Chapitre VI: Flexion d une poutre droite

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1 Chapitre V: Flexion d une poutre droite Propriétés des poutres sollicitées à la flexion pure ou plane 1- Obéissent à la notion de poutre en RD 2- Droites et présentent un plan de smétrie 3- Les efforts extérieurs appartiennent au plan de smétrie et normaux à la ligne moenne 4- Sous l effet des charges la poutre fléchit en se déplaçant parallèlement au plan de smétrie 5- Smétrie des charge + smétrie géométrique de la poutre Etude de la sollicitation dans le plan de smétrie de la poutre

2 Schématisation des poutres sollicitée en flexion

3 Schématisation des liaisons Problèmes plans sstèmes de forces planes Trois tpes de liaison

4 Efforts intérieurs Torseur des efforts intérieurs Fi/ 2 G R Fi/ 2 Fi/ 2 T T : Effort tranchant porté par l axe central de la section au plan de smétrie z : oment fléchissant porté par l autre axe central de la section z

5 Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on effectue une coupure fictive à la distance x de l origine A. En isolant le tronçon 1, on obtient l effort tranchant T et le moment fléchissant f ( z ), par:

6 Diagrammes des efforts intérieurs T Exemple: Poutre droite sur deux appuis simples en A et en B supporte deux charges ponctuelles de 10000N en C et D. Poids propre négligé

7 Diagrammes des efforts intérieurs L équilibre impose: RA = RB = P On montre que: T d dx z

8 Contraintes de flexion En flexion les contraintes normales sont plus importantes que les contraintes tangentielles Contraintes normales en flexion Dans le cas de flexion pure ( f 0 et T = 0 ), les poutres se déforment suivant des arcs de cercles.

9 Observations expérimentales 1- Le plan de smétrie de la poutre ne s est pas déplacé 2- La ligne moenne GG ne subit ni allongement ni raccourcissement (contraintes nulles). 3- Les fibres situées au-dessus de la ligne neutre sont comprimées et supportent des contraintes de compression ; celles situées en-dessous ( ) sont tendues et supportent des contraintes de traction. 4- Toutes les lignes se sont courbées de telle sorte à rester parallèles aux sections droites qui elles ont légèrement tourné 5- Toutes les lignes parallèles à la ligne moenne et n aant subi aucune variation de longueur constituent la surface neutre.

10 Expression des contraintes normales en fonction du moment fléchissant Nous posons l hpothèse que les sections droites restent planes après déformation (Navier-Bernouilli). Conséquence: la répartition des contraintes dans les plans parallèles au plan de smétrie est semblable à celle des contraintes dans le plan de smétrie R S ds d S 1 Plan de smétrie de la poutre 1 x d x 1 + La déformation en flexion pure donne une rotation des sections droites les unes par rapport aux autres autour d axes normaux au plan de smétrie de la poutre. soit (ds): élément de poutre infiniment petit (S,x,): repère tangent à la surface neutre d origine S appartenant à une extrémité de l élément de poutre. (S 1,x 1, 1 ): repère tangent à la surface neutre d origine S 1 appartenant à l autre extrémité de l élément de poutre.

11 Déformation de l élément de poutre ds SS 1 ds SS 1 Rd α ds dα 0 R 0 (raon algébrique) R 1 R T S ds d S S 1 U 1 x d x 1 + TU R dα (R 1 1 0) or TS' ds TU TS' S' U ou encore: dα R 1 Rd α S' U S' U (R 1 R)dα Allongement de la fibre TU ordans (S1, x1, 1) : (R 1 R) avec: 0

12 L allongement relatif d une ligne située à l ordonnée de la surface neutre s écrit alors: e S' U TS ' d Rd R Et la contrainte au point U obtenue par la loi de Hooke = E e: E R R < 0 > 0 > 0 (vecteur contrainte dirigé vers les x 1 positifs)

13 Répartition des contraintes normales sur une section droite de la poutre 1 S 1 x 1 1 z Expression des contraintes normales en fonction de z Plan de smétrie de la poutre Le moment de flexion z pour une poutre sollicité en flexion s exprime par: S ds z 1 S z 1 (S) ds S 1 x 1

14 La projection de la précédente équation vectorielle sur l axe z 1 donne: z S ds avec E R D où z E R S 2 ds avec Gz S 2 ds : moment quadratique des par rapport à z 1 Compte tenu de toutes ces relations: z GZ Répartition des contraintes dans le plan de smétrie de la poutre

15 Remarque: La répartition des contraintes est identique pour tous les plans parallèles au plan de smétrie de la poutre Contraintes maximales max zmax GZ max GZ max : module de flexion noté GZ Appelé aussi module de résistance de la section à la flexion Remarque: les modules des profilés standards sont répertoriés dans des tables

16 Conditions de résistance à la flexion Pour des questions de sécurité liées à l usage des machines, la contrainte max dans la section droite la plus chargée doit rester inférieure à une contrainte limite admissible liée au matériau et fixée par le constructeur ou par des normes : Dans le cas précis de la flexion, il faut donc procéder ainsi : Déterminer la section la plus chargée (en général celle où le moment fléchissant est maximum) Vérifier que la contrainte maximale dans cette section est inférieure à la contrainte admissible R pe ou R Pc imposée par le constructeur a/ résistance à l extension z max GZ Rp e Pour les fibres soumises à la traction

17 b/ résistance à la compression z max GZ Rp Unités: Rp e et Rp c en [Pa] ; z en [N.mm] et GZ / en [mm 3 ] Concentration de contraintes c Pour les fibres soumises à la compression Remarque: Pour un matériau donné, il est intéressant de choisir la poutre dont les section droites sont de module de flexion maximal pour une surface minimale, on réalise ainsi un gain de poids considérable Lorsque les solides étudiés présentent de brusques variations de section, les relations précédentes ne s appliquent plus. Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n est plus proportionnelle à la distance. max zmax GZ max

18 On a alors pour la contrainte maximale: K max t 0 Avec zmax 0 max GZ Exemple de distribution des contraintes

19 Contraintes tangentielles (ou de cisaillement) en flexion Pour le cas d une flexion plane ( z 0 et T 0) Toute section subissant un effort tranchant T présente des contraintes de cisaillement distribués comme sur le schéma ci-dessous: Deux tpes de contraintes tangentielles x x 1 + * x : contraintes tangentielles nent aux sections droites de la poutre et contenues dans le plan normal à (G,x) de direction celle du vecteur unitaire * x : contraintes tangentielles contenues dans le plan normal à (G,) de direction celle du vecteur unitaire x d dx 2 b x

20 Réciprocité des contraintes tangentielles On montre par l équilibre des moments des forces de cohésion dans le parallélépipède du schéma précédent par rapport à l arête 1-2 que: ( x b dx) d - ( x b d) dx = 0 x = x

21 Expression des contraintes tangentielles (Cas de section rectangulaire) ds x T z x dx Répartition des contraintes normales Vue dans le plan (x,) Vue dans le plan (,z)

22 Soit une portion de poutre de longueur dx, elle est en équilibre sous l action des forces de cohésion. La force de cohésion subie par l élément de surface ds de SA s écrit: z ds AdS Pour toute la surface SA: ds S GZ Sur la face SB parallèle et distante de dx de la surface SA, la somme des forces de cohésion vaut: h/ 2 ( ) z dz ds AdS S Gz B Les contraintes tangentielles sont uniformément réparties sur la surface normale à SA et située à l ordonnée. Elles valent x b dx, la surface parallèle à celle-ci et d ordonnée h/2 est libre de contraintes(les contraintes tangentielles sont nulles). L équilibre du parallélépipède formé par S A, S B et les surfaces qui leur sont normales, s écrit: x x b dx b dx S h/ 2 ds A z Gz S A ds B ds h/ 2 0 A ( z d Gz z ) A ds h/ 2 0 z Gz A ds

23 Après simplification on a: x b dx h/ 2 d Gz z A ds dz et Gz étant constants dans ds: x b dx d Gz z h/ 2 A ds Tenant compte du fait que dz / dx = - T, on écrit la contrainte de cisaillement x à la distance du plan neutre: x T GZ b h/ 2 A ds avec ds= b d A x T 2. GZ h ( )

24 Remarque: 1/ La contrainte est maximale au niveau du plan neutre = 0: x max 3 3T avec GZ 2bh bh 12 2/ Dans la pratique les contraintes normales maximales sont largement supérieures au contraintes de cisaillement 3/ quand la contrainte normale est maximale, la contrainte de cisaillement est nulle et vice et versa. Cela justifie l hpothèse qui consiste à négliger les effets des efforts tranchants pour le calcul des poutres en flexion plane

25 Déformations en flexion Notion de déformée La ligne moenne AD de la poutre ci-contre est confondue avec l axe des x avant déformation. Après déformation cette ligne se déforme, elle fléchie et se transforme en une ligne d équation mathématique dans le sstème d axes (A, x, ) : = f(x). Cette courbe est appelée déformée Conditions aux limites Ce sont des éléments connus de la déformée, imposés par les liaisons aux limites ou la forme de la déformée flèche La déformée présente des valeurs maximales en (entre A et B) et à l extrémité D. pour ces points particuliers la déformation est souvent appelée flèche: f = et f D = D

26 Détermination de la déformée d une poutre en flexion éthode par intégration Connaissant l équation des moments fléchissants z en fonction de x, la pente et la déformée sont obtenues par intégrations successives à partir de : 2 Z E d 2 dx avec z : le moment fléchissant (équation en x) E: le module d élasticité longitudinale (Pa) Gz = z : le moment quadratique de la section par rapport à l axe (G, z) (mm 4 ) d 2 /dx 2 : la dérivée seconde par rapport à x de la déformée GZ Remarque les constantes d intégration successives sont calculées à partir des conditions aux limites imposées par la position et la nature des appuis, ou encore par la forme générale de la déformée.

27 Exemples de conditions aux limites