2, avec (x, x 2 E E 2, associe le vecteur x On rappelle que si A est une matrice de M n (R, la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(a De même, si u est un endomorphisme de E, l exponentielle de u est l endomorphisme : A k Les trois parties sont indépendantes exp(u u k I Questions préliminaires ( ( 0 On considère les matrices A et B 0 Calculer les matrices exp(a, exp(b, exp(aexp(b et exp(a + B (Pour exp(a + B, on donnera la réponse en utilisant les fonctions sh et ch, en admettant que x R, x 2k+ + sh(x (2k +! et ch(x x 2k (2 2 Rappeler, sans démonstration, une condition suffisante pour que deux matrices A et B de M n (R vérifient l égalité exp(a + B exp(aexp(b II Un calcul d exponentielle de matrice à l aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable Soit A M n (R une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont λ < λ 2 < < λ r, où r désigne un entier vérifiant r n 3 Polynôme interpolateur de Lagrange : on note R r [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r On considère l application linéaire φ de R r [X] dans R r définie par : P (P (λ, P (λ 2,, P (λ r Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu il existe un unique polynôme L de R r [X] tel que pour tout i {,, r}, L(λ i e λi

2 4 Pour i {,, r}, on définit le polynôme l i de R r [X] par : l i (X X λ k (a Calculer l i (λ j selon les valeurs de i et j dans {,, r} (b En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes l i avec i {,, r} 5 Une propriété de l exponentielle : soit P une matrice inversible de M n (R et D une matrice de M n (R (a Justifier que l endomorphisme de M n (R défini par M P MP est une application continue (b En déduire que : exp(p DP P exp(dp (On pourra revenir à la définition de l exponentielle ainsi que de la convergence d une série 6 Déduire des questions 3 et 5 que exp(a L(A 7 On suppose que E est muni d une base B et on désigne par v l endomorphisme de E dont la matrice par rapport à B est A Soit λ une valeur propre de v, et x un vecteur propre associé Démontrer que pour tout polynôme P R[X], on a : P (v(x P (λx 8 Soit i {,, r}, on note E i Ker(v λ i Id le sous-espace propre de v associé à λ i (a Démontrer que l endomorphisme de E, p i l i (v est le projecteur sur E i, parallèlement à dit que les p i sont les projecteurs spectraux de v r E k (on (b En déduire une expression de exp(a comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs III Un calcul d exponentielle de matrice à l aide des projecteurs spectraux Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme minimal est (X 2 (X 2 9 L endomorphisme u est-il diagonalisable? Justifier avec précision la réponse 0 Donner, en expliquant pourquoi, un exemple de matrice triangulaire de M 3 (R dont l endomorphisme canoniquement associé a pour polynôme minimal (X 2 (X 2 Démontrer, sans aucun calcul, que E Ker((u Id 2 Ker(u 2 Id 2 On considère les endomorphismes de E : p (u Id 2 et q u (2 Id u Calculer p + q 3 Démontrer que l endomorphisme p est le projecteur sur Ker(u 2 Id parallèlement à Ker((u Id 2 Que dire de l endomorphisme q? 4 Soit x un élément de E (a Préciser l élément (u 2 Id(p(x (b Déterminer un nombre réel α tel que pour tout k N, u k p α k p (c Montrer que exp(u p βp, où β est un réel à déterminer 5 Que vaut, pour tout entier k 2, (u Id k q? Démontrer que exp(u q γu q, où γ est un réel à déterminer (on pourra décomposer u sous la forme u Id +(u Id afin d exprimer exp(u sous la forme exp(u exp(id +(u Id 6 Écrire enfin l endomorphisme exp(u comme un polynôme en u 2

3 I Questions préliminaires On a A 2 De même, B 2 Correction du Devoir Surveillé 5 - partie CCP ( donc pour tout k 2, A k exp(a A k (, donc on en déduit aussi ( Par suite, A 0 + A I 2 + A exp(b I 2 + B ( 0 ( 0 ( ( ( 0 2 On calcule exp(aexp(b 0 Attention, puisque AB BA, on ne peut pas calculer exp(a + B avec la formule exp(aexp(b On revient donc à la définition en calculant les puissances de A + B De même, on ne calcule pas ces puissances à l aide du binôme de Newton puisque A et B ne commutent pas On a ( ( 0 A + B donc (A + B 2 0 I Par une récurrence immédiate, on en déduit que pour tout p N, on a (A+B 2p I 2 et (A+B 2p+ A+B Ainsi, exp(a + B (A + B k ( + I 2 + (2p! p0 ( ch( sh( sh( ch( p0 ( + (A + B 2p p0 (2p! + (2p +! p0 A 2p+ (2p +! car les deux séries convergent (A + B ch(i 2 + sh((a + B 2 Une condition suffisante pour que la formule soit valable est que A et B commutent II Un calcul d exponentielle de matrice à l aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable 3 Soit P R r [X] On a P Ker(φ (P (λ,, P (λ r 0 R r i {,, r}, P (λ i 0 i {,, r}, λ i est racine de P Or P est de degré r, et à coefficients réels Puisque R est un corps, si P non nul, il admet au plus r racines, donc on en déduit que P est le polynôme nul Réciproquement, si P 0 R[X], on a clairement P Ker(φ Ainsi, Ker(φ {0 R[X] } Puisque Ker(φ {0 R[X] }, φ est injective De plus, φ est une application linéaire de R r [X] dans R r, et dim R r [X] r dim R r, donc φ est bijective Ainsi, pour tout y R r, il existe un unique P R r [X] tel que φ(p y Comme (e λ,, e λr R r, on en déduit qu il existe un unique L R r [X] tel que i {,, r}, L(λ i e λi 3

4 4 (a Soient i, j {,, r} Si i j, on a et si i j, on a l i (λ j l i (λ j λ j λ k λ j λ j λ i λ j,,k j λ j λ k 0 Ainsi, l i (λ j δ i,j (b Le polynôme Q e λi l i (X est un polynôme de degré inférieur ou égal à r vérifiant pour tout i j {,, r}, Q(λ j L e λi l i (X i e λi l i (λ j e λj l j (λ j e λj Ainsi, par unicité du polynôme L, on trouve i 5 (a Notons ϕ : M M n (R P MP Alors ϕ est une application linéaire de M n (R dans M n (R En effet, pour tous M, M 2 M n (R, pour tout λ R, on a ϕ(λm + M 2 P (λm + M 2 P λp M P + P M 2 P λϕ(m + ϕ(m 2 De plus, M n (R est de dimension finie, donc ϕ est une application linéaire continue (b On a exp(p DP lim N + P ϕ ( (P DP k ( N Dk P lim N N + Dk ϕ(exp(d P exp(dp P Dk P lim lim ϕ N + N + ( N par continuité de ϕ N P Dk P Dk 6 Puisque la matrice A est diagonalisable, il existe une matrice P GL n (R tel que A P DP où D diag(λ,, λ, λ 2,, λ 2,, λ r,, λ r est une matrice diagonale dans laquelle chaque λ i apparaît autant de fois que la multiplicité de λ i (pour tout i {,, r} On obient alors exp(a P exp(dp d après la question 5 P diag(e λ,, e λ,, e λr,, e λr P P diag(l(λ,, L(λ,, L(λ r,, L(λ r P P L(DP L(P DP L(A 7 Puisque x est un vecteur propre de v associé à λ, on a v(x λx On montre par une récurrence immédiate que pour tout k N, v k (x λ k x Ainsi, si P R[X], on peut l écrire sous la forme P a k X k avec d N, a k R pour tout k {0,, d} On a alors P (v a k λ k x P (λx 4 a k v k, et ainsi P (v(x a k v k (x

5 8 (a Puisque A est diagonalisable, on a E sous la forme x r E k Soit x E, on peut décomposer x de manière unique x k où x k E k Ker(v λ k Id Soit i {,, r}, on trouve ( p i (x l i (v(x l i (v x k l i (v(x k Or si x k 0, x k est un vecteur propre de v associé à la valeur propre λ k, et d après la question précédente, l i (v(x k l i (λ k x k, et si x k 0, par linéarité de l i (v, l i (v(x k 0 l i (λ k x k D où p i (x l i (λ k x k Ainsi, p i est la projection sur E i parallèlement à (b D après l étude précédente, on a exp(a L(A δ i,k x k x i r E k e λi l i (A i e λi Mat B (p i est une combinaison linéaire de matrices de projecteurs (car l i (v p i i III Un calcul d exponentielle de matrice à l aide des projecteurs spectraux 9 Le polynôme minimal de u n est pas scindé à racines simples sur R (car est une racine double donc u n est pas diagonalisable 2 0 On pose M 0 M 3 (R Le polynôme caractéristique de M est égal à P M (X 2(X 2 Puisque le polynôme minimal m M de M divise P M d après Cayley-Hamilton, possède exactement les mêmes racines que P M et est unitaire, on en déduit que m M (X 2(X ou (X 2(X 2 Or le calcul de la matrice (M 2I 3 (M I 3 montre que le polynôme (X 2(X n est pas annulateur de M, donc m M (X 2(X 2 et ainsi M répond à la question On utilise le Lemme des noyaux avec les polynômes (X 2 et X 2 qui sont premiers entre eux car (X 2 X(X 2 est une relation de Bezout Ainsi Ker((u Id 2 Ker(u 2 Id Ker((u Id 2 (u 2 Id Ker(m u (u Ker(0 L(E E 2 On a p + q (u Id 2 + u (2 Id u u 2 2u + Id +2u u 2 Id 3 On veut démontrer que p est le projecteur sur Ker(u 2 Id parallèlement à Ker((u Id 2 Soit on utilise le cours en disant que le projecteur sur Ker(u 2 Id parallèlement à Ker((u Id 2 est le projecteur spectral associé à 2 Donc comme on a la relation de Bezout, (X 2 X(X 2, le projecteur spectral π 2 est égal au polynôme (X 2 évalué en u c est-à-dire π 2 (u Id 2 p On montre de même que q π Soit on procède comme suit : on peut écrire tout x E de la forme x x + x 2 où x Ker((u Id 2 et x 2 Ker(u 2 Id On a p(x (u Id 2 (x 0 car x Ker((u Id 2 On a aussi p(x 2 (Id u (2 Id u(x 2 x 2 + u((u 2u(x 2 x 2 car x 2 Ker(u 2 Id Ainsi pour tout x E, p(x x 2 donc p est la projection sur Ker(u 2 Id parallèlement à Ker((u Id 2 On montre de même que q est la projection sur Ker((u Id 2 parallèlement à Ker(u 2 Id 5

6 4 (a Soit x E, on a p(x Ker(u 2 Id donc (u 2 Id(p(x 0 (b On a ainsi, pour tout x E, u(p(x 2p(x, donc par récurrence immédiate, u k (p(x 2 k p(x pour tout k, c est-à-dire u k p 2 k p Puisque cette expression est aussi valable pour k 0 car u 0 Id, on obtient donc pour tout k N, u k p 2 k p ( + u k (c Par conséquent, exp(u p p ( + 2 k uk p p e 2 p 5 Soit x E, alors q(x Ker((u Id 2 donc ((u Id 2 q(x 0 pour tout x E Ainsi, (u Id 2 q 0 donc pour tout k 2, on a (u Id k q 0 Enfin, on écrit exp(u q exp(id +(u Id q exp(id exp(u Id q car Id et u Id commutent e (u Id k q e(id q + (u Id q e(u q 6 En remettant tous les résultats ensemble, on trouve donc exp(u exp(u Id exp(u (p + q exp(u p + exp(u q e 2 p + eu q e 2 (u Id 2 + eu 2 (2 Id u 6