= 2 m i Définition explicite m i = 2 i

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1 46 CHAPITRE 4. LES MATRICES. 4 Le passage de la génération initiale à la i ième génération. Nous savons, pour les suites géométriques, passer d une définition par récurrence à une définition explicite (c est à dire que le terme numéroiest donné en fonction dei). Prenons un exemple : Dans une culture de microbes, on constate que : la population initiale de bactériesm est de 5. 6 individus par cm 3 ; le nombre de bactéries double toutes les heures. Désignons par m i désigne le nombre de bactéries par cm 3 au bout de i heures. Nous pouvons calculer de deux manières différentes le nombre m i : Définition par récurrence m = 5. 6 m i+ = m i Définition explicite m i = i 5. 6 Remarque Pour les suites géométriques, nous pouvons calculer une définition explicite parce que pour savons calculer les puissances d un nombre. Dans notre exemple, nous devons calculer les puissances successives de (on calcule m i+ en multipliant m i par ). Pour le petit problème de génétique qui nous préoccupe, nous devrons faire exactement la même chose avec l objet 4 4 Comme il permet de passer d une génération à la suivante, on apprendra à calculer ses puissances successives pour calculerp i,q i etr i en fonction dep, q etr. IV Écriture matricielle d un système d équations. Étude d un exemple. On se pose le problème inverse. On constate par un comptage statistique que les proportions respectives des types AA, Aa etaa sont p = 5 8, q = 39 etr = 8. On peut se demander quels étaient les proportions respectives des types AA, Aa et aa à la génération précédente. On note p, q et r les proportions respectives des types AA, Aa etaa à la génération précédente.. Écrire un système d équation vérifié par p, q et r. Le traduire en terme de matrices, avec en particulier la 4 matrice m = définie au deuxième paragraphe. 4

2 IV. ÉCRITURE MATRICIELLE D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS. 47 Le système : la traduction avec des matrices :. Si on avait une équation dansrcommeax = x (oùaest un nombre réel, comment calculerait-onx, et à quelle condition cela est-il possible? 3. Par analogie, que doit-on obtenir pour résoudre le système? 4. L inverse d une matrice est définie sur votre calculatrice. C est tout simplement la touche x qui est utilisée. Essayez de résoudre votre système. Votre conclusion : Les systèmes à deux équations et deux inconnues. On considère le système de deux équations à deux inconnues suivant : 3x 4y = x y = 3. On considère la matrice colonne X = ( ) B =. 3 ( x y), la matrice carrée A = ( ) 3 4 et la matrice colonne Calculer le produit de matricesa X :

3 48 CHAPITRE 4. LES MATRICES. 3 4 x y Par quelle écriture matricielle pourrait-on remplacer le système de deux équations à deux inconnues suivant : 3x 4y =? x y = 3 Définition Dans les conditions de l exemple, on dit que A est la matrice du système d équations.. On procède ici aussi par analogie. On veut résoudre l équation ax = b où a etbsont des nombres réels. Que faut-il pour que cette équation ait une unique solution? " # $!! " Quelle opération sur toute l équation permet alors de calculer la solution? " # $! 3. Entrez la matriceaet la matrice B dans votre calculatrice puis calculeza B. Donner la solution du système d équations 3x 4y = x y = 3 : 3 Matrice inversible. Remarque lignes. Résolvons le système d équations ax + by = u cx + dy = v. On va procéder par combinaison de

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5 5 CHAPITRE 4. LES MATRICES. Définition Une matrice A dont le déterminant est non nul est une matrice inversible. On note A l inverse de la matricea. Comme pour les nombres, on a : A A = Id(n) ; A A = Id(n) Ici, la notation Id(n) désigne la matrice carrée n n qui a des sur la diagonale et des ailleurs, c est la matrice identité n n, qu on note aussi I n. Exercices à faire sur le livre : Faire l exercice n 48 puis l exercice n 49 page 48. Faite le premier calcul de l exercice n 48 à la main, vous pouvez faire le second à la main comme avec votre calculatrice. Faire l exercice n 5 page 48. Théorème Un système de n équation à n inconnues a une unique solution si et seulement si la matrice de son système a un déterminant non nul. Exercices à faire sur le livre : Faire l exercice n 54 page 59. Faire l exercice n 55 page 59. Faire l exercice n 57 page 59. Exercice guidé sur le livre : faire l exercice guidé page 33. Vous pouvez déterminer A à l aide de votre calculatrice puis vérifier que ça marche à la main. La formule dans votre livre page 3 peut être utile mais n est pas exigible. V Les autres opérations avec des matrices. Le cas des matrices colonnes. On a vu de puis la classe de seconde qu il est possible d additionner deux vecteurs du plan, puis en terminale d additionner deux vecteurs de l espace. De même, il est possible de multiplier un vecteur par un nombre réel. Écrites avec les matrices colonnes, ces opérations donnent par exemple : = 5 3 ; = On peut effectuer exactement les mêmes opérations avec les matrices. Il faut juste, pour l addition, que les matrices aient la même dimension. l addition de deux matrices. Définition A et B sont des matrices n m. La matrice C définie par les termes c i,j = a i,j + b i,j est la somme des matricesaet B. On la ( note A+B. ) ( ) ( ) Exemple AvecA = etb =, on obtient : A+B =. 3 3 Le produit d une matrice par un nombre réel. Définition Si A est une matrice n m et k un nombre réel, la matrice obtenue en multipliant tous les nombres présents dans la matrice A park est le produit deapar le nombre k. On le note ka. ( ) ( ) Exemple AvecA =,3A =. 3 6 Exercices du livre : faire l exercice n 36 page 46 ; faire l exercice n 8 page 46 en utilisant la même méthode que dans l exercice n 36.