EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES DES GRANDEURS AUX MESURES EXERCICES CORRECTION
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- Dominique Clermont
- il y a 6 ans
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1 EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES DES GRANDEURS AUX MESURES EXERCICES CORRECTION EXERCICE N 1 : Il s agit ici de comparer des surfaces ; Mais on ne précise pas quelle grandeur doit être prise en compte : le périmètre? L aire? Nous pouvons facilement constater que, suivant la grandeur choisie, nous n obtenons pas nécessairement le même classement. Ainsi, par exemple, la surface (1) a une aire supérieure à la surface (6) mais son périmètre est inférieur. Comparaison des périmètres de ces surfaces : Certaines comparaisons peuvent se faire visuellement, comme par exemple pour les surfaces (6) et (1). Si on dispose d un double décimètre, on peut, pour les surfaces (1), (2), (3), (6) et (7), ajouter les mesures de chaque côté de la figure. Pour la surface (5), on peut utiliser la formule du périmètre du cercle : où est le rayon du cercle. Pour cela, il faut déterminer la mesure du rayon, ce qui nécessite de trouver le centre du cercle. Par contre, pour la surface (4), il n y a pas de formule pour déterminer son périmètre, la seule formule possible est celle qui consiste à utiliser une ficelle. Voici la classement de ces surfaces en fonction de l ordre croissant de la longueur de leur périmètre : Surface (5) Surface (3) Surface (2) Surface (1) Surface (6) Surface (7) Surface (4) Comparaison des aires de ces surfaces : Certaines comparaisons peuvent s effectuer visuellement : par exemple, la surface (1) a une aire supérieure à la surface (6). D autres comparaisons peuvent s effectuer par superposition : par exemple, la surface (5) a une aire inférieure à la surface (3). D autres comparaisons encore peuvent se faire par découpage et recollement : par exemple, les surfaces (1) et (7) ont la même aire. En revanche, ces méthodes sont difficilement applicables aux surfaces (3) et (2) ; On peut alors faire référence à la mesure de l aire de ces surfaces. Pour cela, il faut tout d abord choisir une grandeur unité (par exemple, l aire d un carré de 1cm de côté), puis calculer le nombre de carrés unités nécessaires pour recouvrir cette surface (on peut éventuellement être amené à découper des carrés). Des grandeurs aux mesures : correction exercices 1 1 0
2 Pour déterminer la mesure de l aire de certaines surfaces, on dispose de formules ; c est le cas pour le rectangle (surface (1)), le trapèze (surface (2)), le parallélogramme (surface (7)), le disque (surface (5)). Pour calculer l aire de la surface (3), on la décompose en un rectangle et un triangle, on détermine l aire de chacune de ces figures, puis on ajoute les résultats obtenus. Pour la figure (4), il n y a pas de formule. On peut seulement envisager d encadrer la mesure de cette aire. Si on prend comme unité l aire d un carré de 0,5cm de côté, la mesure de l aire est comprise entre 14 et 34 (ce qui correspond respectivement à 3,5cm² et 8,5cm²). Pour être plus précis, on peut utiliser comme unité des carrés de 1mm de côté. L aire de la surface (4) est d environ 7,44cm². Voici le classement de ces pièces en fonction de l ordre croissant de leur aire : Surface (5) - Surface (6) - Surface (1) et(7) - Surface (3) - Surface (2) - Surface (4) EXERCICE N 2 : C est faux : en contre-exemple, on peut considérer les surfaces (1) et (6) de l exercice précédent. EXERCICE N 3 : Volume du solide (1) : il s agit d un prisme droit à base rectangulaire (=pavé), son volume est donc de :, soit 42 cm 3 Volume du solide (2) : il s agit d un prisme droit à base rectangulaire (=pavé), son volume est donc de :, soit 60 cm 3 Volume du solide (3) : il s agit d un prisme droit à base triangulaire, Le triangle de base ayant pour côté 3, 4 et 5, on remarque que : 5² = 25 et 3² + 4² = = 25 donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse le côté de longueur 5. Ainsi, l aire de ce triangle vaut, soit 6 cm². Le volume du solide est donc :, soit 66 cm 3 Volume du solide (4) : il s agit d une pyramide à base carrée, son volume est donc de :, soit 64 cm 3 Ainsi, le classement croissant des volumes de ces solides est : Solide (1) Solide (2) Solide (4) Solide (3) Des grandeurs aux mesures : correction exercices 2 1 0
3 EXERCICE N 4 : On remarque que le rapport est constant, il vaut environ 31,4 (en fait, le rapport vaut ). EXERCICE N 5 : Figure (1) : le périmètre est de, soit 20m Figure (2) : on remarque 3 demi cercles, de rayon 4m, 2m et 1m, Le périmètre est donc de :, soit donc, soit environ 25m. EXERCICE N 6 : Résolvons : C est donc pour triangle équilatéral. que le périmètre du carré est égal au périmètre du EXERCICE N 7 : Le périmètre d un cercle de rayon Résolvons : est donné par la formule Le rayon d un cercle de périmètre 10m est donc d environ 1,6m. EXERCICE N 8 : Notons la largeur de ce rectangle. Résolvons : La largeur de ce rectangle est donc de 8m. EXERCICE N 9 : Le périmètre de cette surface est constitué de quarts de cercle et de demi-cercle (voir figure), d où :, soit environ 50m Des grandeurs aux mesures : correction exercices 3 1 0
4 EXERCICE N 10 : m² dm² Il faut donc 100dm² pour recouvrir une aire de 1m² EXERCICE N 11 : km² hm² dam² m² dm² cm² mm² ha a ,2 m² = cm² 45,7 m² = 0, ha 2,5 km² = m² EXERCICE N 12 : 1. Ce losange est composé de 4 triangles rectangles de mêmes dimensions, les deux côtés de l angle droit mesurant et. L aire de chacun des triangles rectangle est de On obtient donc pour l aire du losange : On retrouve bien la formule du cours. 2. Dans un triangle rectangle, deux hauteurs sont confondues avec les côtés. EXERCICE N 13 : Aire du triangle ABC : On trouve sensiblement la même valeur, la différence étant due aux arrondis Des grandeurs aux mesures : correction exercices 4 1 0
5 EXERCICE N 14 : Notons cette hauteur Résolvons : La hauteur d un triangle dont l aire est de 42cm² et dont le côté correspondant est de 14cm, est de 6cm. EXERCICE N 15 : Figure (1) : impossible Figure (2) : on reconnaît un parallélogramme dont l aire est de m², soit Figure (3) : on reconnaît des rectangles dont l aire est donnée par, on obtient, soit 7m² Figure (4) : on reconnaît deux triangles : un équilatéral et un rectangle Le triangle rectangle a pour hypoténuse, d après le théorème de Pythagore, Donc le triangle équilatéral a pour côté 5cm, sa hauteur est, d après le théorème de Pythagore : L aire de la figure est donc de :, soit environ 16,8 Figure (5) : on reconnaît des triangles rectangles et un trapèze, on obtient donc :, soit 274 Figure (6) : on procède par soustraction de l aire du rectangle par l aire des 3 triangles rectangles, on obtient donc :, soit 825. Figure (7) : déterminons la hauteur du trapèze : Notons cette hauteur, on a donc L aire de la figure est donc de, soit 60. EXERCICE N 16 : Notons le rayon de ce cercle. Résolvons : Le rayon d un cercle dont la mesure de l aire est de 40cm² est d environ 3,6cm. Des grandeurs aux mesures : correction exercices 5 1 0
6 EXERCICE N 17 : Figure (1) : on reconnaît un demi cercle dans un quart de cercle, on obtient donc :, soit environ 9,82m² Figure (2) : On reconnaît un carré dans un cercle, Notons le côté du carré, alors d après le théorème de Pythagore : L aire de la figure est donc de, soit environ 4,6cm². EXERCICE N 18 : Notons et la largeur et la longueur du rectangle Initialement, le périmètre est de et l aire est de. En multipliant les dimensions par 5, le périmètre devient, il est donc multiplier par 5. L aire devient, l aire est donc multipliée par 25 EXERCICE N 19 : Un cube de 1m de côté a un volume de 1m 3 Un cube de 1dm de côté a un volume de 1dm 3 m 3 dm On peut donc mettre cube de 1dm de côté dans un cube de 1m de côté EXERCICE N 20 : 4 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 L dl cl ml ,7 m 3 = cm L = m 3 3,5 cm 3 = 3,5 ml EXERCICE N 21 : Figure (1) : on reconnaît un cône de révolution, on obtient comme volume, soit environ 83,8 cm 3 Des grandeurs aux mesures : correction exercices 6 1 0
7 Figure (2) : on reconnaît un prisme droit à base triangulaire, on obtient comme volume, soit 12 cm 3 Figure (3) : on reconnaît un cylindre de révolution, on obtient comme volume, soit environ 28,3 cm 3 Figure (4) : on reconnaît une pyramide à base carrée. La demie diagonale du carré de base est de (Théorème de Pythagore) La hauteur de la pyramide est de (Théorème de Pythagore) Le volume est donc de soit environ 15 cm 3 Figure (5) : on reconnaît un cône de révolution tronqué, c est-à-dire un cône à qui on a enlevé un autre cône, Notons la hauteur du 2 ème cône, D après le théorème de Thalès, on a : En faisant les produits en croix, on obtient : on obtient comme volume, soit environ 193,7cm 3 Figure (6) : on reconnaît un cône et un cylindre, on obtient comme volume, soit environ 7 854cm 3 Figure (7) : il s agit d un cube auquel il a été enlevé deux pavés Le volume du cube est de : Le volume d un pavé est de : Le volume du cube central (intersection des deux pavés) est de : Ainsi, le volume est de, donc 57cm 3. EXERCICE N 22 : Notons la dimension manquante Figure (1) : Figure (3) : Figure (2) : Des grandeurs aux mesures : correction exercices 7 1 0
8 EXERCICE N 23 : Calculons le volume de ce cylindre : cm 3 = 3,770 dm 3 = 3,770 litres Comme 3,77>3, l eau ne débordera pas. Notons la hauteur de l eau. L eau arrivera à une hauteur d environ 9,5cm. EXERCICE N 24 : Le volume des deux cônes est fixe, il ne dépend pas de et vaut soit environ 490 cm 3 EXERCICE N 25 : Déterminons le volume de glace : Déterminons le volume d une demi-boule : EXERCICE N 26 : On peut donc faire environ 64 demi-boules de glace. Notons, et les trois dimensions du pavé, son volume est d alors Si on multiplie les dimensions par 3, elles deviennent, et. Le nouveau volume est d alors, soit l ancien volume multiplié par 27. EXERCICE N 27 : Minutes 1 0,5 0,2 0,25 Secondes 60 3,5min = 3min30s 2,2min = 2min12s 1,25min = 1min15s Heures 1 Minutes h30min = 5,5h 2h45min = 2,75h 4h20min h Des grandeurs aux mesures : correction exercices 8 1 0
9 4 problèmes de type concours : Problème n 1 : Dans le triangle ABC, rectangle en B, d après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC² 7² = AB² + AB² 49 = 2AB² AB² = L aire du triangle ABC est de : L aire des deux demi cercle de diamètre BC et AB est de : L aire du demi cercle de diamètre AC est de : Donc l aire des surfaces grisées est de :, soit 12,25cm². Problème n 2 : 1. On reconnaît un demi disque et un carré, l aire est donc de :, soit environ 5,6 2. a) Il faut déterminer l aire du triangle OAM, on remarque que [OB] est la hauteur issue de O, on a donc : b) Déterminons l aire du triangle OBA, rectangle en B : Déterminons l aire du secteur en utilisant la proportionnalité : Longueur de l arc Arc BC : Arc BM : Aire du secteur L aire totale est donc de : c) Déterminons dans ce cas l aire du triangle OMC rectangle en C : L aire totale est alors de : 3) a) Résolvons donc b) étant la moitié de, P est au milieu de l arc BC. Des grandeurs aux mesures : correction exercices 9 1 0
10 Problème n 3 : Notons, et les trois dimensions du parallélépipède On a, et Des deux premières équations, on obtient et (*) En injectant dans la troisième équation, on obtient : D où : donc. Ainsi, Dans (*) : et Les dimensions du parallélépipède sont donc 8cm, 12cm et 20cm, le volume est donc de, soit cm 3. Problème n 4 : 1. a) Le périmètre de la base du cylindre A est de 30cm puisqu il s agit de la longueur de la feuille de carton. b) Notons le rayon du cercle de base. D après a), on sait que donc Le volume est du cylindre A est de : soit environ cm 3 2. Le volume est du cylindre B est de Le cylindre A a le plus grand volume soit environ cm 3 3. L aire latérale du cylindre A est de soit 630cm² L aire latérale du cylindre B est de soit environ 630cm² Des grandeurs aux mesures : correction exercices
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